相控阵列系统的驱动技术

文档序号：1590942 发布日期：2020-01-03 浏览：26次 >En<

阅读说明：本技术 相控阵列系统的驱动技术 (Driving techniques for phased array systems ) 是由本杰明·约翰·奥利弗·朗菲利普·埃德温·琼斯于 2017-12-13 设计创作，主要内容包括：描述了用于驱动相控阵列系统的各种技术,特别是旨在用于应用于半空触觉、参量音频、声悬浮和声成像的声学相控阵列,包括一种系统：1)能够减轻空中变化的影响以提供一致的触觉体验；2)在空中产生陷阱点；3)根据用于产生更一致的触觉效果的矢量来定义相控阵列优化；4)经由受控的声场在空间中定义一个或多个控制点或控制区域；5)使用简化的表示方法来构造声学基函数；6)针对大量的吞吐量执行复值的高效评估；7)生成矩阵的Krylov子空间；以及8)使由不同控制点和/或区域描述的目标最大化到被用于创建声学基函数的那些目标。(Various techniques are described for driving a phased array system, particularly an acoustic phased array intended for application to semi-hollow haptics, parametric audio, acoustic levitation and acoustic imaging, including a system: 1) the impact of airborne variation can be mitigated to provide a consistent haptic experience; 2) creating trap sites in the air; 3) defining a phased array optimization according to vectors for producing more consistent haptic effects; 4) defining one or more control points or control regions in space via a controlled sound field; 5) constructing acoustic basis functions using a simplified representation; 6) performing an efficient evaluation of complex values for a large amount of throughput; 7) generating a Krylov subspace of the matrix; and 8) maximizing the objectives described by the different control points and/or regions to those used to create the acoustic basis functions.)

相控阵列系统的驱动技术

相关申请

本申请要求以下八个美国临时专利申请的权益，所有所述申请通过引用整体而被并入：

1. 2016年12月13日提交的序列号62/433,544。

2. 2016年12月20日提交的序列号62/436,457。

3. 2016年12月22日提交的序列号62/437,791。

4. 2016年12月23日提交的序列号62/438,512。

5. 2017年12月5日提交的序列号62/594,574。

6. 2017年12月5日提交的序列号62/594,687。

7. 2017年12月5日提交的序列号62/594,836。

8. 2017年12月5日提交的序列号62/594,874。

技术领域

本公开总体上涉及用于驱动相控阵列系统的改进技术，主要用于产生用于创建半空触觉、参量音频、声悬浮和声成像的设计声场。

背景技术

声能量的连续分布(我们将其称为“声场”)可以被用于包括半空中触觉反馈的一系列应用。

在该声场中，可以定义一个或多个控制点。这些控制点可以用信号进行幅度调制，并因此在半空中产生振动触觉反馈。产生反馈的可替代方法是创建在幅度上未被调制的控制点，并在空间上四处移动它们以创建可以被感觉到的空间-时间调制。

由设备创建的控制点的最小大小和最大功率取决于要创建的一个或多个控制点的阵列布局、几何形状以及相对位置。因此，可能无法使一个位置中的控制点的行为与另一个位置中的行为相匹配。当使控制点通过空间进行动态移动时，可能出现另外的复杂情况。因而产生的由用户体验到的点的触觉功能变化是不期望的并且通常是反直觉的，导致了混淆和经验沉浸感的丧失。因此，能够减轻空气变化的影响并且能够使其逆转以提供一致的触觉体验的系统在商业上是有价值的。

此外，已经表明的是，一般的非线性优化系统可以被用于在空气中产生陷阱点(trap point)。但是用于此目的的机制具有许多缺陷，包括但不限于：没有评估适合于悬浮在相控阵列系统上方的势场(potential field)、使用不必要地昂贵且耗时的优化过程以及仅限于相位操纵。

解决这些问题是重要的，因为现有系统创建的陷阱不如它们可能的那样强，并且由于这些缺点而无法正确地缩放。这使得创建利用声悬浮的系统为促进多模态方法和触觉系统的可替代使用提供了另外的视觉资料。

此外，通过在空间中定义一个或多个控制点，可以控制声场。每个点可以被分配等于控制点处的期望幅度的值。然后可以控制一组物理的换能器以创建在控制点处呈现期望幅度的声场。

由于现有系统的要求，声相控阵列的自然方向分量很少受到关注。例如，目标是将能量聚焦到小面积中的高频率治疗医疗系统通过标量压力(参与空气分子数量的变化)被充分地近似，从而确定注入能量的最佳解，因此不需要矢量解。由于聚焦相控阵列矢量行为(描述空气分子的运动方向)在大多数情况下可以被忽略，因此有效地实现这一点尚未成为优先项。

然而，在半空中创建触觉反馈涉及与人皮肤交换振动。这完全依赖于与波前以及与由波携带的动量接触的表面，其是与波的矢量行为接合的结果。不仅如此，由于系统被聚焦为使得换能器元件之间的入射角越来越不同，动量和压力之间所假设的线性关系不成立。不可能忽略该系统中的矢量分量，并因此标量压力不足以始终如一地找到用于创建半空触觉效果的合适的解。针对这个原因，将这种动量效应的意识建立到设备中具有商业利益。

已经表明的是，特征矢量的计算映射到矩阵代数中的一些非常特定的纯二次型约束问题的解。如果可以形成矩阵(针对半空触觉中特定问题给定换能器的控制系数求解其特征矢量)，则该解可以形成呈现对现有技术的简化的设备实施方式的基，并因此具有价值。

此外，为了使用简化的表示方法来描述基函数，首先必须开发能够在声场的细节方面对有用函数进行简单(低熵)描述的速记。

理想情况下，该描述将是从用户的角度可以是可访问的事物。

在已经找到这种可获取的、低熵表示之后，还必须存在一种将它转换成它的等效换能器基(换能器基组，其描述了稍后的解中潜在的许多基函数中的一个的换能器声场的基)。这将使预期用户能够在声场内设计各种不同的结构，使它们能够构建定制系统以最大限度地操纵场中的能量流，从而导致创建可以一次使用许多不同效果(诸如焦点、Bessel波束、局域空心波束(bottle beam)、弯曲波束等)的系统。这些将使控制点的概念扩展到封装了更丰富的声场控制方法的控制区域中。

还发现的是，当考虑触觉中的动量传递时，为了使用粒子速度作为波方向的替代，必须处理一些问题。

此外，利用相同的第二操作数执行高效的并行复值乘法对于实现具有与需求文档中概述的那些性能度量一致的性能度量的设备所需的大量吞吐量来说是必要的。具体地，为了并行计算，导致对必要优化矩阵的行的计算的求和中的一个元素将足以满足要求，但前提是子系统被复制足够次数。因此，为了使子系统是有用的，它必须小且高效。这种对效率的迫切需求产生了对旧算法的不同观点，其产生了在简单乘法之上评估复杂超越函数的新方法。

在更广的世界中，这得到的算法适用于处理硬件的元素必须用模量不能够被忽略的复值数据高效地或实时地交互的任何地方。这包括但不限于通信，包括GPS、无线、无线电和卫星传输和接收系统、音频处理、包括半空触觉的相控阵列系统、飞行时间成像和数字干涉测量、散射效应和偏振的计算等。这可以转化为本发明的更广泛范围的机会。

Volder的算法，也称为CORDIC(Volder,J.-The CORDIC computing technique-1959)，可以将单位复值相乘，但不能够在没有超出基本CORDIC算法的计算的进一步计算的情况下将模量包括在该计算的第二操作数中。

