二阶欠阻尼系统的串联校正方法
阅读说明：本技术 二阶欠阻尼系统的串联校正方法 (Series correction method of second-order under-damped system ) 是由 唐静 于 2020-12-03 设计创作，主要内容包括：一种二阶欠阻尼系统串联校正方法,具体步骤：一：测试系统阶跃响应,得超调量δ-3％,调节时间t-(s3)；二：根据步骤一得超调量δ-3％和调节时间t-(s3),建立实际开环传递函数；三：根据步骤一得超调量δ-3％和调节时间t-(s3)与步骤二推算的k-v,判断实际连续二阶欠阻尼系统静态速度误差、超调量和调节时间是否满足性能要求；如满足要求则被控对象不需要校正；如不满足要求则需要校正,进入步骤四；四：连续欠阻尼二阶系统输出波形任一性能不满足要求,则校正,在步骤四中讲述具体校正方法；五：校正后模型性能指标验算；六：实物搭建校正环节,按步骤一和步骤二测得静态速度误差、超调量和调节时间,与提出指标比较,看是否校正成功,如不成功,进一步调节参数。(A second-order under-damped system series correction method specifically comprises the following steps: firstly, the method comprises the following steps: testing the step response of the system to obtain the overshoot delta 3 % regulating time t s3 (ii) a II, secondly: obtaining the overshoot delta according to the step one 3 % and adjustment time t s3 Establishing an actual open-loop transfer function; thirdly, the method comprises the following steps: obtaining the overshoot delta according to the step one 3 % and adjustment time t s3 K derived from step two v Judging whether the static speed error, the overshoot and the adjusting time of the actual continuous second-order underdamping system meet the performance requirements or not; if the requirement is met, the controlled object does not need to be corrected; if the requirement is not met, correction is needed, and the step four is entered; fourthly, the method comprises the following steps: if any performance of the output waveform of the continuous underdamped second-order system does not meet the requirement, correcting, and explaining a specific correction method in the fourth step; fifthly: checking the performance index of the corrected model; sixthly, the