阅读说明：本技术 利用超表面的偏振状态生成 (Polarization state generation using a super-surface ) 是由 N·A·鲁宾 F·卡帕索 于 2019-01-24 设计创作，主要内容包括：本公开提供了一种光学部件,该光学部件可以是超表面光栅,该光学部件包括(a)基板以及(b)亚波长间隔的移相元件的阵列,这些移相元件被嵌入在基板上,以在被用偏振入射光照射时,对于有限数量的衍射级中的每个衍射级产生具有不同偏振状态的衍射光束,其中,该有限数量为2或更大。(The present disclosure provides an optical component, which may be a super-surface grating, comprising (a) a substrate and (b) an array of sub-wavelength spaced phase shifting elements embedded on the substrate to produce, for each diffraction order of a finite number of diffraction orders, a diffracted beam having a different polarization state when illuminated with polarized incident light, wherein the finite number is 2 or greater.)

利用超表面的偏振状态生成

相关申请的交叉引用

本申请要求于2018/01/24提交的美国临时申请No.62/621,453的权益和优先权，该美国临时申请的内容通过引用整体并入本文。

技术领域

本公开涉及光学领域，并且更具体地，涉及利用超表面的偏振状态生成。

联邦政府赞助的研究或开发的声明

本发明是利用国家科学基金资助No.DGE1144152和空军科学研究所(MURI，资助No.FA9550-14-1-0389和No.FA9550-16-1-0156)下的政府支持进行的。政府拥有本发明的某些权利。

发明内容

一个实施例提供了一种光学部件，该光学部件包括(a)基板以及(b)亚波长间隔的移相元件的阵列，移相元件被嵌入在基板上，以在被用偏振入射光照射时，对于有限数量的衍射级中的每个衍射级产生具有不同偏振状态的衍射光束，其中，该有限数量为2或更大。

另一个实施例提供了一种光学仪器，该光学仪器包括：(A)光学部件，该光学部件包括(a)基板以及(b)亚波长间隔的移相元件的阵列，移相元件被嵌入在基板上，以在被用偏振入射光照射时，对于有限数量的衍射级中的每个衍射级产生具有不同偏振状态的衍射光束，其中，该有限数量为2或更大；以及(B)一个或多个检测元件，每个检测元件被配置为检测衍射级中的一个衍射级的衍射光束。

又一个实施例提供了一种偏振测试方法，该偏振测试方法包括：用测试光照射上述光学部件；以及针对该有限数量的衍射级中的每个衍射级，测量从光学部件衍射的光束的光强度。

附图说明

图1：偏振测定相当于入射的斯托克斯向量在多个分析斯托克斯向量上的若干投影测量。如果分析向量是已知的并且是线性独立的，则可以重新获得

图2：a，示例性示意图：超表面衍射光栅可以被设计成在其衍射级上产生任意的指定的偏振状态。同一设备还可以用作并行偏振仪。b，这样的超表面可以由具有两个垂直的镜像对称轴(例如，矩形)的柱状移相元件构成，移相元件的正交尺寸w_x和w_y可以被调节成允许x和y偏振光上的独立且可调的相位延迟Φ_x和Φ_y。c，如果将尺寸相异的N个这种元件布置成沿着

方向的周期性单位单元，则可以形成1D超表面衍射光栅。在单位单元中的每个点处，在x和y偏振光上赋予恒定的相位。然后，以N-向量Φ_x和Φ_y的形式描述这些偏振所经历的相位分布。d，光栅的每个衍射级对应于各自沿着x/y取向的二向衰减器和相位延迟器的块体光学级联。这些元件执行偏振变换，从而在给定偏振入射时在该衍射级上产生某个偏振。e，庞加莱球(Poincarésphere)可以有助于理解一般输入偏振的衍射级的行为。标准庞加莱球(左上)表示所有可能的入射偏振的集合。在经过二向衰减器之后，球沿着S₁轴变形，变形的程度取决于二向衰减器的消光比(右上)。最后，相位延迟器使球沿着S₁轴进动等于其延迟δ^(m)的角度(底部)。在每个球上，红色箭头和蓝色点表示(d)中描绘的偏振椭圆。输出光束的功率是偏振相关的(未示出)。f，通常，除了光栅之外，在单个超表面(c)中包含的功能还涉及在每个级上的二分之一波片和四分之一波片，即，2P双折射片。