针对这个原因，几年前由作者实施的1994年发明的分离算法以作者Bajard、Kla和Muller而被称为BKM，并且还可以实现完全复数-复数乘法的目标(Bajard,J.、Kla,S.和Muller,J.-BKM：A new hardware algorithm for complex elementary functions–1994)。然而，该算法具有复杂的实施方式，并因此没有受到假如其不复杂那样多的关注。该算法可以通过将复值操作数减少到它们的复数对数、将它们相加并且然后取幂来实现完全复数-复数乘法以实现该结果。

在某些情况下，存在一种更有效的方式来用BKM和新算法串行和并行地实现这种复值乘法以及复值除法。

BKM算法的1999年补编解决了复值对数的过于复杂的实施方式，稍微简化了该实施方式。(Bajard,J.和Imbert,L.。-Evaluation of complex elementary functions：BKM的新版本-1999)。1994年的这种BKM方法和1999年的补编形成了在本文档中将被简称为BKM的算法。

在尝试优化用于包含到真实硬件中的算法时，新技术的想法变得显而易见，其优先考虑易于集成到我们的或更一般地任何现有系统中，而不是评估所描述的数学函数。这种新技术在其被开发成概念验证代码时，结果证明具有许多另外新出现的性质，该性质使得其比原始算法对于硬件实施方式的一般采用更有前途。另外，如果需要原始技术所请求的确切图，则可以应用进一步的缩放来检索这些结果，其中该算法作为整体仍具有竞争力。在任一种情况下，结果都是与现有技术相比具有实质性益处的技术。

已知的是，可以通过构造其特征问题等效于二次型问题的矩阵来求解具有单位范数的二次型问题。可以通过对许多秩-1问题矩阵求和和/或扩展现有问题矩阵的零空间来生成大于秩-1的二次型问题矩阵。通过生成该矩阵的Krylov子空间，可以生成隐含基函数的优化子集。通过使用Krylov子空间作为线性系统的基组，可以实现使用许多测试函数对基组的正确或近似评估。

取决于使用多少特征矢量以及它们选自哪里，可以实现对一组复杂的许多基函数的适度降级(graceful degradation)，这是因为每个后续特征矢量的幂被降低。

此外，用于定义声场形状的结果的复值线性系统采用n个基函数并将这些基函数重新组合成为结果场(resulting field)，其描述了载波频率下声压的期望配置。

直到此刻，控制点基函数仅曾用于致动控制点。本文描述的是如何推广以将不同组的控制测试函数应用于初始控制点基函数或初始控制域基函数。

这是重要的，因为它打破了声场中行为的初始“调色板”与线性系统使用的目标函数之间的联系。例如，这可以被用于创建Bessel函数的基组，其然后可以被用于致动控制点。

具体实施方式

前述技术、装置和方法可以被组合地或单独地用在半空触觉系统中。

1.半空触觉设备的动态范围减小

I.心理物理建模

系统的行为和触觉输出必须根据人感知触摸的方式进行校准。例如，在控制点尺寸增加的情况下，触觉感知也增加，尽管在控制点处产生的物理幅度不改变。跨模态效果(例如来自音频)用于增强触觉反馈(如果它们是相关的)。这导致物理定义的控制点之间的差异，使得使用心理物理建模步骤以便实现等效感知成为必要。

II.使用心理触觉(psychohaptic)模型重新映射

由于回放设备的物理限制，精确的波形可能不是如指定的可重现的。可以在心理触觉地定义的感知空间中构造波形。或者它可以由基本上绝对物理标度上的强度和力测量组成，其可以是和另外元数据一起潜在地表达的触觉纹理或任意构造的波形的记录。该波形表示给定“完美”半空触觉设备的控制点的行为。这然后使用心理物理模型来感知地评估，该心理物理模型可以描述和量化控制点的重新创建的感知方面。控制点可以在重新创建该触觉效果的同时进行移动。可以包括该移动作为触觉效果的感知评估的一部分。这然后可以被重新解释为可用于由用户位置、相对几何形状和可用功率限制约束的半空触觉系统的实例的输出空间，其中该系统被配置为创建基本上等效的控制点。

心理触觉模型赋予设备确定可以如何修改控制点的调制波形以便激发与完美设备基本相同的触觉响应的能力。实现该重新映射的过程也可以包括心理声学建模步骤，以便防止所得到的触觉波形变得有噪声，或者选择在可听见上更可接受的调制，该调制在感知触觉空间方面是闭合的(close)但具有更少的噪声。已知的是，通过增加可听噪声的量可以使许多波形在触觉上更有力。在某些情况下，这可能是噪声大到足以是难以维持的，而在其他情况下这可能是期望的。然后可以联合使用心理声学模型来提供音频到触觉折衷设置，其偏置输出以使其更安静或更强。

III.心理触觉单元

如果在心理触觉空间中定义波形，其中幅度旨在感觉等效，则必须设计一种单元，该单元考虑所产生的控制点在半空中的心理触觉效果。这些中最值得注意的是整个手上的触觉感觉的整合。每个控制点所涉及的聚焦区根据物理设备的性质再次改变大小和形状，并且这必须在心理触觉单元的构造中被抵消。这样的心理触觉单元根据聚焦区的大小和形状来将它将评估的物理控制点幅度改变为什么样，从而抵消在大面积上触觉感觉的整合的效果。以这种方式，该方法允许相同数量的心理触觉单元编码等效感觉，保持设备和物理实例上的触觉等效。

IV.动态波形重新映射

为了实现到目标设备的最佳映射，可以考虑完整波形及其轨迹。然而，由于交互性并因此要求低等待时间，因此波形的仅一部分或甚至个别样本可以是可用的。尽管可以将整个波形重新映射到目标设备的能力中，但是这样做要求必须预先知道波形，并且其因此可以被认为是对已知波形的预处理步骤。一种可替代方案是重新映射每个波形样本在幅度上的物理性质，因为可以利用交互式波形实时地实现重新映射幅度样本，使其更适合于实时提供触觉反馈。

各种函数可以被认为是为控制点幅度样本提供重新映射的良好候选。这些包括对数线性曲线以及S形函数(sigmoidal function)，其可以令人信服地重现在其他模态中具有低动态范围的设备上的感知感官输入。虽然这些曲线通常不要求映射函数中的上限的指定，但是如图1和图2所示，假设存在有限量的可用功率，则可以更有效地使用动态范围。图1示出了任意动态范围100的触觉波形，其可以通过非线性重新映射函数110进行处理以创建受控动态范围120的新波形。这可以被用于获取任意动态范围的触觉波形并将其转换为更小的范围。由于波形在幅度上可以是无限大，因此这不填充输出的整个动态范围，从而导致未使用的输出范围。在图2中，类似于图1，非线性函数210将幅度波形200重新映射成对目标设备220可用的幅度。对波的范围的意识使得重新映射函数被精确地调整以适应特定于设备的输出范围。这允许利用设备输出的整个范围。

为了说明，在以下示例中使用最小线性重新缩放(minimalist linearrescaling)来描述在半空触觉设备中映射如何防止不期望的行为。

图3中示出了曲线图300，其中朝向实现将波形重新映射成可重现的感知的第一步骤是将数据馈送到描述波形及其限度300的求解器函数中。在图3中，实线是A′₁，并且虚线是A′_1，range。这是简单波形重新映射函数的输入。这里的y轴是以设备内部的单位表示的。

这是通过定义需要被重现以发射波形而不进行削波的最大幅度来实现的-这在每个采样时间被表示为A′_1，range。然后将其作为输入与输入波形幅度A′₁一起馈送到求解器中。

图4中示出了曲线图400，其示出了在不对输入数据应用任何改变的情况下尝试重现该波形的结果。结果是波形由于缺乏可用功率而被削波以在控制点处重新创建必要的幅度。在图4中，实线是A′_{1，simulated}，其是幅度(A′₁，χ₁，T)的结果以及不考虑设备的动态范围而尝试直接输出图1中用户指定的幅度的结果。

