阅读说明：本技术 一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法 (Displacement mode drag-free control dynamics coordination condition determination method ) 是由 苟兴宇 邹奎 王丽娇 李明群 蒋庆华 王绍凯 李鹤 李声涛 于 2020-05-07 设计创作，主要内容包括：一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法,属于卫星无拖曳控制技术领域,首先假设负刚度力零位与测量零位重合,便于建立位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程、简化的各轴通用的动力学方程、退化的切换动力学方程；位移模式无拖曳控制系统最大推力加速度、负刚度系数及机械限位三个参数之间需要满足一个约束关系式,这是这类系统应当满足的基本动力学协调条件；通过求解切换动力学方程在相轨迹图中的四条渐近线形成容许的初始状态棱形区域,形象地给出了无拖曳推力器最大推力不足时的位移模式无拖曳控制让步动力学协调条件。(A method for determining a coordination condition of displacement mode drag-free control dynamics belongs to the technical field of satellite drag-free control, and firstly, a negative stiffness force zero position is assumed to be coincident with a measurement zero position, so that a displacement mode single-degree-of-freedom drag-free control dynamics equation, a simplified dynamics equation common to all axes and a degraded switching dynamics equation are conveniently established; the displacement mode drag-free control system needs to satisfy a constraint relation among three parameters, namely maximum thrust acceleration, negative stiffness coefficient and mechanical limit, which is a basic dynamic coordination condition that the system should satisfy; the allowable initial state prismatic area is formed by solving four asymptotes of a switching kinetic equation in a phase locus diagram, and the coordination condition of the displacement mode drag-free control yielding dynamics when the maximum thrust of the drag-free thruster is insufficient is vividly given.)

一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法

技术领域

本发明涉及一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，属于卫星无拖曳控制技术领域。

背景技术

无拖曳控制技术是重力场测量卫星、引力波探测卫星及等效原理检验卫星控制技术领域的关键技术。按控制目标的不同，无拖曳控制区分为加速度模式无拖曳控制与位移模式无拖曳控制两类。

位移模式无拖曳控制要求通过推力连续可调的推力器，将星上惯性传感器中的检验质量控制在其电极笼内标称位置附近很小的变化范围之内。检验质量相对于该标称位置的位移对应的加速度是其受到静电偏压负刚度力与卫星受到大气阻力、太阳光压力及推力器推力共同作用的结果。检验质量的相对位移一般在电极笼内通过机械限位装置被限位于指定的最大正、负位移之间。

在某无拖曳试验卫星控制方案研究中发现，位移模式无拖曳控制系统上述特征要求其负刚度系数、机械限位及推力最大值三者之间存在互相约束。例如，如果推力最大值过小，将导致相对位移控制响应的过渡过程时间太长，甚至根本不具备将检验质量从某些恶劣初始条件控制回到标称位置的能力。在后一个可能后果情形，惯性传感器则必须自行建立适当的相对位移与相对速度初值条件，位移模式无拖曳控制才能正常启动并发挥作用。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供了一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，首先假设负刚度力零位与测量零位重合，便于建立位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程、简化的各轴通用的动力学方程、退化的切换动力学方程；位移模式无拖曳控制系统最大推力加速度、负刚度系数及机械限位三个参数之间需要满足一个约束关系式，这是这类系统应当满足的基本动力学协调条件；通过求解切换动力学方程在相轨迹图中的四条渐近线形成容许的初始状态棱形区域，形象地给出了无拖曳推力器最大推力不足时的位移模式无拖曳控制让步动力学协调条件。此外在实际工程的复杂环境下，本发明方法还能利用牵连加速度、推力噪声、推进时间常数、负刚度力零位偏差对棱形区域进行修正，使位移模式无拖曳控制让步动力学协调条件更加适用。