图3：a，用于设计超表面偏振光栅的优化例程的示例性示意图。优化对相位分布

和的初始猜测，以在期望的偏振状态的约束下使用梯度下降将尽可能多的光引导到感兴趣的衍射级。可以通过考虑所使用的移相器的模拟性质的无梯度方法来改进此猜测，并生成最终的几何形状。这些几何形状在的TiO₂中实现以用于在λ＝532nm处的操作。b，(a)中的方案被用于生成两种光栅，一种光栅用于通常感兴趣的四种偏振(顶部)，以及一种光栅用于偏振状态的四面体配置(底部)。每种光栅生成四种偏振状态，并且示出了在每个光栅级上的目标椭圆、来自FDTD模拟的期望值以及实验观察到的偏振椭圆。c，如由“四种偏振”(顶部)和“四面体”(底部)光栅制成的设计(黑色)和电子显微照片。在四面体光栅中，极其小的柱无法在制造中幸存下来。d，庞加莱球上的(b)中的结果的表示。虚线表示设计的偏振，并且实线表示实验测量。

图4：a，因为每个衍射级都可以被看作是二向衰减器与延迟器的级联(图2d)，所以当来自已知偏振(在这种情况下，45°的线性偏振)的源的光入射时，产生特征偏振如果未知偏振

的光在相反方向上入射并且如果用检测器替换光源，则通过时间反演对称性获得所测得的强度

b，这个事实允许超光栅充当并行偏振仪。四面体光栅的四个衍射级中的每个衍射级都可以用作单独的分析器。入射到超表面上的光穿过45°的线性偏振器，然后衍射到四个光电二极管上，这四个光电二极管的光电流被放大并且通过模数转换器(ADC)被数字化。出于测试和校准的目的，光穿过超光栅前面的各种偏振光学器件。文中描述了框出的部件(i)和(ii)的作用。c，当线性偏振器在其路径长度差大于激光相干长度L_coh的偏振Mach-Zehnder干涉仪((b)中的(i))前面被旋转时，偏振度(DOP)变化。绘制了由超光栅偏振仪报告的DOP，它几乎相等地遵循理论上预期的曲线。在45°(插图)处，当光最大程度地被退相干时，测得p＝.2±0.176％的DOP。

图5：在每一列中，使用不同的偏振测定量比较超表面光栅偏振仪(超表面)和商用旋转波片偏振仪(RWP)。在图的顶行中，由每个偏振仪报告的值被对照彼此进行绘制(在完美对应的情况下，所有值的位置将沿着1:1线)。示出了每个图线的插图。由于对于商用RWP而言准确性不是已知的，因此针对超表面值给出了误差条。在图的底行中，计算并用直方图绘制由每个偏振仪报告的值之间的差异。每个分布都用正态分布拟合，并且针对每个分布给出了均值μ和方差σ。所检验的量是偏振度(DOP)、方位角二倍角2θ和椭圆率二倍角2∈。后两个是给出庞加莱球上的偏振状态的球坐标的偏振椭圆的参数。

图6：在64次迭代上的品质标准的评估。这里示出了总品质标准，例如，被引导到感兴趣的级的x和y偏振光中的每一个的量。由于在这种情况下入射偏振为45°，因此η_x＝η_y。效率收敛至峰值η_sum＝1.4639，这意味着总效率

图7：在64次迭代上的文中的四偏振光栅的约束结果的收敛。

图8：根据优化的相位分布

和

的直接傅立叶变换在四个衍射级上获得的偏振椭圆。

图9：Lumerical

中设计的光栅的FDTD模拟的示意图。

图10：根据设计的衍射光栅的FDTD模拟预测的衍射级上的偏振椭圆。

图11：改变向电子束系统给出的标称制造CAD对在四偏振光栅上的m＝-2、-1、+1和+2上产生的偏振椭圆的影响。

图12：改变向电子束系统给出的标称制造CAD对在四面体光栅上的m＝-2、-1、+1和+2上产生的偏振椭圆的影响。

图13：在超表面光栅偏振仪的校准的第一阶段期间使用的光学装置的示意图。

图14：可视化：当线性偏振器被旋转时，入射的激光束在超表面上轨迹为圆形路径。

图15：在超表面光栅偏振仪的校准的第二阶段期间使用的光学装置的示意图。

图16：通过将偏振仪暴露于RCP和LCP光而获得的校准数据。对每个通道上获得的值求平均产生

和注意的是，对于一个圆偏振，光电二极管1几乎熄灭，而对于另一个圆偏振，它最大，如从设计的偏振状态所预期的一样。

图17：校准期间使用的线性偏振状态的DOP(如用最终仪器矩阵A确定的)。这些DOP的差异决不超过约0.5％的事实表明校准是自相一致的，并且所得到的仪器矩阵A可以是值得信赖的。