将系统中的有源换能器的物理配置定义为T和位置χ₁处的期望的控制点幅度A′₁，可以使用半空触觉系统的求解器函数的辅助能力来定义函数幅度(A′₁，χ₁，T)，如果给定设备物理上能够在给定时间提供这，则所述函数幅度(A′₁，χ₁，T)在控制点处产生期望的载波幅度，或者可替代地产生在控制点位置处可以被重现的最接近的幅度。

评估A_1，limit：＝amplitude(A′_1，range，χ₁，T)，则产生输入幅度在该时间点可以被映射到的范围的最大值。这不需要是精确的，因为控制点在样本之间移动不多，所以可以使用来自控制点的先前迭代的A_1，limit的值。也可以对该值进行滤波以便去除舍入误差和其他噪声源。在这种情况下，重新映射函数采用波形的单个样本，并将其从区间[0，A′_1，range)重新映射到区间[0，A_1，limit)上。图5中所示的是曲线图500，其经过重新映射函数500产生从A′₁∈[0，A′_1，range)到A₁∈[0，A_1，limit)上的直接映射。通过将幅度从A′₁重新映射为由A_1，limit：＝amplitude(A′_1，range，χ₁，T)至值A1而获得的范围，防止了波形的削波并且A′_{1，simulated}＝A₁。

V.对多个同时控制点进行重新映射

要一次针对多个控制点来使用该系统，必须同时评估范围，使得求解器可以如下保证：波形可以被正确地表示，如图6中两个正弦波情况示例。示出了曲线图600，其中在不同时间点用不同幅度A′₁和A′₂创建了两个控制点。相对于换能器阵列，一个控制点朝向其移动并且另一控制点越过其移动。它们被设置为以两个不同频率的正弦波在幅度上振荡。

与单个控制点(其中违背设备的功率限制导致功率不足)不同，具有超过设备的限制的多个控制点的削波波形促进点之间的串扰，混淆了它们的触觉效果。图7中所示为曲线图700，其示出了两个移动控制点的示例。图7示出了使用换能器阵列重新创建两个控制点的尝试，其导致复杂且不可预测的行为，这是因为两个点之间的不同共振被创建和替换，但最终无法达到期望的水平。

图8中所示为曲线图800，其使用辅助求解器评估来确定两点处存在的功率限制，其然后可以被写为{A_1，limit，A_2，limit}：＝amplitude(A′_1，range，A′_2，range，χ₁，T)，导致所示的波形。这里，一个控制点正朝向设备移动，具有变得更强的潜在性，并且另一控制点正越过设备的面并远离设备移动，具有变得更弱的潜在性。从图8可以看出的，由于通过求解器解生成的动态范围限制，它们的波形然后可以按预期的进行表示并且没有串扰。因此，图8示出了两个点，它们的幅度包络被减小到这样的水平，由求解器保证该水平被如实地重新创建而没有误差或者具有受控的已知水平的误差。它们是相同的功率，因为这是以理想化幅度水平使平方幅度误差最小化的配置。

VI.跨多个同时控制点的功率重新分配

幅度范围可以被设置为不同的值，并且甚至可以通过时间被动态地设置，以便管理功率水平。以这种方式，操纵范围可以确定在给定控制点处集中的阵列输出的比例。这针对从一个控制点到另一控制点的功率的简单操纵而在图9和图10中示出，但也是使诸如图11和图12中所示的控制点之间的行为动态成为可能的更复杂的异相关系。

图9中示出了具有两个输入控制点的输入波形和范围的曲线图900。这些具有不同的波形范围，其作为提示也是双倍的，以允许每个点从设备取更多或更少的可用功率。图10中所示为曲线图1000，其具有由图9中的输入所得到的输出。在该配置中，当控制点分别远离和朝向阵列移动时，阵列产生的功率从一个控制点移动到另一个控制点上。因此，可以使用比预期控制点将具有相等幅度情况下的功率更多的功率，如针对图6、7和8所预期的。

图11中所示为具有交变函数(alternating function)的曲线图1100，其中一个控制点或控制点组斜坡上升，其中幅度上逐渐减弱的另一个控制点或控制点组可以通过使该范围与正弦曲线匹配而进行有效地建模。该结果是根据调制系统每一侧的功率要求来重现每个波形，同时保证该系统的每一侧获取全阵列功率。结果是时间分片(time slicing)而没有任意输出削波的潜在性。图12中所示为具有由图11中的输入得到的输出但没有所描述的分组的曲线图1200。这导致输出动态范围的减小，因为在所有控制点之间不必要地共享了功率预算。

2.声悬浮的陷阱点的高效创建

I.悬浮球形粒子的优化目标

悬浮粒子所需的优化问题以Gor'kov能量势(energy potential)的使用为中心。这是一个标量函数，其评估在声场中粒子的每个可能位置的能量。在空间位置处找到最小或低能量状态对应于找到潜在稳定的陷阱点。然而，存在Gor'kov势(Gor’kov potential)没有考虑的声学效应，诸如声流，其中声波在流体中引起整体运动(bulk movement)。针对这个原因，优选还确保陷阱不出现在波动压力的区域中，其通常被确定是能量势中可行的最小值，这是因为由于其他因素未被包括在势的定义中，所以这些波动是破坏性的。

由于无法单独从Gor’kov势导出诸如重力和声流效应的外部力的方向和量值，因此通常优选计算Gor′kov标量势的拉普拉斯算子(Laplacian)。这给出了对哪些轴优先于其他轴的进一步的控制程度以便生成内推力的更稳定布置。

II.评估Gor′kov势

Gor′kov势场是能够使球形粒子由于能量最小的存在而漂浮的能量场，其被描述为(在Bruus 2012中)：

其中c₀是声音通过声介质的速度，c_p是声音通过球形粒子的速度，ρ₀是声介质的密度，ρ_p是球形粒子的密度，涉及时间平均的压力

的左侧项是势能的表示，并且涉及粒子速度矢量

的右侧项是与势能相反地相关的。由于Gor′kov势使得存在于有源场或远场中的假设成立，这些压力项和速度项可以被替换为同相的时间谐波项。这表明时间谐波Gor′kov势场可以被改写为：

将此扩展到许多源而产生：

这的问题在于交叉项实际上意味着这变为：

导致为二次型且在换能器的平方的数量上增长的项。

III.通过特征问题来优化势

忽略时间谐波效应并且在每个换能器中考虑压力和粒子速度输入，势定义可以被改写为：

U＝x^HMx，

其中j是期望的陷阱的索引，并且额外的

表示当从换能器q和r移动到陷阱点j时相位和幅度变化。使用约束x^Hx＝1来确保使换能器功率为非零水平，通过具有最大特征值的M的特征矢量给出实现势阱的最佳复数换能器激活系数。

这种x的选择使目标函数x^HMx最大化，其由于M_q，r定义中的负号而产生Gor′kov势场中的最小值。这是因为x^Hx＝1是特征矢量的定义，以及x^HMx＝x^Hλx，鉴于按定义当λ(矩阵的特征值)被最大化而x^Hx＝1时这必须产生最大值(如果其存在的话)。然后问题的标准陈述变为：

最大化x^HMx

受制于x^Hx＝1，

并且

然而，如先前在文献中所讨论的，最小化Gor′kov场的能量生成焦点而不是实际的陷阱点。为了生成陷阱点，陷阱处的压力波动被最小化。这是重要的，因为压力波动的定义是复值的，并且表示不能被有意义地最小化但是替代地使其为零的波动量。

