一种预测热风干燥过程中球形食品温湿度的模型及其应用
阅读说明：本技术 一种预测热风干燥过程中球形食品温湿度的模型及其应用 (Model for predicting temperature and humidity of spherical food in hot air drying process and application of model ) 是由 陶阳 朱芮 李丹丹 韩永斌 卢国宁 于 2021-05-10 设计创作，主要内容包括：本发明属于农产品加工技术领域,具体涉及一种预测热风干燥过程中球形食品温湿度的模型及其应用。本发明的模型为在一系列假设条件下构建传热和传质耦合的笛卡尔坐标系下球面几何的一维非稳态方程,并确定初始条件和边界条件。该模型拟合效果较佳,能够较好地预测超声干燥过程中球形食品的温湿度变化,从而在生产过程中进行应用。(The invention belongs to the technical field of agricultural product processing, and particularly relates to a model for predicting the temperature and humidity of spherical food in a hot air drying process and application thereof. The model of the invention is a one-dimensional unsteady state equation of spherical geometry under a Cartesian coordinate system for heat transfer and mass transfer coupling constructed under a series of assumed conditions, and initial conditions and boundary conditions are determined. The model has good fitting effect, and can better predict the temperature and humidity change of the spherical food in the ultrasonic drying process, thereby being applied in the production process.)
技术领域
本发明属于农产品加工技术领域，具体涉及一种预测热风干燥过程中球形食品温湿度的模型及其应用。
背景技术
超声波作为一种代表性的非热技术，产生的机械振动和空化现象可以加快干燥过程，降低能耗，提高脱水食品的质量。超声波在干燥中的应用有三种不同的模式，包括超声波预处理、气介式超声波和接触超声波。在实际应用中，气介式超声波和接触超声波通常与热风干燥器联合干燥，强化干燥过程。在节约时间的同时降低能耗，提高品质。
干燥是同时涉及传热和传质的复杂过程。为了更好地理解和控制干燥过程，有必要了解食品材料内部温度和湿度的空间和时间变化，而使用基于物理模型的数学模拟是探索潜在机制的重要工具。然而，目前超声辅助干燥的模型研究是单独的质量传递模型，它忽略温度变化对水分有效扩散率的影响，只假设一个恒定传质值，但实际扩散率随温度而变化。
为了丰富气介式和接触模式下超声波能量辅助热风干燥球形食品机理的基础知识，更好的控制球形食品干燥进程，本发明采用将考虑水分扩散率变化、收缩和输入超声能量等因素的耦合到传热传质模型，描述超声能量辐照下的球形食品干燥温湿度的变化，这些研究有望拓宽超声波技术在食品干燥领域的应用。
发明内容
本发明建立了一种预测热风干燥过程中球形食品温湿度的模型。由于球形食品在整个干燥过程中能够维持球形结构，因此通过该干燥模型，技术人员能够成功预测球形食品在干燥过程中的水分变化、重量变化和内外表面的温度变化，从而有助于更精准地控制超声热风干燥进程，保证球形食品的品质。
首先，本发明提供一种耦合球形食品在超声热风干燥过程中的传热和传质过程的模型，通过该模型可以预测在超声热风干燥过程中的球形食品的某点的温湿度情况。
第二，本发明提供一种测定球形食品表面以热的形式消散的超声强度QUS，也即实际超声强度的方法。
第三，本发明还基于上述模型提供一种用铜球模拟代替球形食品的测定超声干燥过程中表面传热传质系数的方法。