method comprises the following steps: and (3) building a correction link for the object, measuring static speed error, overshoot and adjusting time according to the first step and the second step, comparing with the provided indexes, and judging whether the correction is successful or not, if not, further adjusting parameters.)
技术领域
本发明涉及自动控制技术领域，具体涉及二阶欠阻尼系统或近似二阶欠阻尼系统的串联校正方法。当传递函数分母中某个或多个极点离其它主极点较远，这些较远极点可忽略，这种情况可能使得本不是二阶欠阻尼系统用二阶欠阻尼方法分析，而认为此系统为近似二阶欠阻尼系统。
背景技术
易学良.《线性系统的串联校正技术研究》[J]，电子技术,2016,000(006):30-31中记载的串联校正方法：
采用零极点消去方法，τ1，τ2的推导建立在被控对象的传递函数上。(sτ1+1)与建立的被控对象传递函数的分母相同；(sτ2+1)由被控对象传递函数、提出的超调量和调节时间指标确定。
文献中提出的串联校正方法是基于理论推算得到的被控对象传递函数进行的。实际的被控对象传递函数与理论推算得到的传递函数是有偏差的。有时候差别非常大。基于理论推算得到的传递函数的串联校正后的被控对象性能指标有可能无法达到要求。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，提出一种先根据实验测试建立被控对象的传递函数模型，再进行串联校正，并且与以前的校正方法不同，增加了具有静态速度误差的校正方法的二阶欠阻尼系统的串联校正方法，并提出了校正后超调量、调节时间、静态速度误差达不到要求时，重新建模和建立校正函数的方法。具体技术方案如下：
一种二阶欠阻尼系统的串联校正方法，具体步骤为：
步骤一：测试系统的阶跃响应波形，读取输出响应波形得到超调量记为δ3％调节时间记为ts3；
步骤二：根据步骤一测得的超调量δ3％和调节时间ts3，建立实际的开环传递函数模型具体建模过程如下：
2.1、使用超调量公式
求出阻尼比ζ3；
具体推导计算过程：
ζ3 2(π2+(ln(δ3％))2)＝(ln(δ3％))2
得到
使用调节时间公式
得到系统无阻尼自然振荡频率
计算的阻尼比ζ3有可能小数点后位数多，而精度要求的小数点后几位没有这么多位，所以要略去小数点后几位，按要求得到的记ζ4，此时
其中c为常数，若选取误差带Δ＝±0.05，则c＝3.5或c＝3；若选取误差带Δ＝±0.02，则c＝4.4，其中ζ4由公式：
得到ζ4；其中ts3由步骤一测量实际波形得到；
2.2、根据系统阻尼比ζ4和无阻尼自然振荡频率wn4，建立实际连续欠阻尼二阶系统的开环传递函数
其中由于系统阻尼比ζ4和无阻尼自然振荡频率wn4已知，所以根据下列公式可以求得ko1和To1；
由公式得到ζ4，由公式得到wn4；
2.3、根据连续欠阻尼二阶系统的开环传递函数，得到它的静态速度误差系数
步骤三：根据步骤一测试的超调量δ3％和调节时间ts3和步骤二建模得到的kv，判断实际连续欠阻尼二阶系统的静态速度误差、超调量和调节时间是否满足提出的性能指标；系统提出的性能指标需要满足：静态速度误差kv≥kv0(s-1),超调量δ3％≤δ0％，调节时间ts3≤ts0，如果满足性能指标要求则被控对象不需要校正，直接可以用；如果不满足要求则需要校正，进入步骤四；
步骤四：连续欠阻尼二阶系统的时域响应输出波形任一性能指标不满足要求，则校正，校正步骤如下：
4.1、若实际连线欠阻尼二阶系统的静态速度误差系数满足要求，则加比例校正系数kc＝1；