IV.在特征问题内构造零空间以生成压力零

零压力条件可以被构造为一系列约束，其在声场中的给定点处评估为零压力。如果存在与高维相空间中的已知最佳压力聚焦解平行的解矢量的一部分，则压力仅可以在给定位置处评估为非零值。对于陷阱点j，存在矢量

其是：

因此，陷阱点j处的零压力的约束可以被描述为约束方程：

由于什么样的幅度对于此无关紧要并且该约束需要为单位长度，因此：

因此，该问题的标准陈述是：

最大化x^HMx

受制于x^Hx＝1，

并且

从Golub(1973)中获取eigensystem结果并将其重新表示为复值，得到以下参数：复值

给定m＝1的上述系统，特征方程针对该系统而可以被写为：

其中λ和μ是拉格朗日乘数(Lagrange multiplier)。这可以通过x矢量的共轭来区分，产生系统：

Mx-λx+μc＝0，

通过乘以c^H产生：

c^HMx-c^Hλx+c^Hμc＝0，

c^HMx-c^Hxλ+c^Hcμ＝0，

假设c是单位长度，则产生c^Hc＝1，较早的问题定义产生c^Hx＝0，并且替换两者产生：

μ＝-c^HMx。

将这替换回较早的导数中，产生：

Mx-c^HMxc＝λx，

其是：

(I-cc^H)Mx＝λx，

由于这是特征系统的陈述，但是(I-cc^H)M可能不是对称的，使得特征矢量计算变得困难。然而，I-cc^H可以被示出为是幂等的((I-cc^H)²＝I-cc^H)并且特征值通过排序而是不变的，产生：

(I-cc^H)M(I-cc^H)x＝λx，

将这扩展到更多约束矢量，左侧的进一步的相乘不存在问题：

其在多次相乘之后最终产生：

C＝[c₁ … c_j … c_m]，

其中

表示Moore-Penrose伪逆。

综上，通过确定具有

的最大特征值的特征矢量，可以找到初始问题的解。乘以

可以被视为添加秩-1变化，将基矢量添加到解矩阵的零空间。

最后，以简单的方式添加对计算Gor′kov势的拉普拉斯算子的支持是有用的。本文找到的Gor′kov势解产生了陷阱点，但是不存在对从哪些方向施加力的控制，并且甚至可以存在没有力的方向。为了实现这一点，需要就势场的梯度中的最大发散点进行优化，并且然后对该场的梯度重新加权。这则是一般所说的Gor’kov场的拉普拉斯算子。

V.用于生成Gor′kov场的拉普拉斯算子的修改

最小化Gor′kov场的拉普拉斯算子的修改仅必要地适用于M矩阵。如果舍弃来自每个换能器的波前曲率的影响并且仅将它们视为平面波，则使公式复杂化的奇异点(singularity)被移除并且粒子速度变为常数。由每个换能器得到的平面波可以以如下形式重写：

然后，在没有拉普拉斯算子的Gor’kov的情况下，矩阵元素可以被表示为等效系统：

其中M_q，r中的所有常数都被合并为A_j，q，r。取该公式的拉普拉斯算子，然后产生经修改的矩阵公式：

使用该值代替M矩阵的相应分量产生了针对Gor'kov势的拉普拉斯算子进行优化的解。由于项

可以被重写为：

因此它也可以被分成来自x、y和z方向的贡献：

以这种方式，可以应用加权来生成约束轴并偏置从每个方向生成的力。

VI.在设备中的实施方式

本文档中的系统表示可以被用于基于简单的特征系统求解器计算一个或多个悬浮陷阱的设备。这可以潜在地在设备固件中实施，以便创建能够使用声悬浮来进行约束、陷阱和运输物品的实施例。

这在图13-16中示出。

图13示出了等效方向加权的Gor'kov的拉普拉斯算子。左侧1310是与换能器阵列平行的x-y平面。右侧1320是垂直于并切穿(slicing through)平坦换能器阵列的x-z平面。

图14示出了z方向重加权的Gor'kov的拉普拉斯算子。左侧1410是与换能器阵列平行的x-y平面。右侧1420是垂直于并切穿平坦换能器阵列的x-z平面。

图15示出了零压力条件下的Gor'kov最大化。左侧1510是与换能器阵列平行的x-y平面，其描述了如由围绕均匀强度的环的非均匀阴影所示的螺旋陷阱。右侧1520是垂直于并切穿下方的平坦换能器阵列的x-z平面。

在图16中，另外的特征模1610、1620、1630对应于也求解核心问题的陷阱解。这些不太有效，因为它们没有使目标函数最大化。这是因为目标函数的值(经修改的Gor’kov势)对于与主特征矢量正交的这些模来说较小。所实现的目标函数的值被反映在与每个特征矢量相关联的特征值中。与较小特征值相关联的特征矢量表示这些可替代的不太有效的解。

3.具有应用于半空触觉的矢量效应的相控阵列设备聚焦

I.有源声强

可以使用声介质的压力p和粒子速度矢量u来定义有源声强I_a。对于声波，这可以被描述为：

其中有源强度是纯实数矢量量。在波源的近场中，反应场(reactive field)替代地占主导

然而，在远场中，因此超过一个或两个波长，I_r→0。针对这个原因，将仅考虑I_a并且假设其被保证为实数。

考虑单色平面波源，其中：

导致：

其中

是压力幅度，并且

是每个方向上的粒子速度幅度。

波沿着给定轴传播的声强和因此能量通量是令人感兴趣的，因此用于测量标量贡献的点积是：

由于声波方程的形式：

叠加原理必须适用于压力和粒子速度矢量两者。假设n个声源并且在感兴趣的点处将每个声源近似为平面波，则产生方程：

为了效率，其期望使用线性系统求解适当的变量。这意味着不能针对给定方向上的声强来求解它，因为它由两个独立的变量组成。现有技术求解复值标量压力

并且然后假设个别波中的每个波的方向无关紧要或大致平行。代替地，求解粒子速度矢量

因为这直接影响动量(和动能)，其对于半空中触觉反馈的应用是重要的。

这导致扩展当前解机制以利用复值粒子速度矢量

来创建解的两种潜在技术，其遵守波的方向性及其所得到的能量传递。

II.复值压力的求解方法

复值压力的求解方法涉及使用压力的声学模型。给定换能器位置以及控制点位置，可以查询该模型，并且在场中该点处因而产生的相量被确定。这是复数压力，

其中j对应于声场中样本点的索引，并且q对应于被致动的换能器的索引编号。这使得能够创建欠定线性系统：

其中b是在位置1，…，j，…，m处空中的相量，并且x是来自换能器1，…，q，…，n的换能器激活系数，创建由b指定的空中行为所需的初始相位和幅度。

然而，由于b是复值并且包含相位和幅度规范，因此可以自由地修改相位偏移。可以利用这来找到打开最大的可能的幅度子空间的相位值。这是通过找到系统的主特征矢量y来实现的，Ly＝λy：

其中A表示声场中每个点处期望的幅度，并且k表示所应用的每列归一化，其对于声场1，……，j，…，m中的每个控制点，抵消了该矩阵的每个对角线中为1的点积。当与初始幅度A相乘时，该矩阵的特征矢量y的归一化分量则将对应于相量矢量b，其促进场中每个压力点之间的增强。