本发明目的通过以下技术方案予以实现：

一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，包括如下步骤：

S1、假设负刚度力零位与测量零位重合，建立切换动力学方程；

S2、在激励无切换条件下，求解切换动力学方程在相轨迹图中的四条渐近线；所述四条渐近线交叉后形成一个棱形区域；

S3、位移模式无拖曳控制动力学协调条件至少为以下两种之一：

基本动力学协调条件：无拖曳推力器最大推力，比，卫星质量、负刚度系数、机械限位尺寸的乘积大；

让步动力学协调条件：无拖曳控制自由度的初始状态相点须在所述棱形区域内。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，S2中，根据切换动力学方程的解定义特征位移，根据太阳光压力和大气阻力、牵连加速度、推力噪声对特征位移进行修正，利用修正后的特征位移对S3中的棱形区域进行修正。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，S2中，根据切换动力学方程的解定义特征位移，根据推进时间常数对特征位移进行修正，利用修正后的特征位移对S3中的棱形区域进行修正；或者；S3中所述的棱形区域所选用的初始位移与初始速度的对应时刻取无拖曳推力器实际输出推力首次达到最大值的时刻。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，当负刚度力零位与测量零位不重合时，利用负刚度力零位偏差对S2中所述的棱形区域进行移位。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，S1中，假设负刚度力零位与测量零位重合，建立位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程；利用位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程获得切换动力学方程。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，对位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程简化后获得各轴通用动力学方程，对各轴通用动力学方程退化后获得切换动力学方程。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，忽略惯性传感器负刚度系数、大气阻力及太阳光压合力加速度以外的影响因素，对位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程简化后获得各轴通用动力学方程。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，基于位移模式无拖曳控制的执行机构配置的最大推力远远大于大气阻力与太阳光压力的合力，对各轴通用动力学方程退化后获得切换动力学方程。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，根据激励的方向，求解切换动力学方程在相轨迹图中的四条渐近线。

上述位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，优选的，基本动力学协调条件：无拖曳推力器最大推力，比，卫星质量、负刚度系数、机械限位尺寸的乘积大一个数量级及以上。

本发明相比于现有技术具有如下有益效果：

(1)本发明方法给出了考虑质心偏差及姿态影响的位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程；

(2)本发明方法给出了不考虑质心偏差及姿态影响的简化的各轴通用的动力学方程；

(3)本发明方法给出了仅考虑静电负刚度力加速度及推力加速度的退化的切换动力学方程；

(4)本发明方法给出了切换动力学方程在激励无切换情形的解析解、相轨迹、渐近线与特殊状态点；

(5)本发明方法给出了位移模式无拖曳控制退化的切换动力学系统的7个特殊相点、全局相轨迹及动力学协调条件；

(6)本发明方法给出了考虑各种复杂工程因素情形运用棱形区条件时的修正策略。

附图说明

图1为本发明方法的步骤流程图。

图2为卫星及其惯性传感器电极笼内检验质量的受力示意图。

图3为位移模式无拖曳系统退化的切换动力学系统全局相轨迹示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明的实施方式作进一步详细描述。

一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，包括如下步骤：

S1、假设负刚度力零位与测量零位重合，建立位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程；忽略惯性传感器负刚度系数、大气阻力及太阳光压合力加速度以外的影响因素，对位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程简化后获得各轴通用动力学方程，基于位移模式无拖曳控制的执行机构配置的最大推力远远大于大气阻力与太阳光压力的合力，对各轴通用动力学方程退化后获得切换动力学方程；

S2、在激励无切换条件下，根据激励的方向，求解切换动力学方程在相轨迹图中的四条渐近线；所述四条渐近线交叉后形成一个棱形区域；

S3、位移模式无拖曳控制动力学协调条件至少为以下两种之一：

基本动力学协调条件：无拖曳推力器最大推力，比，卫星质量、负刚度系数、机械限位尺寸的乘积大；

让步动力学协调条件：无拖曳控制自由度的初始状态相点须在所述棱形区域内。

进一步的，基本动力学协调条件为：无拖曳推力器最大推力，比，卫星质量、负刚度系数、机械限位尺寸的乘积大一个数量级及以上。

S2中，根据切换动力学方程的解定义特征位移，根据太阳光压力和大气阻力、牵连加速度、推力噪声对特征位移进行修正，利用修正后的特征位移对S3中的棱形区域进行修正。此外，S2中还可以根据推进时间常数对特征位移进行修正，利用修正后的特征位移对S3中的棱形区域进行修正；或者；S3中所述的棱形区域所选用的初始位移与初始速度的对应时刻取无拖曳推力器实际输出推力首次达到最大值的时刻。

当负刚度力零位与测量零位不重合时，利用负刚度力零位偏差对S2中所述的棱形区域进行移位。

实施例：

一种位移模式无拖曳控制动力学协调条件确定方法，如图1所示，包括如下步骤：

步骤(1)在存在质心偏差和姿态影响的情况下，建立位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程。

以某卫星仅x自由度为位移模式无拖曳控制自由度为例，在无拖曳控制位移相对于卫星质心存在偏差从而无拖曳控制位移受到姿态影响的情况下，建立位移模式单自由度无拖曳控制动力学方程为：