若实际连线欠阻尼二阶系统的静态速度误差系数不满足要求，加比例校正系数kc；
则要求校正后的静态速度误差系数ko2需满足下面条件：
其中kc是校正电路的比例系数，ko2是校正后系统的静态速度误差，kv0是系统要求达到的静态速度误差系数最小值，系统阻尼比ζ4和无阻尼自然振荡频率wn4是步骤二算得值；
在范围内取kc，使其满足
比例校正后得到新的满足要求的静态速度误差系数的传递函数
其中由步骤一中公式得到ko1，由公式得到To1，校正静态误差的传递函数Gc1(s)＝kc，根据实际模型静态速度误差与系统提出的性能指标kv0比较，由公式kc＝1或得到kc，校正后静态速度误差系数ko2如下：
4.2、校正静态速度误差系数后的系统开环模型
根据已经建立了实际连续欠阻尼二阶系统的静态速度误差校正后的开环模型
其中ko1、To1和kc已由步骤四4.1中公式取值；
4.3、如超调量或调节时间不满足要求，加校正环节；
根据超调量求校正后的阻尼比，δ0％其中为提出的系统要达到的超调量指标值，为已知量；
具体ζ5推导如下：
ζ5 2(π2+(ln(δ0％))2)≥(ln(δ0％))2
得到
其中ζ5为正数，且连续欠阻尼二阶系统0＜ζ5＜1，
在间任意取一值，得到校正后阻尼比ζ5，使得超调量
根据零极点对消法则，令校正装置Gc2(s)的传递函数
4.4、经过静态速度误差，超调量和调节时间分析，得到串联校正后的开环传递函数
其中Gc(s)表示总校正传递函数Gc(s)＝Gc1(s)·Gc2(s)；它由校正静态误差的传递函数Gc1(s)和校正超调量、调节时间的传递函数Gc2(s)组成；
静态速度误差校正后的开环模型
整个校正的思路是用Gc1(s)＝kc校正静态速度误差，用校正超调量和调节时间，两个校正顺序没有强制要求，可以颠倒。
校正后的开环传递函数为：
由校正后的开环传递函数公式得到：
联立上面公式约去wn5化简得到：
上公式左右开方得到
上公式To2同时约去，整理得到公式
上面推导也可以用下面闭环传递函数得到
由公式任取一值得到得到ζ5；
由公式得到ko2，其中kc由步骤4.1得到，ko1是被控对象固有的，由步骤2.2得到；
由上面已经得到ko2和阻尼比ζ5两值，利用下面公式得到To2值
由步骤二2.2公式得到To1，由步骤四4.4公式得到To2，校正装置Gc2(s)的传递函数的参数已经求取；
根据实际模型静态速度误差与系统提出的性能指标kv0比较，由公式kc＝1或得到kc，总校正模型各个参数就已经求取，
步骤五：校正后模型的性能指标验算；
步骤六：根据步骤四和步骤五建立的校正函数，用校正实物实现；校正实物环节根据情况如果被控对象是电控制，可以是校正电路，如果被控对象是纯机械的，可以是机械环节实现校正等，校正实物环节串联进被控对象中，再按步骤一方法测试被控对象的超调量和调节时间，按步骤二算出搭建实物的校正环节的静态速度误差，看是否满足性能指标要求，如不满足要求，再在校正实物中调节一下参数，直到校正成功；校正实现的关键是设计的校正实物一定要是可调节校正参数的；如果仍然不行，则重新建立校正函数见步骤五5.2，再进行步骤六实物搭建校正环节，按步骤一和步骤二测得静态速度误差、超调量和调节时间，与提出的性能指标比较，看是否校正成功，如不成功，进一步调节参数；如果还是不行，就考虑建模是否失败，比如考虑ζ4和wn4是否与ζ3和wn3取值差别过大，则按步骤二2.1重新取更接近ζ3、wn3的ζ4和wn4值，重新建立更精确的被控对象模型，进行校正。
作为优选：
所述步骤一具体为：
1.1、给被控制对象输入阶跃波形，测试输出响应波形，读取输出响应波形得到超调量记为δ3％，调节时间记为ts3；
1.2、δ3％的求取：
其中C(tp)为输出阶跃响应的最大偏离量，C(∞)为输出阶跃响应的稳态量；
1.3、调节时间ts3的求取：
首先确定要求的误差带是Δ＝±5％，还是Δ＝±2％；
求得d1＝(1+|Δ|)×C(∞)，d2＝(1-|Δ|)×C(∞)