可以使用以下形式来求解欠定问题的最小范数解：

x_leastnorm＝A^H(AA^H)^-1b。

该解的关键是矩阵的逆C＝AA^H，其是经由Cholesky分解来求解该系统的第一步骤，并且被写为：

意味着它也可以帮助导出特征系统矩阵L。然而，也对以下形式的系统起作用：

w_focus＝C^-1b，

产生非常小的线性系统和后续解大小，其可以利用任何技术(QR分解、Cholesky因式分解)来求解并且被保持在这种极小状态直到被发射为止。这个C矩阵和这个w_focus矢量在换能器中都没有索引，直到计算：

x_leastnorm＝A^Hw_focus。

通常值得在最后可能的时刻通过乘以A^H来转换回x_leastnorm换能器激活，其将从每个换能器发射的波相乘，这是因为换能器可以是许多的。

III.求解一个或多个各向异性控制点

在声场中创建控制点使得它们各自具有与它们一起指定的法向矢量或方向是将动量要求结合到相控阵列求解器中的一种方式。赋予每个控制点法向矢量实际上意味着求解x、y和z粒子速度，并因此求解波动量在感兴趣的点处的分量，而不是求解每个控制点处的压力。为了实现这一点，我们将线性系统方程从之前扩展到包括每个粒子速度的三个分量(代替先前定义的压力的分量)。然后这三个分量(被指定为α_x，j0q、α_y，j0q和α_z，j0q)被定义为：

在每种情况下，

是表示在控制点j处从换能器q传播的波的方向的矢量，并且是控制点j的法向矢量方向，跨其位置测量动量。要求解的核心线性系统然后变为：

其指定每个控制点的声介质的粒子的速度的三个分量。然而，当对系统的解使用简化表示方法时，即C矩阵的规范以减少所需的工作量，但该矩阵的元(entry)的数量增加了九倍，使得该问题对于计算是显著更密集的。对于先前矩阵C的每个元素，

变成子矩阵：

当在特征系统矩阵L中使用现有方法时这仍然表现良好，尽管用户输入幅度变为

和

或

但其可以仍使用相同方法来构造。当考虑添加另一个轴上的波对另外控制点的影响时，特征系统矩阵的交叉项可以被视为在一个控制点的位置处在一个轴上执行测量。虽然w_focus矢量现在包含三倍多的元素，但乘以A^H可以使系统返回到在设备上方的空气中重现期望的动量矢量所需的换能器激活系数。

该解对于半空触觉反馈的应用是特别令人感兴趣的，因为它开启了创建从不同角度接近手的波的可能性。这可以使声波能够在边界上的皮肤中引起剪切波，其以额外所需计算的代价带来了可以使用半空触觉技术进行创建的全新感觉集。

IV.求解声介质中一个或多个控制点处的粒子速度

实现从以压力值为目标的求解器到能够以动量为目标的求解器的转换的另一技术是创建完全用声粒子速度进行工作的线性系统求解器，其(类似于原始压力方法)由于单色谐波时间而也是复值的。此外，它是标量。这可以通过以下来实现：计算控制点处的最大粒子速度的方向并因此计算合成波方向

然后相乘以使每个矩阵元为单个复值标量。由于点积跨x、y和z同等地通过缩放因子影响所有采样方向，所以这可以作为后处理而被应用于初始矩阵构造。然而，在求解器可以起作用之前必须知道合成波的方向，并且合成波的方向因此不能受求解器影响。当被应用于半空触觉设备的构造时，该方法将最适合于其中半空但相对近距离反馈是最佳的小设备，并且该方法是当前解机制的扩展。

为了实现这一点，每个换能器的声学模型被重新定为确定声介质中的粒子速度的问题。因此，当需要求解给定控制点的系统具有

的形式时，重新定义α矢量以产生沿着最大运动的方向测量的复值粒子速度，

然而，遗憾的是，不能先验地知道

并且需要其来构造线性系统矩阵：

因此，可以修改声学模型以产生以下值：

其中

然后必须使用这些值来构造C矩阵的点积：

但存在两个潜在途径来实现这。所需的点积通过以下来定义：

这可以被写成：

其中

是并向量积(dyadic product)。这需要每个矩阵元素(对角线为三个)保持九个单独的求和，以便随后计算法矢量。这是有益的，因为它导致C的初始矩阵配置与各向异性控制点方法的初始矩阵配置具有许多相似性，因此可以允许支持这两种技术的共用实施方式基础设施。然而，在许多实施方式中，具有两个阶段建模系统的可替代方案可能反而比保持这九个单独的求和变量更为理想。在这样的系统中，第一阶段将运行简化模型，该模型仅计算速度幅度和波方向，产生每个控制点求和的三个速度方向

和

由于这与相位计算分开，因此这可以是简化模型。这些求和各自给出了最终最强幅度的分量，并因此可以被用于计算在第二阶段中进行求和的方向。

综上：

其中在第二阶段中，该模型能够计算：

在开始该过程的其他阶段之前，在换能器模型内部。其余阶段以与之前非常相似的方式进行，只是速度作用的方向是不同的。

该方法允许半空中触觉反馈的应用更直接地处理向手的动量传递，而不是压力。这导致感觉的可重复性的改善，并因此导致感知行为的测量的改善，其对于作为商业化技术的半空触觉的扩展是至关重要的。

V.附图

图17示出了具有相同声压级(SPL)的相同波根据入射角在表面处产生不同的效果。在左侧1710，平行于表面(右)行进的波(左)以一些能量E撞击，由于动量交换而以稍微更少的能量反射和离开。在右侧1720，垂直于相同表面行进的波不反射和交换能量，因此以相同量的能量离开。因此，不可能赋予触觉效果。

在图18中，顶部两行1810、1820中所示为由相控阵列分别以由时间飞行方法创建的两个不同焦点的dB SPL、dB SIL和dB SVL生成的声场的测量的模拟，其中浅灰色为+10dB，白色为0dB，并且深灰色为-10dB。分别具有相同颜色方案的底部行1830(dB SPL-dBSIL)、(dB SPL-dB SVL)和(dB SIL-dB SVL)揭示了每个测量方法之间的差异。由于SVL场测量模拟基于介质的粒子的速度，所以SVL场测量模拟可以允许波进一步由于额外的矢量分量抵消而抵消。因此，dB SVL总是小于dB SIL，dB SIL小于dB SPL，但是由于它们相应的分量和SIL测量的有效几何平均值的相乘，它们在对数dB空间中以相似距离分开。

4.半空触觉系统中二次型问题的特征系统解

I.二次型优化的Rayleigh-Ritz定理

假设矩阵M是方半正定埃尔米特(Hermitian)d×d矩阵。由于矩阵是方阵和埃尔米特矩阵，因此每个特征值必须是实数。由于它是半正定的，因此这些特征值必须为正，如x^HMx≥0。