图18：用于利用超表面光栅偏振仪产生和量化部分偏振光的装置的示意图。

图19：针对部分偏振光表示的完整数据集。每0.25°取数据点并将其示出，部分掩盖了理论拟合。

图20：在同一实验的不同迭代中获得的一些异常结果。我们讨论了这些趋势的可能原因。

图21：来自偏振分束器干涉仪的两个光束发散了不同的量。(在a和b中示出的)这些光束是正交线性偏振的，并且没有彼此的相位记忆。当总强度相等的这些光束重叠时，DOP跨光束分布而变化，而不是如预期的那样到处都为0。在其强度相等的点处，DOP为0，并且在一个光束占主导的点处DOP接近1。这里注意的是，两个光束具有相同的波长，并且这里使用颜色是出于说明目的。光束的大小的差异在这里被夸大。

图22：4×4仪器矩阵。最左侧三列中的元件由校准的仅线性偏振器部分确定，并且被包围在实线框中。第四列由校准的四分之一波片加上线性偏振器部分确定，并且被包围在虚线框中。我们可以获取同一框中元件之间的协方差的估计。我们不能容易地估计框之间的元件的协方差。因此，我们假定A的16×16协方差矩阵是对角的。

图23：用于比较偏振仪之间的偏振度测量(DOP)的装置。

图24：用于比较偏振仪之间的方位角和椭圆率的装置。

图25：使用图23中的装置获得的所有偏振测定参数的完整结果，该装置包括用于生成部分偏振状态的偏振Mach-Zehnder干涉仪。该图中的被包括在图4a中的部分的轮廓被用虚线描画。

图26：使用具有LP和QWP但没有Mach-Zehnder干涉仪的图19中的装置获得的所有偏振测定参数的完整结果。该图中的被包括在图4a中的部分的轮廓被用虚线描画。这里注意的是，由于缺少Mach-Zehnder干涉仪，因此所有测得的DOP聚集在1.0附近(如所期望的)。在这种情况下，方位角和椭圆率的差异的标准偏差约为如图25中的大小的一半。

图27：用于表征偏振状态产生的角度相关性的实验。用两个反射镜被对准到台的激光入射到45°的线性偏振器上。光射在超光栅上，该超光栅位于支架上使得它可以被旋转角度θ。依次将旋转波片偏振仪(RWP)置于每个级的前面，并且记录偏振数据。

图28：被设计用于生成斯托克斯向量的四面体的超光栅的入射角相关性研究。在(a)中，对于每个衍射级，指示偏振椭圆的三个斯托克斯参数{S₁，S₂，S₃}被绘制为θ的函数。在(b)中，所得到的偏振椭圆是针对所研究的所有入射角。

图29：被设计用于生成+45°/RCP/LCP/-45°的超光栅的入射角相关性研究。在(a)中，对于每个衍射级，指示偏振椭圆的三个斯托克斯参数{S₁，S₂，S₃}被绘制为θ的函数。在(b)中，所得到的偏振椭圆是针对所研究的所有入射角。

图30：该图线在庞加莱球表示中示出了与图28和图29相同的结果。点越透明，入射角越大。

图31：用于分析入射角误差对从偏振仪报告的斯托克斯向量的影响(或更一般地，贡献于仪器矩阵的误差的任何影响)的过程的示意图。

图32a-c：角度相关性偏振测定研究的结果。注意的是，DOP误差以绝对项表示(例如，不是以％表示)。

图33a-d：-x和-y(顶部)以及tx和ty(底部)的图线，每个位置处的振幅传输。可以看出，所使用的结构库没有提供足够的自由度来以高度一致的振幅传输在每个点实现期望的优化的x偏振和y偏振的相位。

图34：同时控制六个衍射级的偏振状态的光栅的设计。目的是在最内侧六个衍射级上产生LCP、x、135、45、y和RCP光。在顶行中，示出了来自纯数学的、傅立叶变换相位分布优化的结果的偏振椭圆。在底行中，使用上述两步优化(包括模式搜索步骤)设计的光栅的模拟结果。偏振椭圆明显变形。

具体实施方式

除非另有指定，否则“一”或“一个”是指一个或多个。

如本文中使用的，术语“大致”、“基本上”、“基本”和“大约”被用来描述和说明小的变化。当与事件或情况结合使用时，这些术语可以是指事件或情况精确发生的实例以及事件或情况以接近的近似程度发生的实例。例如，当与数值结合使用时，这些术语可以是指小于或等于该数值的±10％的变化范围，诸如小于或等于±5％、小于或等于±4％、小于或等于±3％、小于或等于±2％、小于或等于±1％、小于或等于±0.5％、小于或等于±0.1％、或者小于或等于±0.05％。例如，如果两个数值之间的差值小于或等于这些值的平均值的±10％，诸如小于或等于±5％、小于或等于±4％、小于或等于±3％、小于或等于±2％、小于或等于±1％、小于或等于±0.5％、小于或等于±0.1％、或者小于或等于±0.05％，则这两个数值可以被视为“基本上”相同。