式中，x为卫星惯性传感器电极室形心即指定的测量零位到检验质量质心的位移矢量在卫星本体坐标系x方向的分量，为对应的加速度矢量在卫星本体坐标系x方向的分量，a_u为卫星在x方向的无拖曳控制执行推力加速度，即加速度控制量；广义负刚度系数为：

广义外扰力加速度为：

式中，ω_SCx、ω_SCy及ω_SCz为卫星的惯性角速度在卫星本体坐标系中的分量，

及

为惯性角速度分量的角加速度；

为惯性传感器负刚度系数，惯性传感器负刚度系数与位移坐标x的乘积即为负刚度力，负刚度力的特点是：区别于弹簧回复力方向与位移坐标相反的常见情况，负刚度力与位移坐标正方向相同；r_SC为从地心到卫星质心的矢径的长度；θ、

为卫星相对于自身轨道坐标系的俯仰与滚动姿态角；x_H、y_H及z_H为卫星质心到电极室形心的固定长度矢径在卫星本体坐标系x、y及z三轴方向的分量；ω₀为卫星轨道角速度；a_d为大气阻力及太阳光压在x方向的合力加速度，也称为阻力加速度。

将实际负刚度力为零的位置称为负刚度力零位。在严格意义上，指定的测量零位要求与负刚度力零位重合，误差小于位移测量的分辨率。在本步骤开始，假设负刚度力零位与测量零位重合，对于负刚度力零位与测量零位不重合的情况，在步骤(7.4)中进行修正。

步骤(2)简化的各轴通用动力学方程及其特征。

在工程实际中，惯性传感器负刚度系数在广义负刚度系数中占绝对主导地位，大气阻力及太阳光压合力加速度在广义外扰力加速度中占绝对主导地位，因此，步骤(1)中动力学方程可简化为：

为简化起见，上式中已省略负刚度系数的下标x。另外，虽然上式中位移状态变量仍写为x，但上式对于无拖曳控制自由度为y或z的情形仍然适用，只需要将上式中x、

分别替换为y、或z、即可；相应地，a_d、a_u也相应的表示y方向或z方向的阻力加速度及无拖曳控制推力加速度。

上式清晰显示出与常见动力学方程不同的特征。图2给出对应上式的卫星及其惯性传感器电极笼内检验质量的受力示意图。结合该图便于理解所述不同特征。其一，上式左端第二项形式上为负，与常规正刚度项符号相反，这也是

被称为负刚度系数的根源所在。其二，由于阻力加速度一般与无拖曳控制自由度正方向相反，即取负值，从上式可见，阻力加速度恰恰给无拖曳控制自由度提供正向加速度。其三，当推力加速度由-x面输出推力方向指向+x的推力器提供时，该加速度为正，从上式可见，该加速度恰恰给无拖曳控制自由度提供负向加速度；当推力加速度由+x面输出推力方向指向-x的推力器提供时，该加速度为正，从上式可见，该加速度恰恰给无拖曳控制自由度提供负向加速度。

因此，在工程实际中，无拖曳推力器正向最大输出推力max(F_t)必须满足以下条件：

式中，M为卫星质量(不含检验质量本身的质量)。满足以上条件时，无拖曳控制才可能具备提供相应控制自由度负向加速度的能力。卫星通常需要配备负向推力器，无拖曳控制才具备灵活的正向加速能力。

步骤(3)退化的切换动力学方程及其含义。

在工程实际中，为了保证控制过渡过程的快速性，一般配置最大推力远远大于大气阻力与太阳光压力合力的推力器作为位移模式无拖曳控制的执行机构，即取：

max(F_t)＞＞M·max(|a_d|)

在卫星无拖曳控制自由度正负方向配置相同的推力器。在步骤(2)各轴通用动力学方程的基础上，退化得到一个切换动力学方程如下：

式中，

该切换动力学方程的含义是：卫星惯性传感器电极笼内检验质量仅具有±x方向运动自由度，受到负刚度力

的作用，而卫星所受非保守外干扰力仅为±x方向的推力。当检验质量状态位移x为正时，无拖曳控制推进系统输出负向最大推力。当检验质量状态位移x为负时，无拖曳控制推进系统输出正向最大推力。