特征值然后可以被组织为：

λ_min≤λ₁≤λ₂≤…≤λ_d≤λ_max。

矩阵的λ_min和λ_max然后可以被示出为是优化问题的解：

并且

这是Rayleigh-Ritz定理。由此得出，可以找到来自这些中的每一个的x矢量作为找到的特征值的对应特征矢量。

II.相控阵列系统的二次型优化

当考虑相控阵列系统时，如下定义x^H是有用的：

其中n为单色声源的数量，使得该矢量解可以被用于驱动源换能器的阵列。然后将矩阵M定义为n×n埃尔米特矩阵，使得当x是单位范数(|x|²＝1)特征矢量时：

这然后表示优化的形式。剩下要做的是用特定的纯二次型(因为矩阵M需要是对称矩阵或埃尔米特矩阵)目标函数来填充矩阵M。

对于产生埃尔米特矩阵M的目标函数存在五种潜在有用的纯二次型形式，并因此可以使用现有的特征矢量求解器来使其最大化以获得可以被用于驱动半空超声波触觉的求解场：

1.最大压力优化(总SPL)：a.最大化

其与压力的平方成比例；b.这是用于驱动相控阵列系统通常使用的目标函数。

2.最大粒子速度优化(总SVL)：a.最大化

与粒子速度的平方成正比；b.这考虑了波的方向性，因为这对于获得一致的触觉感知是必要的。

3.最大粒子速度优化，但沿给定方向(可用SVL)：a.最大化

其与沿着给定方向的粒子速度的平方成比例；b.这考虑了波的方向性和与(皮肤)表面

正交的撞击。

4.最大声强(能量通量密度)优化(总SIL)：a.最大化其与声强成比例；b.这考虑了波的方向性，因为它对于获得一致的触觉感知是必要的。

5.沿着给定方向的最大声强(能量通量密度)优化(可使用的SIL)：a.最大化

其与沿着给定方向的声强成比例；b.这考虑了波的方向性和与(皮肤)表面

正交的撞击。

III.优化以使压力最大化

能够使每个控制点处的压力最大化的二次型形式优化器将对以下量进行建模：

在每个控制点j处，产生目标函数的求和

其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：

其中

是波压力的正的且实数的幅度，并且

是在从初始发射的控制点j处的换能器q行进的波上的复数相位偏移。权重w_j被用于对二次型

项重新加权，以在控制点之间提供相对幅度控制。全局幅度缩放由关于输入功率的单位范数条件来提供，x^Hx＝1。这(与二次型重新加权因子和控制环路相结合)可以被用于精确地处理各个压力幅度。

IV.优化以使粒子速度最大化

能够最大化粒子速度的二次型形式优化器将对以下量进行建模：

对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：

其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：

其中u_xjq是引起的粒子速度幅度的x方向部分(其是实数且正的)，并且

是在从初始发射的控制点j处的换能器q行进的波上的复数相位偏移。权重w_j被用于对二次型

项重新加权，以在控制点之间提供相对粒子速度幅度控制。全局幅度缩放由关于输入功率的单位范数条件来提供，x^Hx＝1。这(与二次型重新加权因子和控制环路相结合)可以被用于精确地处理各个速度幅度。

V.优化以在一组给定方向上最大化粒子速度

能够在一组给定方向上最大化粒子速度的二次型形式优化器将对以下量进行建模：

对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：

其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：

其中

是引起的粒子速度幅度的x方向部分(其是实数且正的)，并且

是在从初始发射的控制点j处的换能器q行进的波上的复数相位偏移。权重w_j被用于对二次型

项重新加权，以在控制点之间提供相对幅度控制。全局幅度缩放由关于输入功率的单位范数条件来提供，x^Hx＝1。这(与二次型重新加权因子和控制环路相结合)可以被用于精确地处理各个幅度。

VI.有源声强

可以使用声介质的压力p和粒子速度矢量u来定义有源声强I_a。对于声波，这可以被描述为：

其中有源强度是纯实数矢量量。在波源的近场中，反应场替代地占主导

然而，在远场中，因此超过一个或两个波长，I_r→0。针对这个原因，仅考虑I_a并且假设其被保证为实数。考虑单色平面波源，其中：

我们有：

其中

是压力幅度，并且

是每个方向上的粒子速度幅度。

波沿着给定轴传播的声强和因此能量通量也是令人感兴趣的，因此用于测量标量贡献的点积被形成：

由于声波方程的形式：

叠加原理必须适用于压力和粒子速度矢量两者。假设n个声源并且在感兴趣的点处将每个声源近似为平面波，则产生方程：

已知的是，在所讨论的模态中，

并且p和

同相，则已知的是共轭的放置无关紧要，并且可以逆转该共轭的顺序以使压力而不是粒子速度共轭(这可以通过扩展以上方程并使用交换性以逆转每个项中复数指数的顺序来进行验证)。根据推论，这可以以生成埃尔米特矩阵M的方式来写：

VII.优化以使声强最大化

生成标量值的第一个量是：

但是假设它在远场中，这也可以被写成：

这是压力求和的四次幂，但由于复数指数的结构，这些中的两个是相同的，并因此可以通过平方根而被去除。

因此，能够最大化声强的二次型形式优化器将对以下量进行建模：

对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：

其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：

其中

是波前法矢量的x方向部分，

是波压力的正的且实数的幅度，并且

是在从初始发射的控制点j处的换能器q行进的波上的复数相位偏移。权重w_j被用于重新加权二次型项，该二次型项实际上仍是涉及压力的四次幂的函数的平方根，

以在控制点之间提供相对粒子速度幅度控制。全局幅度缩放由关于输入功率的单位范数条件来提供，x^Hx＝1。这(与二次型重新加权因子和控制环路相结合)可以被用于精确地处理各个速度幅度。

VIII.优化以在一组给定方向上最大化声强

能够沿着给定方向最大化声强的二次型形式优化器将对以下量进行建模：

但是那么假设它在远场中，这也可以被写成：

对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：

其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：

其中

是引起的粒子速度幅度的x方向部分(其是实数且正的)，是波压力的正的且实数的幅度，并且

是在从初始发射的控制点j处的换能器q行进的波上的复数相位偏移。权重w_j被用于对二次型

IX.找到加权因子

Rayleigh-Ritz定理示出了，通过找到主特征矢量并允许幂增加直至换能器的物理限度，可以使以上矩阵中的任一个最大化。这可以通过幂迭代来实现。通过在分别单独定义控制点之和的每一个的同时构造矩阵M，当乘以矢量x时，可以执行目标函数的评估作为附加的副作用。这可以被用于找到权重w_j的适当值，使得它们允许最大化以找到当缩放时适合于系统的解的幅度。

如幂迭代描述：

其中：

我们可以使用幂迭代来确定每个控制点处的目标函数。

定义：

并且：

在每次迭代时，它可以替代地计算：

x_a，j＝M_jx_a-1，

因此，每个控制点处的目标函数可以被评估为：

最后，如之前可以计算x_a：

其中最终的特征矢量解如上。然而，以这种方式计算它允许o_j(x_a-1)产生控制点j的中间结果。为了确定这表示期望的控制点输出的水平，取平均目标函数值以便允许该组值o_j(x_a-1)与由用户给定的目标值进行直接比较。在这种情况下，可以使用任何用于优化损失函数(expensive function)(诸如例如Nelder-Mad算法)的无导数的方法来针对下一次迭代更新加权因子。

在几次幂迭代方法和耦合的无导数优化之后，中间结果x_a应该被用于驱动换能器。因此，这将允许系统通过时间来跟踪目标函数的期望值，同时允许一些误差。该系统的优点在于它是驱动换能器阵列的一种非常简单的方式。最大的缺点在于需要进行许多计算，但该计算实际上仅仅是复数乘法，利用足够的硬件来直接实施该复数乘法。

X.附图

图19中所示为：左顶部1910：通过用非垂直矢量求解二次型粒子速度问题而创建的控制点，被显示为穿过x-y平面的交点。右顶部1920：被显示为穿过x-z平面的交点的同一控制点。左底部1930：为了比较，通过求解二次型压力问题而创建控制点，被显示为穿过x-y平面的交点。右底部1940：通过求解x-z平面上的压力问题的交点。

5.通过二次型问题指定的相控阵列的控制区域

本公开描述了一种使用用户提供的设计参数自动地生成基函数的方法。这些参数以在线方式被输入到通过给定换能器基组的空间中的二次型函数的高效优化。这给予用户通过在线优化可访问的设计空间，其可以生成各种不同的效果。使用线性算子，称为‘二次型控制区域’，因为它是二次型问题的控制区域，可以通过对换能器效果的并向量积进行评估来构造矩阵。该矩阵的主特征矢量可以被选择作为一组标准正交解中的最佳解，该组标准正交解等同为该矩阵的特征矢量。该优化产生作为输出的换能器激活系数——驱动各个换能器元素以重新创建具有期望性质的声场或现象所需要的原始复值。