在输出响应波形中读取响应到达并保持在d1和d2值内所需的最短时间记为调节时间ts3；
作为优选：所述步骤二设置有：
2.4.1、根据步骤二2.1中实测的被控对象模型，计算校正前模型的超调量δ4％，
使用公式超调量
根据步骤二2.1中实测的被控对象模型，计算校正前模型的调节时间ts4，校正前的调节时间：
由所述公式得到ζ4，由所述公式得到wn4；
2.4.2、比较步骤二2.1所得模型计算的超调量δ4％和调节时间ts4与步骤一实际测试得到超调量δ3％和调节时间ts3的值；由于计算中有小数点省略的可能，有一定误差是允许的；如果根据步骤二2.1得到的实测被控对象模型校正后的性能指标达不到要求，首先调试校正实物环节；如果仍然不行，则重新建立校正函数见步骤五5.2，在来校正实物实现；如果还是不行，就考虑建模是否失败，比如考虑ζ4和wn4是否与ζ3和wn3取值差别过大，则按步骤二2.1重新取更接近ζ3、wn3的ζ4和wn4值，重新建立更精确的被控对象模型，进行校正；
2.4.3、根据步骤二和上述验证比较后，被控对象的模型建立完成判断模型的静态速度误差系数是否满足要求
若则实际二阶系统满足要求，校正比例系数kc＝1；反之，则实际二阶系统不满足要求，需要改变静态速度误差系数，增加校正比例系数kc，校正比例系数kc具体取值见步骤四，其中kv0是性能指标要求的已知值；
作为优选：所述步骤五具体为；
5.1、ko2按所述公式选取，δ5％按公式选取，其中kv0和δ0％为系统提出的性能指标值，所以满足性能指标要求；
5.2、根据校正后的开环传递函数为：
计算校正后模型的调节时间ts5，具体推算如下：
由步骤四4.4中式变为
代入调节时间公式得到，计算校正后的调节时间
判断ts5和ts0值，如果ts5≤ts0，则理论校正完成，就进入校正电路实现阶段；如果ts5＞ts0，则按所述公式重新选取ζ5，由公式可得ts5和ζ5成反比，所以下次再在范围内取ζ5，但要比以前取得ζ5稍大；
如果ts5＞ts0，也可以重新选取kc，由下面推导得ts5和kc成反比，所以下次再取kc，也要比以前取得kc稍大；
由公式和ko2＝kc×ko1代入所述公式
其中c为常数，若选取误差带Δ＝±0.05，则c＝3.5或c＝3；若选取误差带Δ＝±0.02，则c＝4.4；ko1是被控对象的值，是步骤二建立模型得到，可认为ko1是固定值；由公式知ts5与kc和ζ5反比，与提出的系统调节时间的性能指标ts0比较，如果校正后模型的ts5＞ts0，则重新取kc或(与)ζ5值，把kc和ζ5调大，则ts5会变小，再次建立校正模型，直到超调量、调节时间和静态速度误差满足要求；
本发明的有益效果为：本发明专利增加根据实验测试结果建立模型的方法，才能使串联校正往正确方法计算。使得实际的与解析法得到的差别大的模型也能通过串联校正，达到控制指标要求。校正有效性和普遍性得到提升。
本发明专利在串联校正模型上增加了kc，并在串联校正计算中增加了kc的计算过程，使得本发明专利的串联校正方法更加有效。同时也提出了根据超调量、调节时间和静态速度误差如何修改校正函数的方法。
附图说明
图1为本发明中校正前传递函数框图；
图2为本发明中校正后传递函数框图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的较佳实施例进行详细阐述，以使本发明的优点和特征能更易于被本领域技术人员理解，从而对本发明的保护范围做出更为清楚明确的界定。
如图1和图2所示：一种二阶欠阻尼系统的串联校正方法，具体步骤为：
步骤一：测试系统的阶跃响应波形，读取输出响应波形得到超调量记为δ3％调节时间记为ts3；
1.1、给被控制对象输入阶跃波形，测试输出响应波形，读取输出响应波形得到超调量记为δ3％，调节时间记为ts3；
1.2、δ3％的求取：
其中C(tp)为输出阶跃响应的最大偏离量，C(∞)为输出阶跃响应的稳态量；
1.3、调节时间ts3的求取：
首先确定要求的误差带是Δ＝±5％，还是Δ＝±2％；