第四，本发明的模型还可以预测在超声热风干燥过程中的球形食品的平均的水分含量。
基于上述的预测结果，能够为确定球形食品在特定体积下所需的干燥时间、干燥温度、以及超声强度提供数据支持，有助于更精准地管理干燥过程中的各种参数。
下面对本发明的技术方案做进一步说明。
在一些方面，本发明公开了一种预测热风干燥过程中球形食品温湿度的模型，其特征在于，所述模型包括：
(1)采集待干燥球形食品在一定温度下等温吸附曲线从而确定aw；
(2)采集不同干燥时刻的球形食品的总质量，球形食品的干基含水率，以及不同干燥时刻球形食品的内部和表面温度；
(3)在一系列假设条件下构建传热和传质耦合的笛卡尔坐标系下球面几何的一维非稳态方程，并确定初始条件和边界条件；
传热传质耦合方程：
ρb代表实时体积密度，指球形食品的总质量与总体积之比，其单位kg*m-3；
Cp代表球形食品的实时比热，其单位为Jkg-1 K-1；
λ代表球形食品内部热传导系数，单位为Wm-1 K-1；
Qe代表内部热源，单位Wm-3；根据干燥的实际情况确定，如果没有内部热源，则Qe取值为0。
ρs代表实时固态物质密度，指球形食品的干物质质量与总体积之比，单位kg*m-3；
De代表有效水分扩散系数，单位m2 s-1；
T代表拟预测球形食品的点的温度，单位是K；
W代表拟预测球形食品的点的水分含量，是该模型模拟所得结果之一，单位是kg水分/kg干物质；
t代表干燥时间，单位是秒；
x代表传质路径长度，此处指拟预测球形食品温度湿度的点距离球心的长度，单位是m；
是求偏导的符号；
假设条件包括：
由于对称，球形食品的中心线上没有湿度和温度梯度。球形食品的内部热量和质量传递分别通过传导和扩散进行；相变只发生在球形食品表面；；球形食品表面的传热传质系数保持不变；体积收缩通过ρb和ρs来计算，ρb和ρs分别指球形食品的总质量与总体积之比(体积收缩导致堆积密度)；以及干固体质量与总体积之比。同时，球形食品内部水分扩散和热传导的路径长度(指样品半径)也随着体积收缩而变化，导致边界条件的变化。传热传质模型中还涉及到球形食品半径的变化；
初始条件：
T(x，t＝0)＝T0
W(x，t＝0)＝W0
边界条件：
(4)确定热质传递方程、初始条件和边界条件中的系数；
系数包括：Cs，Catr，ρb，Cp，Qe，λ，ρs，De，h，hfg，QUS，hm；
(5)利用MATLAB中的“pdepe”函数求解耦合传热传质模型，并用RMSE、R2和AAD来评估应用模型的预测能力；
在一些实施方案中，根据以下关系式计算球形食品表面水蒸气浓度Cs，空气中水蒸气浓度Cair：
其中，aw由等温吸附曲线确定；上述公式中的pvs(T)指的是温度T时的pvs的值；pvs(Tair)指的是温度Tair的pvs的值。
pVS是与温度有关的函数，由以下等式确定：
上述公式中，pVS(T)是指的在实时温度T下的pVS数值；pVS(Tair)指的是在空气温度下的pVS数值。式中的RH指的空气相对湿度；
式(3)Cp＝(0.873+1.256W)×1000
上述公式中，W为拟预测球形食品的点的水分含量，此处为干基含水量，是该模型模拟所得结果之一，单位是kg水分/kg干物质；
上述公式(4)和(5)中，T代表拟预测球形食品的点的实时温度，单位是K；根据AOAC方法测定的球形食品的初始干质量比为N，也即球形食品的干质量/初始质量，ρs计算如下:
干基含水量W计算如下：
以上公式被转化为：
M＝W×M0×N+M0×N
因此，ρb由以下公式表示:
上述公式中，M0代表球形食品的初始重量，单位是kg；Vbl代表球形食品的实时体积，单位是m-3；r代表球形食品的实时半径，单位是m；M代表干燥过程中球形食品的实时重量，单位均为kg；
有效水分扩散系数De的确定方法，采用如下方法确定：
(1)De值是用半经验方式来解析计算的:
Weq代表超声热风干燥欲达到的平衡状态下的水分含量，也就是干燥后成品中的水分含量，单位是kg水分/kg干物质；W0代表初始水分含量，单位是kg水分/kg干物质；r0代表球形食品的初始半径；Wm为实时称重计算得到的水分含量，单位是kg水分/kg干物质；
绘制(Wm-Weq)/(W0-Weq)对时间的对数时，从直线的斜率推导出De值；
通过式(9)推测得出几组不同时间下不同温度下的De值，将De和实时温度T代入下式从而得到D0、Ea的值：
D0代表阿伦尼乌斯方程的指数前因子，单位是m2 s-1；Ea代表活化能，单位是kJmol-1；Rg代表气体常数，单位是kJ mol-1K-1；T代表温度，单位是K或℃；