另外，本文中有时以范围形式呈现量、比率和其它数值。要理解，这样的范围形式是为了方便和简洁而使用的，并且应该被灵活地理解为包括被明确指定为范围的极限的数值，但是也包括该范围内所涵盖的所有单个数值或子范围，就好像每个数值和子范围被明确指定一样。

开发出也将被称为超表面光栅的光学部件，使得当用具有已知偏振的入射光束照射时，该光学部件对于数量至少为2的有限数量的衍射级(或衍射级集合)中的每个衍射级产生具有不同偏振状态的衍射光束。

光学部件可以包括基板和以特定方式定位在基板上的移相元件的阵列。该阵列可以是一维阵列或二维阵列。移相元件中的每一个可以使其横向尺寸(例如，其平行于基板的表面的尺寸)中的每一个具有亚波长值，例如，不大于或小于入射光的波长的值。垂直于基板的表面的移相的尺寸可以至少与入射光的波长相同或大于入射光的波长。阵列中的移相元件的数量可以变化。在一些实施例中，移相元件的数量可以是从8至100或从10至60或从10至40或在这些范围内的任何整数或子范围。优选地，各个移相元件之间的横向间隔具有亚波长值，例如，不大于或小于入射光的波长。

基板可以由多种材料制成。在一些实施例中，基板可以是玻璃基板或石英基板。

基板可以具有相对小的横向尺寸。在一些实施例中，基板的每个横向尺寸可以不大于2mm、或不大于1.5mm、或不大于1mm、或不大于0.75mm、或不大于0.5mm、或不大于0.4mm、或不大于0.3mm、或不大于0.2mm、或不大于0.15mm、或不大于0.1mm。

移相元件由在特定波长处提供与诸如空气之类的周围介质的足够强的对比度的同时不吸收该长度的光的材料制成。因此，材料的选择可以取决于将使用光学元件的特定波长值或范围。在特定波长处的足够强的对比度可以意味着移相元件的材料具有明显比诸如空气之类的周围介质的折射率值大的折射率值。因此，移相元件的材料对于特定波长的折射率可以为至少2.0、或至少2.1、或至少2.2、或至少2.3、或至少2.4、或至少2.5、或至少2.6、或至少2.7、或至少2.8、或至少2.9、或至少3.0、或至少3.1、或至少3.2、或至少3.3、或至少3.4、或至少3.5。优选地，移相元件的材料在入射光的波长处不吸收。

在一些实施例中，移相元件可以包括二氧化钛、氮化硅、氧化物、氮化物、硫化物、纯元素或这些中的两种或更多种的组合。

在一些实施例中，移相元件可以包括诸如氧化铝(例如，Al₂O₃)、二氧化硅(例如，SiO₂)、氧化铪(例如，HfO₂)、氧化锌(例如，ZnO)、氧化镁(例如，MgO)、二氧化钛(例如，TiO2)之类的金属或非金属氧化物、诸如硅的氮化物(例如，Si₃N₄)、硼的氮化物(例如，BN)或钨的氮化物(例如，WN)之类的金属或非金属氮化物、金属或非金属硫化物、纯元素(例如，可以用于诸如近IR或中IR波长之类的较长波长的Si或Ge)。

在R.C.Devlin等人的Proc.Natl.Acad.Sci.113,10473(2016)中描述了制造超表面的某些比较方法。

衍射级的数量可以是任何预先选择的数量。例如，衍射级的数量可以是从2至20或从2至12或从2至8的任何整数。衍射级的数量较少(诸如，2、3、4、5或6)的光学部件可以具有更多应用。

移相元件被配置为(例如，定位在基板上)使得当用入射偏振光照射时，预先选择的衍射级(有限数量的衍射级)中的每个衍射级的光强度彼此大致相等，而任何其它可能的衍射级的光强度小得多，优选地比预先选择的衍射级的光强度小至少一个或至少多个量级，并且更优选地，低于检测元件的检测极限。

在一些实施例中，移相元件被配置为产生四种不同的偏振状态。

例如，在一些实施例中，移相元件被配置为使得当移相元件被用+45°线性偏振(相对于基板的表面)光照射时，光栅在-2、-1、+1和+2衍射级处分别产生具有+45°线性偏振状态、右圆偏振状态、左圆偏振状态和-45°线性偏振状态的衍射光束。

在一些实施例中，移相元件被配置为当被用相对于基板的表面+45°线性偏振的入射光照射时，在-2、-1、+1和+2衍射级处产生与内接在庞加莱球中的四面体的顶点对应的四种偏振状态。

在一些实施例中，不同衍射级的偏振状态可以是线性独立的。

又在一些实施例中，不同衍射级的偏振状态中的两种或更多种可以是线性相关的。

光学部件(超表面光栅)可以被用在光学仪器中，该光学仪器还可以包括一个或多个检测元件，每个检测元件被配置为检测光栅的衍射级中的一个衍射级的衍射光束。光学仪器可以是偏振仪。