步骤(4)切换动力学方程在激励无切换并指定为-a时的解析解、相轨迹、渐近线与特殊状态点。

对切换动力学方程积分可得解析解如下：

式中，x₀＝x(0)代表初始位移，代表初始速度，从而

为初始状态相点。由上式求导可得速度状态量的时间历程为：

将上列两式合成得到相平面

中的相轨迹方程为：

这是相平面上的一条二次曲线。该式可进一步改写为：

式中，

从相轨迹改写式可见，在切换动力学方程右端恒值激励项为-a时存在两条渐近线：

显然，这正好也是系数b₁＝0时的相轨迹函数。为表达简化起见，令：

x_m称之为特征位移。若无拖曳自由度正、负方向推力器最大推力不一致，则保守地取较小的带入上式以计算该特征位移。b₁＝0时还给出三个特殊的相点：

其中第一个相点正好是两条渐近线的交点。从第二个相点出发，相轨迹沿第二条渐近线无限趋近于第一个相点，但永远无法达到。从稍微向左偏离第一相点并处于第一条渐近线的某个初值出发则可越来越快地抵达第三个相点。

步骤(5)切换动力学方程在激励无切换并指定为+a时的解析解、相轨迹、渐近线与特殊状态点。

对切换动力学方程积分可得解析解如下：

速度状态量的时间历程为：

将上列两式合成得到相轨迹方程为：

仍是一条二次曲线。该式可进一步改写为：

式中，

可见，该情形在激励固定为-a情形基础上增加两条渐近线：

及一个特殊相点：

该相点正好是新增两条渐近线的交点。从第三个相点出发，相轨迹沿新增第二条渐近线无限趋近于该相点，但永远无法达到。从稍微向右偏离该新增相点并处于新增第一条渐近线的某个初值出发则可越来越快地抵达第二个相点。

步骤(6)位移模式无拖曳控制退化的切换动力学系统的7个特殊相点、全局相轨迹及动力学协调条件。

在工程实际中，检验质量质心的运动范围总是受到机械限位的约束，而且机械限位关于状态原点左右对称。令右侧机械限位为x_d，则一般地，决定检验质量质心相对于惯性传感器电极室型心运动相轨迹的相点共有7个。其中前4相点见步骤(4)、步骤(5)，另外3相点中，

为右侧机械限位相点；

为左侧机械限位相点；

为相平面上的原点。

以a＝0.5882μm/s²、x_d＝10μm为例，在相平面上绘制前述4条渐近线、标出这7个点并任选初始相点进行仿真，得到图3所示全局相轨迹示意图。图中虚线为渐近线，星点“*”为特殊相点，圆点“.”为仿真任意选择的初始状态点，实线为从初始相点出发的相轨迹，往远离圆点的方向运动。

当最大推力加速度、负刚度系数、特征位移及机械限位等参数发生变化时，图3中除原点以外的6个特殊相点的位置也会发生变化，4条渐近线也随之发生变化，但整个相平面被这4条渐近线分为上、下、左、右、中5区的特点及相轨迹在这5区的演化趋势始终不变。

图3表明：由4条渐近线环绕原点围成一个棱形区，初始相点只有处于这个棱形区内部，才能确保后续相轨迹被限定在棱形区内部，而特征位移x_m则是一个由最大加速度与负刚度系数共同决定的极限位移参数。不难理解，如果初始相点落在该棱形区之外，则无论采用什么控制方法，相轨迹都不可能回到作为位移模式无拖曳控制的指令状态——原点的附近，最后必然在机械限位作用下，终止在左侧或右侧机械限位相点处。从而，在工程实际中，应合理选择无拖曳控制系统相关参数，使得机械限位相点落在棱形区以内，即：

x_m＞x_d

基于以上认识，归纳出位移模式无拖曳控制的动力学协调条件如下：

步骤(6.1)无拖曳推力器最大推力、负刚度系数及机械限位三个关键参数之间应满足以下关系式：

这是建造位移模式无拖曳控制系统的基本动力学协调条件。

在工程实际中，为了保证控制过渡过程的快速性，常常要求这三个关键参数满足以下约束关系式：

即|F_t|比M、x_d的乘积大一个量级及以上。

步骤(6.2)在不满足(6.1)第一式的情况下，则无拖曳控制自由度的初始状态相点必须落在棱形区内，简称棱形区条件。

在开始位移模式无拖曳控制之前，惯性传感器电极笼中的检验质量所有6个自由度都处于静电悬浮控制状态。卫星通过解除某个或某几个自由度的静电悬浮控制为这些自由度的无拖曳控制建立初始状态。在无拖曳试验卫星开展在轨试验或无拖曳科学任务卫星做在轨测试与调整期间，可能因静电负刚度系数设置太大等原因而出现步骤(6.1)第一式得不到满足的情况，即本发明背景技术中最后一段提及的某型号卫星在轨试验出现的情况。在这种情况下，任意一个无拖曳控制自由度的初始状态相点