这些原始复值然后可以被用于进一步包括稍后的线性系统的基函数，其解使用户能够同时产生所有期望的效果，同时对可用于每个的输出功率重新加权。

I.线性控制区域

线性控制区域，其被定义为利用复值加权函数w(x，y，z)来执行对线性声学量(诸如压力)进行积分的算子：

可以被用于评估声场。应该注意的是，当w(x，y，z)与声学量中的类似相位分布配对时，复数共轭被用于最大化函数评估。可以使用对该积分(诸如采样)的任何近似，或者实际上这可以被用于近似声压力场上的任何线性算子。可以构造另外的积分以使用矢量粒子速度来优化控制区域，只要它也是线性的，其中：

其中u是介质的粒子速度，并且w是每个维度是复值的三维矢量场，其用作具有如上相同目的的加权函数。以这种方式，可以以线性方式评估不同的声学量模式，当相位与由w中的标量或矢量函数创建的‘模板’对准时，使结果的特定相位最大化。

还应该注意的是，w(x，y，z)可以大部分为零(或由零矢量组成)以创建对多个看似不相交的区域的单个评估。可以使用任何积分近似(诸如采样)，因为该公式可以扩展到线性声学量的场上的任何线性算子。

可以通过控制每个换能器的一系列复值系数来描述相控阵列。利用这样的输入x矢量以固定频率驱动声换能器阵列以最大化在矩阵M中编码的声学量可以被表示为线性代数问题，所以意图是：

最大化x^HMx

受制于x^Hx＝1，

并且

这可以通过取矩阵M的主特征矢量来求解，因为该问题的陈述也是特征矢量(这里为x)的定义。可以通过首先考虑由每个换能器发射的线性声学量作为所讨论的声学量的全局空间中的基函数来实现构建矩阵M。这是在由x、y和z中的绝对位置描述的单个点处实现压力和其他声学量的最大化的方式。然而，使用所描述的控制区域积分，可以将控制发射到每个单独的换能元件的场中的声学量的q(x，y，z)替换为f(x，y，z)，从而产生列矢量：

通过调用线性度，驱动每个换能器的复数激活值可以被相乘，从而导致矢量：

其中n是传感器的数量。鉴于该m是线性算子对线性场进行运算的结果，它可以是埃尔米特转置的并且乘以其自身以生成二次型形式。最后，

m^Hm＝x^HMx＝x^Hff^Hx。

通过修改加权函数w(x，y，z)并求解矩阵M的特征矢量，各种不同的波束、表面和其他声学现象可以被创建并被最大化，从而在声场中产生最佳致动的区域。

先前讨论的零空间生成技术(“针对半空触觉系统中的二次型问题的特征系统解”)也可以被用于扩展该方法以描述声悬浮，以及通过在描述结构的位置处将零点引入到场中而允许半空纹理的零控(null steering)和形成。应该注意的是，该过程增加了矩阵的秩，因此如果使用这则简化是不可能的。

同样地，对于许多控制区域，可以通过将M个矩阵加在一起来执行多个优化。这也可以包括表示控制点的矩阵。这生成具有增加的秩的矩阵，因此一些简化方法在使用这的情况下是不可能的。

通过考虑该结果并以迭代方式对每个点重新加权，该系统可以被修改以便收敛到声学量的所需几何配置。当幅度在输出中不一致时，通常可能需要这。

这可以通过在下一迭代过程中对所产生的声学量求和并且将该系统重新加权到更接近该结果来实现。例如，对于积分的任何子分隔体积或单个压力点的迭代重新加权变为：

其中t+1指的是该技术的下一粗略迭代，t是当前迭代，p_r是期望的压力(其可以是复数)，并且分母是由当前迭代获得的总压力。该分数可以仅被呈现为实数量级，以便仅影响所得区域的幅度而不影响相位。

Bessel波束可以通过以下来创建：在波束行进方向上表达加权函数w(x,y,z)，并且在波束向前移动时向前修改相位角的同时创建单位压力。这可以用点样本进行采样，只要每个后续点横越的角度足够小以足以沿着波束轴对相位进行采样。

相位的采样对于相位移动的每2π角度必须重要地具有多于两个相位样本。这是因为如果沿着路径的递增是π，则波行进的方向是不能确定的。这也意味着在大多数情况下，相位必须向前递增，使得它对于它所覆盖的单色频率距离的每个波长完成2π弧度旋转。这是对控制区域定义中描述的形式的路径积分的近似。

作为使以这种方式写的积分最大化的结果，换能器将在远离阵列移动的直线中渐进定义的样本波束的情况下，由于其以这种配置生成优化压力的理论能力而生成优化的Bessel状波束。图20中所示为在平行于平面直线换能器阵列的近场区域的边缘处穿过场的交点，揭示了复值换能器激活系数的结构。简单的渐进相位波束产生Bessel函数近似(左2000)，并且欠采样螺旋波束产生具有偶极子行为的Bessel状函数(右2010)，其中偶极子创建两个结构，其以彼此相位相反的方式进行激活。由于有限的换能器分辨率、有限阵列大小以及优化将需要面对的其他物理考虑因素的影响，波束可能不是精确的Bessel波束，但可能由于考虑真实换能器阵列的物理限制的优化而比Bessel波束函数的简单评估更有效地工作。在大阵列上，它紧密地遵循Bessel函数，图21示出了当从图20中的阵列的中心径向地考虑时沿着压力绘制的Bessel函数的曲线图2100。

该系统的另外性质是可以使用具有任何所生成的单色场函数的、任何位置和取向的换能器。这是通过采样方法生成Bessel波束的显著优点，其通过定义将仅在平面阵列情况下起作用。

通过创建多个异相路径，可以通过围绕路径缠绕螺旋波来隐式地创建相移和相位奇异点。该路径也可以是弯曲的，产生大程度的可配置性，同时使用嵌入在特征系统方法中的简单二次型优化。这是通过在许多平行波束线中定义分离的相绕组引起波束中的旋转来实现的，所述平行波束线彼此比波束宽度更近但相位不同。然后，通过将附近相位设置为在波束的中心线中相互抵消，可以形成高阶Bessel波束，如图22中所示。在图22中，圆圈周围的渐进相位(因此，相位呈螺旋布置)的多于两个的样本致使形成具有角动量的Bessel函数，如在左侧2210所看到的。通过使用多于2π弧度来指定螺旋周围的相位，可以生成更高阶的Bessel波束，诸如在右边2220的4π波束。

可以使用点或如之前的任何其他积分近似来对这些相位线采样，因为这些是不相交区域可以如何被定义为单个区域优化的示例，其中可以通过仅在要被优化的体积中将加权函数设置为非零来将每个加到优化区域。可以通过相位上递增并且在椭圆周围间隔开的递增相位波束来创建高阶Mathieu型椭圆螺旋波束。如图23中所示，可以通过在相位上对椭圆的圆周进行参数化来创建椭圆螺旋波束，其具有与高阶Bessel波束(诸如Mathieu型波束)类似的性质。确定2nπ弧度的比例并分配与椭圆弦圆周成比例的相位角生成用于波束的优化的适当配置。左图像2310示出了重新成形为椭圆、接近Matheiu波束的高阶Bessel。右图像2320示出了具有在中心区域中开始形成的交联螺旋结构的近似Matheiu波束。两者都基于12π弧度的相位圆，创建了螺旋波前。

以这种方式创建的Bessel波束族可以被修改以产生更多的奇异波束，这些波束以更加约束性的形式存在于文献中。通过在场中创建由物理上可行的相位函数横越的任意路径(其以适合于波的横越的方式向前移动)，可以重现各种结果，但是由于特征系统所暗含的优化以初始带宽成本上比之前更一般且更低的形成，因为波束仅需要由积分来表示。