由于衍射级的数量有限，光学仪器可以包括可以与衍射级的数量对应的有限数量的检测元件。

在一些实施例中，在光学仪器中使用的检测元件可以是单波检测器，例如，被配置为测量特定的单个波长处的光的强度的检测器。在一些实施例中，单波长检测器可以是对入射光的波长处的光强度具有线性响应的检测器。单波长检测器可以是DC检测器或AC检测器。

在一些实施例中，光学仪器中的检测元件可以是多波长检测器，例如，被配置为测量在波长范围中的光的强度的检测器。配备有多波长检测器的光学仪器可以用作光谱偏振仪。

在一些实施例中，在光学仪器中使用的检测元件可以是成像传感器。配备有成像传感器的光学仪器可以用作偏振成像仪器。

优选地，光学仪器不包括任何双折射光学元件。

优选地，超表面光栅是光学仪器的唯一超表面部件，例如，光学仪器不包括除了超表面光栅之外的任何超表面部件。

在一些实施例中，光学仪器可以包括第一偏振器，该第一偏振器被定位在朝向光学部件的入射测试光的光路上。第一偏振器的消光系数可以是在1000和200000之间或在5000和150000之间或在5000和120000之间或在这些范围内的任何值或子范围。

在一些实施例中，光学仪器可以包括第二偏振器，该第二偏振器被定位在朝向检测元件的(一个或多个)衍射光束的光路上。第二偏振器的消光系数可以是在500和200000之间或在1000和150000之间或在5000和120000之间或在这些范围内的任何值或子范围。在某些实施例中，第二偏振器可以具有较低的消光系数，诸如在500和20000之间或在5000和12000之间或在600和8000之间或在600和5000之间或在600和4000之间或在600和3000之间或在这些范围内的任何值或子范围。

在一些实施例中，光学仪器可以包括透镜，该透镜被定位在朝向(一个或多个)检测元件的(一个或多个)衍射光束的光路上。透镜可以允许减小光学仪器的大小。

超表面光栅可以被用于测试具有未知偏振的测试光的偏振。例如，超表面光栅可以被用测试光照射；然后，可以针对有限数量的衍射级中的每个衍射级测量从超表面光栅衍射的光束的光强度。在一些实施例中，测试光可以是部分偏振的或非偏振的光。

在一些实施例中，当在偏振仪中使用超表面光栅时，可以针对校准入射偏振光的特定入射角来校准光栅。在一些实施例中，即使当测试光的入射角与校准入射偏振光的校准入射角稍有不同时，超表面光栅也可以在偏振仪中用于测试具有未知偏振的测试光的偏振。例如，在一些实施例中，测试光的入射角可以在校准入射偏振光的校准入射角的±7°或±6°或±5°或±4°之内。

本文中描述的实施例通过以下工作示例进一步说明，但决不限于以下工作示例。

工作示例

利用单个超表面的并行的偏振状态生成和测量

超表面的构成元素可以被设计成具有明确的偏振相关性，从而使超表面成为新的偏振光学器件的平台。本公开表明，在给定入射光束的偏振已知的情况下，可以设计超表面光栅，从而在定义的衍射级的集合上产生任意指定的偏振状态。还证明了，当在相反配置中使用时，相同的光栅可以被用作包括最少的体偏振光学器件的并行快照偏振仪。本公开展示了其在测量部分偏振光中的用途，并且表明与商用偏振仪相比，其表现良好。本公开的结果可以被用于多种应用中，这些应用可以涉及轻质、紧凑和低成本的偏振光学器件、偏振测定法或偏振成像。

介绍

偏振在无数的科学和技术领域中、在如原子物理学和基本光/物质相互作用一样多样化的领域中对于光纤电信和偏振分辨成像发挥着重要作用。后者已在遥感、气溶胶表征、非侵入性癌症病理学和天体物理学中得到应用。因此，产生、测量和操纵偏振光的方法具有重大的科学和技术利益。自由空间中的偏振光学器件的基本单元常常包括偏振器和/或相位延迟器(波片)。存在各种偏振器技术，包括线栅、二向色晶体、双折射晶体棱镜和偏振片。相位延迟器常见地由块体双/单轴晶体形成。它们的双折射性质使得能够进行偏振转换，并且导致光的偏振的最初发现。然而，这些片可能难以制造和/或加工并且集成有挑战性，尤其是在小型化光学器件的情况下。

偏振的测量常常被称为偏振测定法[12]。特别地，斯托克斯偏振法是指完整的四分量的偏振斯托克斯向量

的确定，该向量量化偏振椭圆的形状、取向、强度和偏振度。偏振的产生和分析是共轭的；如果被反向使用，用作偏振状态生成器的偏振光学器件的任何配置可以是分析器。如果未知的斯托克斯向量入射到分析器上，则由于这种对称性，检测器将观察到