应满足的棱形区条件的不等式为：

上式表明，在负刚度系数指定的前提下，仅需要特征位移一个参数即可表达该棱形区。因此，后续进一步能够考虑各种因素对该棱形区进行保守化修正时，直接对特征位移x_m进行修正即可。

步骤(7)进一步考虑各种工程环节对特征位移进行修正。

步骤(7.1)在各种广义非保守外干扰力加速度及噪声影响下的特征位移修正。

令非保守外干扰力为F_d，姿态运动通过质心偏差在检验质量标称位置所引入的加速度为a_erk，后者包括牵连加速度、相对加速度及科氏加速度三种成分，是这三种成分在x方向分量的合成结果。无拖曳卫星姿态运动缓慢，质心偏差最多到米级，检验质量相对于卫星的运动速度更是微乎其微，因此在a_erk中忽略相对加速度及科氏加速度，即有：

a_erk≈a_e＝ε_ed

若位移模式无拖曳控制在卫星固连坐标系±x方向进行，上式中ε_e为俯仰姿态加速度及偏航姿态加速度的合成结果，d则为在卫星固连坐标系yoz平面的分量，通常采用估计上限值。其它两轴参照上述方法类推，不再赘述。

针对广义非保守外干扰力加速度影响，特征位移表达式修正为：

令推力噪声功率谱密度函数为S_t(f)，并令位移模式无拖曳闭环控制系统带宽为f_N，从而推力噪声的标准差为：

则，在推力噪声影响下，特征位移表达式进一步修正为：

位移模式无拖曳闭环控制系统测量量为相对位移。一般来说，相对位移测量精度很高，测量噪声对特征位移的贡献十分微小，从而加以忽略。

步骤(7.2)在步骤(7.1)的基础上，对推进时间常数等其它因素的考虑。

在位移模式无拖曳控制系统中，控制部件模型参数、控制周期及控制器参数等都会对初始相点的容许取值产生影响。检验质量实际位移被敏感器拾取、滤波并输出必然存在滞后；控制器拿到敏感器数据并经控制算法运算输出指令推力需要一定时间；无拖曳推进子系统因其时间常数的存在，从其接收到控制器输出的指令推力到输出实际推力常常存在更长时间的滞后。但推进时间常数的影响在这些因素中占据主导地位。

这些因素对棱形区条件的影响可以下面两种方式加以考虑。

其一，对特征位移的表达式引入修正因子，即在(7.1)的基础上修正为：

式中修正系数c＜1。

其二，基于步骤(7.1)中特征位移表达式判断步骤(6.2)棱形区条件是否得到满足时，所选用的初始位移与初始速度以实际输出推力达到最大值时刻时检验质量的相应值为准。

步骤(7.3)负刚度力零位偏差的影响。

在步骤(1)中已经指出，在严格意义上，负刚度力零位应当与指定的测量零位重合。但工程实际中做到这一点并不容易，实际负刚度力零位x_fns0甚至可能明显偏离测量零位。

在这种情况下，步骤(1)、(2)及(3)中动力学方程需要进行修正。具体作法是，将方程左端第二项中x替换为x-x_fns0。

在这种情况下，在判断初始相点是否满足棱形区条件时，需要进一步对特征位移进行修正，得到在相平面内移位的棱形区条件。具体作法是，将棱形区条件不等式中的x_m替换为x_m-x_fns0。

在x_m替换为x_m-x_fns0之前，当x_fns0＞x_m时，无论初始相点处于何处，以测量零位为指令位置的无拖曳控制完全无法实现。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

本发明虽然已以较佳实施例公开如上，但其并不是用来限定本发明，任何本领域技术人员在不脱离本发明的精神和范围内，都可以利用上述揭示的方法和技术内容对本发明技术方案做出可能的变动和修改，因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化及修饰，均属于本发明技术方案的保护范围。