求得d1＝(1+|Δ|)×C(∞)，d2＝(1-|Δ|)×C(∞)
在输出响应波形中读取响应到达并保持在d1和d2值内所需的最短时间记为调节时间ts3；
步骤二：根据步骤一测得的超调量δ3％和调节时间ts3，建立实际的开环传递函数模型具体建模过程如下：
2.1、使用超调量公式
求出阻尼比ζ3；
具体推导计算过程：
ζ3 2(π2+(ln(δ3％))2)＝(ln(δ3％))2
得到
使用调节时间公式
得到系统无阻尼自然振荡频率
计算的阻尼比ζ3有可能小数点后位数多，而精度要求的小数点后几位没有这么多位，所以要略去小数点后几位，按要求得到的记ζ4，此时
其中c为常数，若选取误差带Δ＝±0.05，则c＝3.5或c＝3；若选取误差带Δ＝±0.02，则c＝4.4，其中ζ4由公式：
得到ζ4；其中ts3由步骤一测量实际波形得到；
2.2、根据系统阻尼比ζ4和无阻尼自然振荡频率wn4，建立实际连续欠阻尼二阶系统的开环传递函数
其中由于系统阻尼比ζ4和无阻尼自然振荡频率wn4已知，所以根据下列公式可以求得ko1和To1；
由公式得到ζ4，由公式得到wn4；
2.3、根据连续欠阻尼二阶系统的开环传递函数，得到它的静态速度误差系数
所述步骤二还设置有：
2.4.1、根据步骤二2.1中实测的被控对象模型，计算校正前模型的超调量δ4％，
使用公式超调量
根据步骤二2.1中实测的被控对象模型，计算校正前模型的调节时间ts4，校正前的调节时间：
由所述公式得到ζ4，由所述公式得到wn4；
2.4.2、比较步骤二2.1所得模型计算的超调量δ4％和调节时间ts4与步骤一实际测试得到超调量δ3％和调节时间ts3的值；由于计算中有小数点省略的可能，有一定误差是允许的；如果根据步骤二2.1得到的实测被控对象模型校正后的性能指标达不到要求，首先调试校正实物环节；如果仍然不行，则重新建立校正函数见步骤五5.2，在来校正实物实现；如果还是不行，就考虑建模是否失败，比如考虑ζ4和wn4是否与ζ3和wn3取值差别过大，则按步骤二2.1重新取更接近ζ3、wn3的ζ4和wn4值，重新建立更精确的被控对象模型，进行校正；
2.4.3、根据步骤二和上述验证比较后，被控对象的模型建立完成判断模型的静态速度误差系数是否满足要求
若则实际二阶系统满足要求，校正比例系数kc＝1；反之，则实际二阶系统不满足要求，需要改变静态速度误差系数，增加校正比例系数kc，校正比例系数kc具体取值见步骤四，其中kv0是性能指标要求的已知值；
步骤三：根据步骤一测试的超调量δ3％和调节时间ts3和步骤二建模得到的kv，判断实际连续欠阻尼二阶系统的静态速度误差、超调量和调节时间是否满足提出的性能指标；系统提出的性能指标需要满足：静态速度误差kv≥kv0(s-1),超调量δ3％≤δ0％，调节时间ts3≤ts0，如果满足性能指标要求则被控对象不需要校正，直接可以用；如果不满足要求则需要校正，进入步骤四；
步骤四：连续欠阻尼二阶系统的时域响应输出波形任一性能指标不满足要求，则校正，校正步骤如下：
4.1、若实际连线欠阻尼二阶系统的静态速度误差系数满足要求，则加比例校正系数kc＝1；
若实际连线欠阻尼二阶系统的静态速度误差系数不满足要求，加比例校正系数kc；
则要求校正后的静态速度误差系数ko2需满足下面条件：
其中kc是校正电路的比例系数，ko2是校正后系统的静态速度误差，kv0是系统要求达到的静态速度误差系数最小值，系统阻尼比ζ4和无阻尼自然振荡频率wn4是步骤二算得值；
在范围内取kc，使其满足
比例校正后得到新的满足要求的静态速度误差系数的传递函数
其中由步骤一中公式得到ko1，由公式得到To1，校正静态误差的传递函数Gc1(s)＝kc，根据实际模型静态速度误差与系统提出的性能指标kv0比较，由公式kc＝1或得到kc，校正后静态速度误差系数ko2如下：
4.2、校正静态速度误差系数后的系统开环模型
根据已经建立了实际连续欠阻尼二阶系统的静态速度误差校正后的开环模型