将式(10)代入权利要求1所述的公式进行拟合得到模型。
优选的，传热和传质系数h和hm由下述的金属球模拟进行确定。
(1)为了综合超声辐射对传热和传质系数的影响，将具有类似球形食品几何形状的铜球置于的烘箱中。
(2)假设内部温度梯度较低，集总分析法可用于描述铜球的传热过程:
确定铜球表面热质传递系数h：
h值是通过将数据在MATLAB中进行非线性拟合到等式中来计算的。纯热风干燥、超声接触、超声空化等不同情况下，测定的h值是不同的。根据不同的条件来测定不同的h值使用。
TCu代表金属球表面实时温度，单位是K或℃；Tair代表烘箱中空气温度，单位是K或℃；T0代表金属球的初始温度，单位是K或℃；ACu代表金属球表面积，单位是m2；ρCu代表金属球的密度，Cp，Cu为金属球的比热单位为J·kg-1k-1；VCu代表金属球体积，单位是m3；h代表表面热传导系数，单位为Wm-2K-1；
使用Chilton-Colburn公式确定传质系数hm：
其中ρair代表烘箱内的空气密度，单位是kgm-3；Cp，air代表空气比热，单位是J kg- 1k-1。Le为刘易斯数，计算如下:
αair为空气的热扩散率，单位为m2s-1，Dair为水蒸气在空气中的扩散率，单位为m2·s-1。
一种球形食品上消耗的实际超声强度，也即球形食品表面以热的形式消散的超声强度QUS的测定方法，包括：
(1)用量热法测定球形食品上实际消耗的超声能量。
(2)由于球形食品缺乏比热值，测量时使用了与球形食品相似几何形状的铜球(直径25毫米)替代。
(3)铜球用纸箱绝缘，铜球体表面上消耗的超声波功率由以下等式获得，该等式被认为等于在所施加的干燥条件下球形食品表面上的实际超声波功率：
在该公式中，PUS代表超声波功率，单位是W；mCu代表金属球重量，单位是kg；Cp，Cu为金属球的比热单位为J·kg-1k-1；A代表球形食品的表面积，单位是m2；r为球形食品在干燥中的实时半径，单位是m。因此，超声强度计算如下：
由于体积收缩，QUS随着球形食品表面的减少而改变，体积收缩是根据收缩模式公式在每个采样时间确定的。
式(16)A＝4πr2
本发明中，干基含水率的定义如下样品中水的重量与干基的重量之比。例如，对于质量m克的样品，充分烘干后重量为n克，则干基含水率＝(m-n)/n×100％。
当然进一步优选的，所述的金属球选自铜球。
前述所述的预测超声热风干燥过程中球形食品温湿度的模型的应用，所述的预测超声热风干燥过程中球形食品温湿度的模型用于预测超声热风干燥过程中球形食品的平均湿度。
有益效果
首先，本发明提供一种耦合球形食品在超声热风干燥过程中的传热和传质过程的模型，通过该模型可以预测在超声热风干燥过程中的球形食品的某点的温湿度情况。
第二，本发明提供一种测定球形食品表面以热的形式消散的超声强度QUS，也即实际超声强度的方法。
第三，本发明还基于上述模型提供一种用金属球模拟代替球形食品的测定超声干燥过程中表面传热传质系数的方法。
第四，本发明的模型还可以预测在超声热风干燥过程中的球形食品的平均的水分含量。所述的平均的水分含量即在某时刻的整个球形食品的含有的水分质量/整个球形食品的干基质量。
本发明还提供基于上述模型预测球形食品在干燥过程中干基含水量、球形食品中心和表面温度随干燥时间变化的方法。上述预测结果，能够为确定球形食品在特定体积下所需的干燥时间、干燥温度、以及超声强度提供数据支持，有助于更精准地管理干燥过程中的各种参数。
附图说明
图1球形食品在65℃三组不同条件下干燥处理的皱缩曲线。
图2球形食品在65℃的等温吸附曲线。
图3数值模拟流程图。
图4三组实验在热风干燥过程中的实测平均水分含量和预测平均水分含量曲线。
图5三组实验中心(a)和表面(b)实测温度和预测温度的变化曲线。
图6三组实验干燥下球形食品内部温度的空间分布(虚线表示外表面)。
图7三组实验干燥下球形食品内部水分的空间分布(虚线表示外表面)。
图8A、8B、8C球形食品在50℃，60℃和70℃时的干燥动力学曲线图。
具体实施方式
下面将结合实施例对本发明的实施方案进行详细描述，本领域技术人员将会理解，下列实施例仅用于说明本发明，而不应视为限定本发明的范围。实施例中未注明具体条件者，按照常规条件或制造商建议的条件进行。
下述实施例中所用装置分别购自市场，型号如下：
超声波探头(直径5mm，20kH)：
自动温度记录仪：OMEGA/RDXL12SD,USA