采取弯曲路径并向前移动相位可以产生弯曲的波束，通常被用于在由45°圆弧段、之后为将所形成的波束推出到无限远的路径所产生的障碍物周围操纵波束。图24中所示为由相位函数形成的弯曲波束的图像2400，该相位函数遵循被连接到沿着线延续的圆的45度段，使用粗略迭代方法来均衡沿着波束的声压力。换能器阵列沿着图像的下边缘设置。

涉及多个相位路径的另外的方法可以创建“局域空心波束”，具有从中心切下的部分的波束，其可以促进大物体的悬浮。这已在图25中生成，其示出了使两个高斯曲线成对的图像2500，沿着该高斯曲线已经使相位跟随。通过创建相位函数产生的局域空心波束遵循使用粗略迭代方法的高斯曲线来均衡沿着波束的声压力。换能器阵列沿着图像的下边缘设置。下区域的虚线特性表明输入到优化的相位速度太慢，并且可以通过针对初始部使用更快的相位速度来改善该波束。也可以使用曲线的部分，诸如在图26中，因为如果物体足够刚性，则仅需要使空间的一些部分为高声压力区域。图26示出了由以渐进相位定义的圆的部分形成的不完整局域空心波束的图像2600，其可以被用于通过以非均匀方式优化高声压力区域来悬浮甚至更大的物体。如果假定要被悬浮的物体或物质具有足够的内聚力而不通过低声压力区域流动、挤出或泄漏，则不必均匀地分散施加在大物体上的力。

可以通过比相位速度更快地向前移动路径来创建Bessel状波束。通过这种方式，波束将以比平常更快的相位速度进行优化，创建看起来具有更长波长的波束，并且由于相位速度比声音的速度更快地行进，如图27所示。图27中所示为波前的图像2710，其比声音的速度更快地行进，这可以通过实施相位路径来创建，所述相位路径以利用相同频率似乎矛盾地生成更长波长的方式通过角度移动。隐式优化推断主波束由交叉波束组成，从而引起相位速度的指定增加。这可以从右侧的图像2720看出，其中对于波束的初始部，在相同频率下波长***纵为长出近似40％。可以通过沿着正弦曲线对渐进相位进行采样来构造蛇形波束。图28中所示为示例2810，其中正弦曲线的短部被限定，接着为由相位阵列上方遵循正弦曲线的压力的渐进相位构造的更长的二维蛇形波束的2820。这些示出了，通过简单地添加渐进相位的另外部来扩展蛇形正弦波束致使该波束只要需要就被自然地扩展(并且由换能器的物理布置所允许)。通过在所有三个维度上创建蛇形波束以得到螺旋蛇形波束，可以产生波束，该波束可以以类似于阿基米德螺旋系统的方式进行使用，以潜在地沿垂直于或相对于波的发射的方向向场中的比波长大得多的固体物体施加力。这给出了一种不同的机制，由此可以使用波束来悬浮物体。图29示出了详细说明了x-z平面中的部分的左图像2910和示出了波束在x-y平面中的部分的右图像2920。使用遵循沿x方向和y方向缠绕的圆圈中的路径(但其在z方向也是渐进的)的这种技术，可以创建真正的螺旋形成物。这可以被用于悬浮比波长大得多的物体，并以类似牵引波束的方式向比波长大得多的物体施加力。

如果特征系统矩阵由单个控制区域定义，则该矩阵具有秩1并且由复值矢量m与其自身的并向量积形成，从而将矩阵定义为f^Hf。在这种特定情况下，系统的单个特征矢量即是已知的并且是f，意味着f＝x。通过在这种情况下评估目标函数，目标函数自身指定所需的复值换能器激活的系数。这通过简单地评估每个换能器的控制区域函数来定义，其变为激活系数。

如之前，由于二次型形式，也可以执行通过对每个迭代的重新加权来评估有效性。这是通过评估每个点处的压力或每个子区域上的压力积分并除以所需压力来实现的，从而生成新的函数值以更新w_t,i(x,y,z)，子区域i的权重。然后可以重新评估也是f的单个特征矢量，从而生成从之前的特征系统上的重复迭代的等效方法，但是以大大降低的计算成本。

为了利用介质的粒子速度来实现这一点，我们可以使用粒子速度的测试，其相当于改变方向直到达到最大值为止：

尽管也可以使用先前技术监视压力以产生混合方法。这种混合技术涉及指定加权函数并且如之前那样更新压力，但具有有效的控制区域：

产生标量但是可变的且复值的w(x,y,z)，其与不变的加权法矢量v和粒子速度u配对。该方法可以优化以找到令人满意的压力但不改变所寻求的波的方向。除了下一节中描述的特定校正外，还在图28中显示了这一点。

II.方向控制点和区域的波前滤波

创建方向输出所必需的另外技术是在换能器输出波前

和法向矢量或粒子速度矢量u相反的情况下舍弃换能器数据，将其设置为零，因此满足：

对于所考虑的区域中的点。

图30示出了从换能器阵列进一步定义的两个速度矢量样本的左图像3010和接近阵列定义的两个速度矢量样本的右图像3020，所述两个速度矢量样本具有其波前沿与所定义的控制方向相反的方向被移除的换能器。使用在这两个不相交区域中指定的速度加权函数在每种情况下构成单个区域，其中该区域针对表示在两个分离点中介质的粒子速度的方向矢量进行优化。

注意的是，在试图找到x方向上的速度的最大量时，并不一定意味着所得到的粒子速度方向将完全在x中。而图30示出了滤除提供与期望方向相反的波前的冲突换能器的结果，图31中所示为左图像3110和右图像3120，它们是没有使用波前标准对换能器波前方向进行滤波的结果。在图31的情况下，冲突的换能器自由干涉，其病理(pathology)以水平上驻波结构的形式而是明显的。这是因为波前方向传达了粒子速度中缺失的方向信息，粒子速度不产生关于波源自哪个方向的信息，从而产生不期望的干涉。

这不仅对于控制区域而且对于正常控制点的简单情况也是重要的。控制点的情况实际上是简化的控制区域，其中它用粒子速度的单个点样本来近似而没有加权因子。在任一种情况下，不滤除‘无用的’换能器产生与‘驻波’现象的影响因素相似的结果。这是因为具有复数分量的粒子速度矢量无法确定沿不同方向行进的波之间的差异：在该模型中，以相位0从左到右行进的波用于在数学上与以相位π从右到左行进的波相同的点样本。因此，如果这在生成控制点或控制区域的基础上没有进行正确处理，则优化将尝试使用两者，生成具有没有进行有意义贡献的驻波分量的解，创建额外的空值、没有场的区域，其是不需要的。这是重要的点，因为作为基函数而输入到线性优化、特征系统或甚至没有该滤波步骤的简单公式中的控制点将展现出这些假象。

所描述的这些技术可以被集成到设备中以创建声学相控阵列系统，该系统能够通过迭代如这里定义的单个特征系统或者在创建单个点或区域的简单情况下产生任意配置的区域和波束。在单个点或区域的情况下，可以应用优化以生成简单公式，其示出了驱动换能器元件所需的幅度和相位是通过评估点或区域而表示的幅度和相位。可以以依赖于时间的方式改变和修改全局方法的迭代和通过时间的重复应用以产生各种触觉效果。这可以被应用于期望的场和导出的换能器系数，因为它们在功能上是相关的。

III.潜在的权利要求

1.一种在单色声场上的方法：

-通过对声压力场函数与加权函数的乘积进行积分来将声压力的分布评估为单个值，其中任一所述函数能够是复值的并且是从物理换能器性质导出的。

-将要被添加的零个或多个零点应用到矩阵的零空间。