其中，是由假设被用作生成器的分析器产生的特征偏振。偏振测定法相当于斯托克斯向量的若干这样的投影测量(图1)。这可以在矩阵方程中被公式化

A是已知为仪器矩阵的N×4矩阵，是入射斯托克斯向量，并且是N个测得的强度的列表。A将斯托克斯向量的参数与N个分析器通道上的N个测得的强度

链接。在N＝4的特殊情况下，斯托克斯向量可以被直接写为

(在N>4的超定情况下，找到

的最小二乘解)[12]。

存在几大类斯托克斯偏振仪，它们在实现N个期望的投影测量的方式上有所不同。在分时(divison-of-time)方法中，随着偏振光学器件的配置改变，按时间顺序地进行N次测量。尽管这减少了必要的部件的数量，但时间分辨率受到偏振光学器件可以被重新调节成的速度的限制。在机械旋转的情况下，这可能表示严重的妨碍。诸如液晶可变延迟器之类的有源偏振光学器件可以以高成本稍微改善此问题，尽管在这里，时间分辨率也被限制于ms范围[5]。另一方面，在分振幅(division-of-amplitude)(也被称为并行或快照偏振测定法)方法中，在各自包含不同分析器的N个并行通道之间划分波前。例如，这可以通过使用双折射(例如，Wollaston)棱镜和分束器来实现[13]，或者通过采用衍射光栅将光束分离到包含唯一偏振光学元件和检测器的N级来实现[14，15]。因为偏振确定的时间分辨率可能仅受检测电子器件的限制，所以分振幅可以是期望的。然而，分振幅的主要缺点可能是在每个通道上需要不同的偏振光学器件，这增加了复杂性和体积。

(至少自由空间中)这些偏振光学器件的基本单元可以是偏振器和相位延迟器(波片)。延迟器常常由其双折射性质使得能够进行偏振转换的块体双/单轴晶体形成；这些导致了光的偏振的最初发现。然而，这些片难以制造和加工并且集成有挑战性[2,16]。

与此同时，可以被定义为纳米光子移相元件的亚波长间隔阵列的超表面[17]已引起了极大的关注，并且可以有望使各种块体光学器件小型化。超表面的元件可以拥有定制的结构双折射[18，19]。

本公开提出了用于设计超表面光栅的方案，当已知偏振的光入射时，该超表面光栅可以在其衍射级上并行地产生任意指定的偏振状态(图2a)。本公开通过实验表征了用这种方案设计的两种光栅。通过上述对称性，相同的光栅可以用作不需要块体双折射光学器件的并行全斯托克斯偏振仪。本公开表征了这种偏振仪并且将其性能与商用旋转波片仪器进行比较。本公开的结果可以被用于多种应用中，这些应用可以涉及轻质、紧凑和低成本的偏振光学器件、偏振测定法或偏振成像。

操作原理

具有两个垂直的对称轴的亚波长超表面元件[20](例如，矩形，但涵盖了其它可料想到的示例)可以用作类似波片的移相器，从而在x和y偏振光上赋予独立的相移Φ_x和Φ_y[18，19]。通过改变垂直尺寸w_x和w_y(图2b)，可以在0和2π之间任意地调节Φ_x和Φ_y的值。如果将Q个这样的双折射移相器在1D周期性光栅单位单元中以亚波长间隔布置(图2c)，则x偏振光在单位单元中的第q位置处所经历的相移可以由表示。即，可以使在单位单元中的每个位置处通过波前获取的相移的近似恒定。作为空间坐标(为了不与x偏振光混淆)的函数，x偏振光所经历的离散相位函数

可以被写为向量其中，对于y偏振光具有类似的含义。如果嵌入周期性单位单元，则形成超表面相位光栅，该超表面相位光栅对于正交x和y偏振而言实现了独立且任意的周期性相位分布。

光栅的角谱是周期性的，是离散的。在给定相位分布

和(被包含在

和

中)的情况下，可以计算第m光栅级上的每个相位光栅的傅立叶分解，由和给出，其中，d是周期性单位单元的长度，并且

分别是由x和y偏振经历的光栅的傅立叶系数。

每个系数通常都是复杂的，所以我们可以写作

和

然后，可以将琼斯(Jones)矩阵J^(m)归于每个级。

包含在J^(m)中的级m的偏振性质可以被视为对应于两个块体光学元件的级联(图2d)：乘积中的第一个琼斯矩阵是二向衰减器，即，选择性地衰减沿着x和y方向的光的不完美的偏振元件，而第二个琼斯矩阵是具有延迟的相位延迟器(波片)的琼斯矩阵。二者都具有它们的沿着x和y相互取向的本征轴(图2d)。