其中ko1、To1和kc已由步骤四4.1中公式取值；
4.3、如超调量或调节时间不满足要求，加校正环节；
根据超调量求校正后的阻尼比，δ0％其中为提出的系统要达到的超调量指标值，为已知量；
具体ζ5推导如下：
ζ5 2(π2+(ln(δ0％))2)≥(ln(δ0％))2
得到
其中ζ5为正数，且连续欠阻尼二阶系统0＜ζ5＜1，
在间任意取一值，得到校正后阻尼比ζ5，使得超调量
根据零极点对消法则，令校正装置Gc2(s)的传递函数
4.4、经过静态速度误差，超调量和调节时间分析，得到串联校正后的开环传递函数
其中Gc(s)表示总校正传递函数Gc(s)＝Gc1(s)·Gc2(s)；它由校正静态误差的传递函数Gc1(s)和校正超调量、调节时间的传递函数Gc2(s)组成；
静态速度误差校正后的开环模型
整个校正的思路是用Gc1(s)＝kc校正静态速度误差，用校正超调量和调节时间，两个校正顺序没有强制要求，可以颠倒；
校正后的开环传递函数为：
由校正后的开环传递函数公式得到：
联立上面公式约去wn5化简得到：
上公式左右开方得到
上公式To2同时约去，整理得到公式
上面推导也可以用下面闭环传递函数得到
由公式任取一值得到得到ζ5；
由公式得到ko2，其中kc由步骤四4.1得到，ko1是被控对象固有的，由步骤2.2得到；
由上面已经得到ko2和阻尼比ζ5两值，利用下面公式得到To2值
由步骤二2.2公式得到To1，由步骤四4.4公式得到To2，校正装置Gc2(s)的传递函数的参数已经求取；
根据实际模型静态速度误差与系统提出的性能指标kv0比较，由公式kc＝1或得到kc，总校正模型各个参数就已经求取，
步骤五：校正后模型的性能指标验算；
5.1、ko2按所述公式选取，δ5％按公式选取，其中kv0和δ0％为系统提出的性能指标值，所以满足性能指标要求；
5.2、根据校正后的开环传递函数为：
计算校正后模型的调节时间ts5，具体推算如下：
由步骤四4.4中式变为
代入调节时间公式得到，计算校正后的调节时间
判断ts5和ts0值，如果ts5≤ts0，则理论校正完成，就进入校正电路实现阶段；如果ts5＞ts0，则按所述公式重新选取ζ5，由公式可得ts5和ζ5成反比，所以下次再在范围内取ζ5，但要比以前取得ζ5稍大；
如果ts5＞ts0，也可以重新选取kc，由下面推导得ts5和kc成反比，所以下次再取kc，也要比以前取得kc稍大；
由公式和ko2＝kc×ko1代入所述公式
其中c为常数，若选取误差带Δ＝±0.05，则c＝3.5或c＝3；若选取误差带Δ＝±0.02，则c＝4.4；ko1是被控对象的值，是步骤二建立模型得到，可认为ko1是固定值；由公式知ts5与kc和ζ5反比，与提出的系统调节时间的性能指标ts0比较，如果校正后模型的ts5＞ts0，则重新取kc或(与)ζ5值，把kc和ζ5调大，则ts5会变小，再次建立校正模型，直到超调量、调节时间和静态速度误差满足要求；
步骤六：根据步骤四和步骤五建立的校正函数，用校正实物实现；校正实物环节根据情况如果被控对象是电控制，可以是校正电路，如果被控对象是纯机械的，可以是机械环节实现校正等，校正实物环节串联进被控对象中，再按步骤一方法测试被控对象的超调量和调节时间，按步骤二算出搭建实物的校正环节的静态速度误差，看是否满足性能指标要求，如不满足要求，再在校正实物中调节一下参数，直到校正成功；校正实现的关键是设计的校正实物一定要是可调节校正参数的；如果仍然不行，则重新建立校正函数见步骤五5.2，再进行步骤六实物搭建校正环节，按步骤一和步骤二测得静态速度误差、超调量和调节时间，与提出的性能指标比较，看是否校正成功，如不成功，进一步调节参数；如果还是不行，就考虑建模是否失败，比如考虑ζ4和wn4是否与ζ3和wn3取值差别过大，则按步骤二2.1重新取更接近ζ3、wn3的ζ4和wn4值，重新建立更精确的被控对象模型，进行校正。
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