下述实施例以黑莓作为球形食品来进行实验：本发明实施例中，干燥黑莓的温度为65℃，风速为2.0m/s，装置的实际输出超声强度设定为180.1W/dm2。
1.黑莓干燥实验(采集温度和水分数据)
1.1采集待干燥黑莓在65℃的等温吸附曲线；
此步骤目的是得到等温吸附曲线，因此为纯热风干燥，不存在超声情况。
新鲜的黑莓首先在热空气干燥器中干燥以除去大部分水分，磨碎后转移到不同的玻璃干燥器中，干燥器中含有饱和盐溶液(将黑莓与以下试剂分别置于同一容器内测定水分活度：氯化锂、CH3COOK、氯化镁、碳酸钾、碘化钾、氯化钠和KCl；7种试剂全部用到)。加入少量麝香草酚以避免潜在的微生物污染。将干燥器密封并置于65℃的空气烘箱中。(因为要在65℃下进行干燥，所以选择65℃做等温吸附曲线，在怎样的温度下干燥，就选怎样的温度下做等温吸附曲线)
定期监测食品的重量，直到达到恒定重量(约40天)。然后，测定平衡状态下黑莓的含水量。采用下述Guggenheim-Anderson-De Boer(GAB)模型建立了食品在65℃时的吸附等温线，等温吸附曲线将用于确定模型中的aw值，曲线如附图2所示，图2中纵坐标We即为Weq。图2中，点值为真实测量得到的数值，连续的曲线为拟合的方程的线。
Weq代表平衡状态下的水分含量，单位是kg水分/kg干物质；Wm代表单层含水量，单位是kg水分/kg干物质；C代表GAB模型中的一个常数；K代表GAB模型的常数；aw代表水分活度；其中，Wm，C和K值都可以通过将该式代入MATLAB当中算出；
由该式可以计算得到黑莓的水分活度aw；
1.2设置三组实验，采集干燥过程中不同干燥时刻的黑莓的总质量，计算出它的干基含水量，同时测定不同干燥时刻黑莓的内部和表面温度；(内部温度是黑莓的中心温度)
干燥处理在自组装混合干燥器中进行。直径为5厘米的超声波探头(20千赫)从顶部插入烘箱。超声波探头下置一个样品架。干燥过程中，将球形食品样品也即黑莓(约3.5克)放在样品架上。通过调节样品架的高度，超声波可以在气介式传播模式和接触模式之间切换。目标温度的热空气从左侧进入干燥器，从另一侧排出。由于超声波在使用过程中存在热量损失，故使用量热法来对实际施加的超声波功率进行测量。方法是通过测量棉布绝缘的100毫升玻璃烧杯中蒸馏水的升温状况，后通过公式计算算出超声波探头输送的实际功率。然后将超声功率转换为超声强度，用W/dm2表示。测定得该装置的实际输出超声强度设定为180.1W/dm2，进气口的空气温度和速度分别为65℃和2.0m/s。
考虑到收缩现象，定期调整样品架的高度，确保超声组球形食品和超声波探头在整个干燥过程中直接接触。对于空化超声波处理组，球形食品被放置在超声波探头下方1厘米处。实验得出的干基含水量和中心及外表面温度变化将用于建模。
分别设计3组黑莓干燥实验(实验1～3，如表1所示)，3组实验分别是：
第一组为热风组：65℃，风速2.0m/s热风干燥，无超声波输入；
第二组为热风和气介式超声组：65℃，风速2.0m/s热风干燥配合空化超声干燥(黑莓放置在超声波探头下方1厘米处)，输出超声强度设定为180.1W/dm2；
第三组为热风和接触超声组：65℃，风速2.0m/s热风干燥配合接触超声干燥(黑莓与超声波探头始终接触)，输出超声强度设定为180.1W/dm2。
三组中，空气相对湿度10％三组食品的初始干基含水量皆为6.24(g/g干重)，直径约为5mm。干燥过程中，在不同的干燥时间取样，同时利用自动温度记录仪(配有探头，插入特定位置中心和表面即可)分别测定球形食品的干基含水量和内、外表面的温度(K)(如表1和表2所示)。实验测得的平均水分含量变化由附图4中的点值所示，实际测得的内外表面温度变化由附图5中的实线所示。
本实验所用的球形食品易腐，因此在实验之前将样品储存在-20℃。在每次实验之前，室温下解冻，用薄纸轻轻去除其表面多余的液体。
表1球形食品干基含水量随干燥时间的变化
表2球形食品中心和表面温度随干燥时间的变化
期间监测样品的重量，直到达到恒定值；同时采集不同干燥时间t时刻的球形食品的总质量，计算出球形食品的干基含水率，以及不同干燥时间t时刻球形食品的内部和表面温度，用于后期建立传热传质模型。
1.3收缩情况测定实验
在三组实验中干燥的不同阶段，同时测定黑莓果实大小，即黑莓的半径。尽管有水分损失，本实验用黑莓在干燥过程中仍能保持球形几何形状。从而建立了水分比(当前水分/初始水分(水分的计算为kg水分/kg干物质))和样品半径比(当前测得半径/初始半径(r/r0))之间的定量关系，该关系将样品半径比的变化表示为水分比的函数(如附图1所示，为球形食品在65℃三组不同条件下干燥处理的皱缩曲线)半径数据将用于确定建模时传热传质的路径长度。附图1中，点值为真实测得的数值，连续的虚线为拟合的方程。