如果例如具有电场振幅E₀的以45°线性偏振的光束入射到光栅上，则第m光栅级上的电场将为：

然后，在45°偏振光的特殊情况下，复数光栅系数和

直接产生级m的偏振状态。对于一般的输入偏振，可以在庞加莱球的辅助下理解每个级上的输出偏振状态(图2e，参见说明)。

优化

在给定具有已知和的光栅的情况下，可以用傅立叶光学计算每个衍射级m上的偏振状态和功率。相反地，对于给定的入射偏振，可以推导出产生具有指定偏振状态的衍射级的

和吗？这将允许对这种光栅进行直接设计，从而将功能嵌在单个超表面中，该功能否则在最一般的情况下会涉及具有2P二分之一和四分之一晶体波片的普通衍射光栅，其中，P是要控制的衍射级的数量(图2f)。

假定对于集合{l}中的每个衍射级，可以指定期望的输出偏振状态。这些偏振直接指示傅立叶系数和可以通过简单地逆转傅立叶变换来找到光栅。对于以45°偏振的入射光的情况，通过由以下给出全息掩模：

然而，作为光栅的许多空间谐波之和的式6涉及振幅和相位调制二者。在超表面的领域中，这可能是不期望的。通常可以希望获得具有几乎一致的振幅传输的一系列移相器几何形状，这些移相器几何形状产生范围在0和2π之间的相移[18]。至少要从流线型设计的可能几何形状的有限集合中提取出来，通常难以组装同时产生任意形状可调的相移和传输的结构库。在当前情况下，期望的是，对于x和y偏振二者，能彼此同时且独立地实现。在不借助非常大量的模拟几何形状的情况下，这是站不住脚的。

于是，期望仅相位的光栅。然而，可以证明，仅相位的光栅可以具有一个或无限多个衍射级，因此精确解(式6)通常不是仅相位的[21]。因此，可能有必要进行优化，以便在呈现所期望的目标偏振状态的同时，在感兴趣的级中集中尽量多的衍射光。

更正式地说，期望设计光栅，该光栅在以45°线性偏振的光入射时，在光栅级的集合

上产生期望的偏振状态。每个级

上的目标琼斯向量被给定为

光通常将被衍射到所有级，而不仅仅是

中的那些。为了将尽可能多的入射功率引导到这些期望的级，力求在约束

和下使

最大化。

这些约束提供每个级上的期望的偏振，并且相位分布向量和是待优化的量。如果光栅具有Q个构成元件，则优化将涉及2Q个参数。Q和元件间间距指示了光栅周期d，该光栅周期d与操作波长λ一起指定了光栅级的角间距。一旦获得了优化的

和就可以在数学上评估期望的级的功率以及与目标偏振的对应性(参见式8、式9和式10)。

在以上约束下，利用随机生成的初始条件，执行的梯度下降优化(图3a)。这可能是纯粹的数学运用，并且与任何特定的材料实现方式或波长无关。一旦找到优化的就可以推导感兴趣材料中的适当的移相几何形状。

出于与材料实现方式的选择有关的原因(本文中详述)，可以向优化添加第二步，在该第二步中，通过使用无梯度方法来改进来自梯度下降的结果，该无梯度方法明确地使用在本公开中使用的TiO₂柱移相器在λ＝532nm的波长处的模拟性质(图3a)。

偏振状态生成

使用这种两步优化策略，两种光栅被设计用于在λ＝532nm(这是由于可见范围的科学和技术普遍性而选择的)处操作。针对优化的

和中的每个元素，从模拟结构库中选择其尺寸最佳地在x和y偏振光上赋予期望相位的高度为600nm的矩形TiO₂柱。然后，将设计的光栅制造在玻璃基板上。

第一光栅被设计为当45°线性偏振光入射时分别在m＝–2，–1、1，+1和+2衍射级上产生全都具有相等强度的+45°线性、右圆、左圆和–45°线性偏振。这些代表了在光学实验中常常遇到的偏振的集合，并且因此引起了普遍关注。这被称为“四偏振”光栅。第二光栅被设计为对于相同的入射偏振在相同的级上产生具有相等强度的四种偏振状态，这四种偏振状态对应于内接在庞加莱球中的四面体的顶点。该偏振集合在(下面讨论的)偏振测定法中是重要的[23，24]。这被称为“四面体光栅”。

两种光栅都包含Q＝20个单独元件，因此每个光栅涉及2Q＝40个参数的优化。启发性地发现，该Q产生的结果既实现了高效率η，又与期望的偏振椭圆有良好的对应性(既通过数学方法又从FDTD模拟)，同时使优化参数的数量最小化。然而，也可以使用更多或更少数量的元件。