最终得到的耦合方程如下：
热风干燥组：y＝0.6068x+0.3472R2＝0.9777
热风和气介式超声组：y＝0.4365x+0.5781R2＝0.9459
热风和接触超声组：y＝0.3656x+0.6186R2＝0.9859
上述公式中，y代表每组黑莓的r/r0，x代表W/W0。
1.4传热传质系数的测定
由于黑莓表面的传热和传质系数未知，并且为了综合超声辐射对传热和传质系数的影响，在所有上述干燥条件下将具有类似黑莓几何形状(直径25毫米)的铜球置于65℃的烘箱中。铜球的表面温度用一个与数据记录器(中国深圳光大机械工业有限公司DT-3891G)相连的K型热电偶记录。(后续模拟结果显示该方法测得的系数可靠)
假设内部温度梯度较低，用集总分析法描述铜球的传热过程:通过将数据在MATLAB中对等式(11)进行非线性拟合来计算h值。其中，金属球的密度ρCu也即铜的密度为8.96×103kg·m-3，金属球的比热，本实施例中也即铜的比热Cp，Cu为390J·kg-1k-1。
确定铜球表面热质传递系数，也即模拟的球形食品表面的热传导系数h：
h值是通过将实验数据在MATLAB中进行非线性拟合到等式中来计算的。
TCu代表铜球表面实时温度，单位是K或℃；Tair代表空气温度，单位是K或℃；T0代表铜球的初始温度，单位是K或℃；Acu代表铜球表面积，单位是m2；铜的密度ρCu的密度为8.96×103kg·m-3，铜Cp，Cu的比热为390J·kg-1k-1；VCu代表铜球体积，单位是m3；t为干燥的时间，单位s。
物质传质系数也即水分传质系数hm:
其中ρair代表空气密度，单位是kgm-3，值取为1.029kg m-3；Cp，air代表空气比热，单位是Jkg-1k-1，取值为1.0×103Jkg-1k-1；h值由上述计算得到；Le是刘易斯数；
此外，在整个干燥过程中，h和hm被认为是恒定的，并假设在建模过程中暴露在热空气中的表面边界相同。
其中Le计算如下:
其中αair代表空气的热扩散率，单位为m2s-1。Dair代表水蒸气在空气中的扩散率，单位为m2·s-1。
αair和Dair的值分别为2.5×10-5m2s-1和2.18×10-5m2·s-1。
h和hm值在三种不同情况下的值不相同，需要针对每种情况分别测定：热风干燥、热风和气介式超声处理、热风和接触超声处理
1.5有效水分扩散系数的确定
其中，De由以下公式确定：
Weq代表平衡状态下的水分含量，单位是kg水分/kg干物质；W0代表初始水分含量，单位是kg水分/kg干物质；D0代表阿伦尼乌斯方程的指数前因子，单位是m2 s-1；r0代表黑莓初始半径，单位是m；t为干燥时间，单位为秒。Wm是实际测量的在某干燥时间点对应的湿度，也即通过称重得到的kg水分/kg干物质。
在使用式(9)之前，需要一系列假设，包括恒定的De值、均匀的湿度和温度分布以及没有外部传质阻力。
为了满足这些假设，黑莓被切成直径仅为5毫米的小球。然后，小球分别在不同温度(50、60和70℃)下进行上述三组不同情况下的干燥，50、60和70℃温度下的干燥动力学曲线分别如附图8A、8B、8C所示，图中，菱形：单独热风干燥；正方形：热风和气介式超声处理；三角形：热风和接触超声处理。风速被调整到最高水平(5米/秒)，从而最小化小球表面的外部传质阻力。连续称重，直到干燥过程达到平衡。当绘制(Wm-Weq)/(W0-Weq)对时间的对数曲线时，从直线的斜率推导出De值。
然后，利用阿伦尼乌斯型温度相关方程研究温度对De的影响:
D0代表阿伦尼乌斯方程的指数前因子，单位是m2 s-1；Ea代表活化能，单位是kJmol-1；Rg代表气体常数，单位是kJ mol-1K-1；T代表实时温度，单位是K或℃。
然后将不同温度下的De值以及对应的温度代入式(10)拟合得到D0、Ea、Rg的值。
1.6在热风和气介式超声处理和热风和接触超声处理下黑莓上消耗的实际超声强度，也即球形食品表面以热的形式消散的超声强度的测定
黑莓上消耗的实际超声波能量是用量热法测定的。由于黑莓在干燥过程中缺乏恒定的比热值，测量时使用了与其相似几何形状的铜球(直径25mm)，并用纸箱绝缘。
监测1.1节提到的超声波探头以180.1W/dm2的输出强度进行热风和气介式超声和热风和接触超声处理时，球表面的温度上升情况。然后，铜球体表面上消耗的超声波功率由以下等式获得：
PUS代表铜球体表面上消耗的超声波功率，单位是W；mCu代表铜球重量，单位是kg；Cp，Cu为铜比热；
这里，热风和气介式超声和热风和接触超声的实际功率分别为0.245和0.299W。超声强度计算如下:
式(16)A＝4πr2
QUS代表以热量的形式消散在黑莓表面的超声波强度，单位是W m-2；A代表球形食品的表面积，单位是m2；此处的r为黑莓随食品干燥过程中的实时半径。
由于体积收缩，Qus随着球形食品表面的减少而改变，体积收缩量是根据收缩公式在每个采样时间确定的。
2.黑莓干燥过程的传热传质模型建立
黑莓的干燥是一个传热和传质同时进行的过程，水分从黑莓内部向外扩散，而热量从外部向内部传导。
基于能量守恒定律、傅立叶定律和菲克第二定律构建传热传质模型。
在进行数学模拟之前，进行了以下假设:
由于对称，一开始黑莓的中心线上没有湿度和温度梯度。黑莓的内部热量和质量传递分别通过传导和扩散进行；
相变只发生在黑莓表面；
各组实验所用黑莓的初始含水量、温度和成分是一致的；
黑莓表面的传热传质系数保持不变；
其中，体积收缩通过ρb和ρs来计算。ρb指黑莓的实时总质量与实时总体积之比，ρs指黑莓干固体质量与实时总体积之比。黑莓内部水分扩散和热传导的路径长度(指样品半径)也随着体积收缩而变化，进而导致边界条件的变化。
据此，构建以下热质传递耦合模型：
ρb代表实时体积密度(bulkdensity)，指的是黑莓的总质量与总体积之比，此处的总体积是实时总体积，单位kg*m-3；
Cp代表球形食品实时比热(specificheat)，通过下文叙述的与水分有关的公式确定，单位Jkg-1 K-1；
λ代表球形食品内部热传导系数，由下文述与水分有关的公式确定，单位Wm-1 K-1；
Qe代表内部热源，单位Wm-3,本实施例中没有添加内部热源，因此此数值认为是0；
ρs代表实时固态物质密度，指球形食品干物质的质量与总体积之比，此处的总体积是实时总体积，单位kg*m-3；
De代表有效水分扩散系数，由下文述与温度有关的公式确定，单位m2 s-1；
T代表温度，单位是K(开尔文)；
W代表水分含量，是该模型模拟所得结果之一，单位是kg水分/kg干物质；
t代表干燥时间，单位是s；
x代表传质路径长度，此处指拟预测球形食品温湿度的点距离球心的长度，单位是m；
是求偏导的符号；
在超声波强化对流干燥的情况下，内部热源或散热器Qe被认为是0，因为超声波能量是从外部环境输入的。
初始条件写为：
T(x，t＝0)＝T0
W(x，t＝0)＝W0
边界条件写为：
λ代表球形食品内部热传导系数，单位W m-1K-1；
h代表球形食品表面热传导系数，单位是W m-2K-1；
Ts代表球形食品表面温度，单位是K或℃；
Tair代表烘箱内空气温度，单位是K或℃；
hfg代表水分蒸发潜热，单位是J/kg；
De代表有效水分扩散系数，单位是m2 s-1；
ρs代表固态物质密度，单位kgm-3；
QUS代表球形食品表面以热的形式消散的超声强度，单位是Wm-2；
hm代表水分传质系数，单位是m s-1；
Cs代表球形食品表面水分蒸发浓度，单位是kg m-3；
Cair代表空气中水分蒸发浓度，单位是kg m-3；
T代表温度，单位是K或℃；
W代表水分含量，此处为干基含水量，是该模型模拟所得结果之一，单位是g水分/g干物质；
x代表传质路径长度，此处指拟预测球形食品温湿度的点距离球心的长度，单位是m；
式V公式表明黑莓表面传导传热速度等于热空气向黑莓表面的对流传热、水分蒸发传热和超声波辐射传热。
式VI公式表示通过扩散迁移到黑莓表面的水分等于通过对流从表面转移到空气中的水分。
其中，球形食品表面水蒸气浓度Cs和空气中的蒸汽浓度Cair使用理想气体定律表示(Eq.(1)和(2)):
Cs代表球形食品表面水分蒸发浓度，单位是kgm-3；
Cair代表空气中水分蒸发浓度，单位是kg m-3；
RH代表空气相对湿度；
pVS代表黑莓表面或空气中的饱和水蒸汽压，单位是Pa；
Tair代表空气温度，单位是K或者℃；
这里，样品表面上的aw值由吸附等温线关系确定，而水蒸气压力使用下述的公式计算:
其他热物理参数，如比热Cp、水蒸发潜热hfg和热导率λ，确定如下:
式(3)Cp＝(0.873+1.256W)×1000
固态物质密度ρs：
干基含水量W：
M0代表球形食品的初始重量，单位是kg；N为根据AOAC方法测定的新鲜球形食品的初始干质量比，在本实施例中，N为0.138；Vbl代表球形食品体积，单位是m-3；r代表整个黑莓果实或黑莓球体的半径，单位是m；M代表球形食品的实时重量，单位是kg；
公式(7)被转化为：
M＝W×M0×N+M0×N
因此，ρb由以下公式表示:
确定好以上参数后，将方程和参数代入MATLAB中，并使用其中的“pdepe”函数求解模型。
确定好模型后，采用模型预测的本实施例中的三组黑莓的湿度预测情况如图4中的实线所示，温度由图5中的虚线所示。温度和湿度的预测：在MATLAB软件中输入相关参数，软件会根据所建立的模型预测每个干燥时刻的黑莓的平均水分含量和相应的温度变化。并采用预测值和实测值进行R2、RMSE和AAD的计算，从而判断模型的准确程度。
在本模型中，要优化径向网格点的数量，以便最小化RMSE值。同时使用另外两个指标R2和AAD来评估应用模型的预测能力。R2、RMSE和AAD表示为:
Di，p表示关于温度或水分含量的预测数据，单位是(Korkg水分/kg干物质)；Di，e表示关于温度或水分含量的实验数据，单位是(Korkg水分/kg干物质)；
3.数值模拟过程
根据模型确定以上参数后，即可进行数值模拟，流程如下所示。流程图如图3所示。通过在MATLAB中对上述提到的数据进行模拟后，将得到模拟的温度和水分值，并得到真实和模拟得到的水分和温度的AAD、R2、RMSE值。此三个值需要在一定范围内才能使得模型的模拟能力更加接近(AAD小于20％，R2大于0.97，RMSE越小越好)。
本实施例中的相关模拟得到的参数如下：
本实施例中无内部热源，故Qe为0。
表3在有和没有超声波处理的热空气干燥下黑莓水分有效扩散率的Arrhenius型温度相关方程
基于表3，阿伦尼乌斯关系式能够描述De的变化(作为温度的函数)，然后用于热和质量传递模型中。
表4球形食品表面65℃对流传热传质系数
表4给出了热风和气介式超声组和热风和接触超声组与周围热空气下的对流传热和传质系数。热风和接触超声(简称接触超声)处理下的h和hm值最高，其次是热风和气介式超声(简称气介式超声)处理和非超声热风干燥处理，表明接触超声比气介式超声更有效地促进黑莓表面与空气的热湿交换，从而强化干燥动力学。此外，假设在建模过程中表面边界暴露在热空气中相同，在同一组实验的整个干燥过程中，h和hm被认为是恒定的。
表5耦合传热传质模型的预测精度
利用表面温度的实验和预测数据，计算了传热模型的R2、RMSE和AAD值，结果显示预测模型可用。
利用上述皱缩曲线、吸附等温线、黑莓内部温度相关的水分扩散率以及黑莓表面的传热传质系数，成功地求解了耦合传热传质模型，附图4和图5进行了图形比较。同时，精确度指标总结在表5中。可以看出，尽管在某些区域存在一些差异，由附图4可知，所应用的模型能够以可接受的精度预测干燥过程中温度和水分含量的变化。需要指出的是，在传热传质路径的径向上制作的网格数显著影响了所用模型的预测结果。在这里，解决偏微分方程使用pdepe函数时，球形食品的半径被分成121块。
由附图6可以看出，随着干燥时间的增加和球形食品表面水分通量的降低，超声处理下较高的传热系数使超声处理后的样品温度更早达到平衡。所有这些结果都与附图5所示的不同处理下的表面和中心温度的实验曲线很好地一致，证明了具有所应用的热力学参数和假设的耦合传热和传质模型能够很好地表示实际的温度演变。附图7代表干燥过程中黑莓在不同干燥时间的水分分布情况，与温度分布不同，在干燥初期，黑莓内部的水分分布不均匀，水分梯度随着干燥时间的增加而减弱。这种现象很普遍，因为热空气周围的外表面总是先变干，然后浓度梯度驱使水分从内部移动到表面。同时，水分浓度梯度随干燥过程的衰减意味着传质驱动力减弱，干燥速率因水分损失而降低。模拟结果的可视化也反映了接触和气介式超声处理对黑莓内部水分运动的影响。经接触和气介式超声处理的黑莓内部比未经超声处理的黑莓内部更早干燥。干燥120分钟后，接触超声处理的黑莓内部的水分浓度梯度几乎消失。根据爱因斯坦方程，由于分子扩散率随温度增加，上述高温上升速率导致接触超声处理下水分浓度梯度快速衰减。此外，干燥期间黑莓中心和表面之间的水分含量差异绘制在图7中。可以清楚地观察到，接触超声处理减小差异最快，其次是气介式超声处理和纯热风干燥。
另外，将球形食品水分含量降低至1.0g/g DM所需的总能量为:单独空气干燥2.67kW·h，气介式超声辅助1.89kW·h，接触超声辅助1.38kW·h。因此，超声波加速传热传质可以降低能耗，有利于干燥过程，显示出其作为绿色技术应用于工业干燥的潜力。此外，接触超声处理的能耗比气介式超声处理低27.0％。
该模型的运行代码为：
MATLAB实行代码
function pdex7
m＝2；
x＝linspace(0,0.01,121)
t＝[0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 44.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.25 7.5 7.75 8 8.25 8.5 8.759 9.25 9.5 9.75 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 1717.5 18 18.5 19 19.5 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 65 70 75 8085 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370375 380 385 390 395 400 405 410 415 420 425 430 435 440 445 450 455 460 465470 475 480 485 490 495 500]；
sol＝pdepe(m,@pdex4pde,@pdex4ic,@pdex4bc,x,t)；
u1＝sol(:,:,1)；
u2＝sol(:,:,2)；
disp(u1)；
disp(u2)；
a＝u2
b＝u1
c＝mean(a,2)
d＝b(:,121)
e＝b(:,1)
f＝a(1,:)
figure
surf(x,t,u1)
title('u1(x,t)')
xlabel('Distance x')
ylabel('Time t')
figure
surf(x,t,u2)
title('u2(x,t)')
xlabel('Distance x')
ylabel('Time t')
function[c,f,s]＝pdex4pde(x,t,u,DuDx)
a＝(u(2)*0.003*0.138+0.003*0.138)/0.000004189；
b＝(0.837+1.256*u(2))*1000；
c＝[a*b；1]；
f＝[0.149*60+0.493*60*u(2)/(1+u(2))；1.000*2.608*10^(-6)*exp(-1159/u(1))].*
DuDx；
s＝[0；0]；
function u0＝pdex4ic(x)
u0＝[298；6.25]；
function[pl,ql,pr,qr]＝pdex4bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl＝[0；0]；
ql＝[1；1]；
m＝-14.69*ur(2)*ur(2)+8.203*ur(2)-0.3625；％-37.6*ur(2)*ur(2)+13.12*ur(2)-0.3625；％％0.5742*exp(0.6402*ur(2))-6.547*exp(-32.79*ur(2))；％0.4417*exp(0.4417-54.47*exp(-43.92*ur(2)))；
n＝exp(-0.0058/ur(1)+1.391-0.04864*ur(1)+0.00004176*ur(1)*ur(1)-1.445*10^(-8)*ur(1)*ur(1)*ur(1)+6.545*log(ur(1)))；
w＝((647.3-ur(1))/(647.3-273.15))^0.3298；
pr＝[636.6*(ur(1)-338)-2501.05*2.1667*0.678*w*(m*n/ur(1)-7.187)；
-0.678*0.0021667*(m*n/ur(1)-7.187)]；
qr＝[0.149*60+0.493*60*ur(2)/(ur(2)+1)；(0.003*0.138/0.000004189)*1.000*2.608*10^(-6)*exp(-1159/ur(1))]；
s＝[0；0]；
以上应用举例有效说明本发明预测方法为确定球形食品在特定体积下所需的干燥时间、干燥温度、以及超声强度提供数据支持，有助于更精准地管理干燥过程中的各种参数。
应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。