在图3c中示出了针对每个光栅实现优化相位分布的单位单元几何形状，旁边是对应的电子显微照片。各个单位单元被嵌入在各自大小为250×250μm的块体超表面光栅中。

每个光栅被用相对于光栅的轴以45°线性偏振的λ＝532nm的激光照射。然后，用商用旋转波片偏振仪测量感兴趣的衍射级中的每个衍射级上的光的偏振状态(关于该测量的更多细节参见补充资料)。

在图3b中，对于每个光栅，每个级上所测得的偏振椭圆被绘制，旁边是期望的目标椭圆以及通过光栅几何形状的FDTD模拟预测的椭圆。观察到期望目标的、模拟的和观察到的偏振状态之间的定性上接近的对应性。

超表面偏振测定法

超表面偏振光栅的每个级可以被认为是与相位延迟器串联的二向衰减器，二向衰减器和相位延迟器各自沿着x/y取向(式4和图3d)。当来自源的光穿过以45°取向的偏振器时，在光栅级上产生偏振状态，理想情况下接近某种目标状态(图4a，顶部)。当光栅被反向使用(即，光栅后面跟随以45°取向的线性偏振器)时，每个衍射级可以被视为用于其特征斯托克斯向量的偏振状态分析器(图4a，底部)。

然后，可以将光栅用作没有偏振光学器件(除了可以例如被集成在光栅顶部上的单个偏振器以外。在一些实施例中，偏振器对于斯托克斯向量确定可以是必要的)的并行全斯托克斯偏振仪。这可能依赖于可以被任意指定的分析器状态的合适选择。在一些实施例中，四偏振光栅对于全斯托克斯偏振测定法而言可以是不足够的，因为其在理想情形下的状态不是线性独立的。在一些实施例中，四偏振光栅的缺陷可能破坏这一点并且致使它对于偏振测定法是可用的，尽管不是理想的。对于进行N＝4次测量的偏振仪，已经有大量文献证明，在没有校准误差的情况下[24]，其特征斯托克斯向量对应于内接在庞加莱球中的(任何)四面体的分析器的配置产生斯托克斯向量确定中的最大信噪比[23]。

考虑到这一点，制造上述四面体光栅的较大版本(1.5mm×1.5mm)。当激光入射时，感兴趣的四个衍射级穿过以45°取向的偏振器并发散。相距一定距离(cm)，每个光束射在标准硅光电二极管上，从而产生光电流，该光电流被放大并转换成数字形式(图4c，右侧)。

可以通过校准来确定仪器矩阵A。因此，本公开执行了针对Azzam[26]的四检测器光偏振仪开发的校准方案[25]，该方案适用于具有四个强度通道(N＝4)的任何偏振仪，其明确地解释了不完美的四分之一波片。在下面的公开中记录了该校准的实现方式。所得导的仪器矩阵A的每个条目可以被指派误差界限，该误差界限提供任何计算出的斯托克斯向量的全协方差矩阵[27]，从而允许对通过超表面光栅偏振仪预测的任何斯托克斯向量赋予不确定性界限。

量化部分偏振光

利用经校准的超表面光栅偏振仪，可以根据A和光电二极管上测得的强度来确定任何入射光束的斯托克斯向量。感兴趣的情况可以是部分偏振光的情况。在所有非激光光源中，固有地作为时间相干现象的结果的部分偏振光和非偏振光[2，28]是常见的。光的非偏振度通过偏振度(DOP)量化，DOP被定义为

其中，S_i表示斯托克斯向量的第i元素。全偏振光对应于p＝1，全非偏振光对应于p＝0；在中间情况下，p代表光束的偏振功率与非偏振功率的比率。

为了研究超表面光栅偏振仪对变化DOP的响应，可以涉及产生部分偏振光的确定性手段。本公开利用具有两个偏振分束器的类似于Mach-Zehnder的装置[2,29]。这在图4b中进行了描绘，其中(i)中框出的部件被包括，而(ii)被省略(尽管(ii)的存在在理论上不会影响DOP)。当线性偏振器在干涉仪前面旋转时，不同分数的入射光被引导到每个臂中。当光束的相等部分沿着每条路径行进(当θ_LP＝45°时)并且干涉仪的路径长度差被布置成激光源的许多相干长度L_coh时，重新组合的光束应是完全非偏振的：该光束将由不再具有相位相干的一半x偏振光和一半y偏振光构成。另一方面，当θ_LP＝0°或90°时，光束被完全偏振，因为所有光都沿着一条路径传播。在中间角度处，p＝|cosθ_LP|[29]。

线性偏振器在干涉仪的前面被旋转，同时计算由超光栅报告的斯托克斯向量。在图4e中绘制了对应的DOP(式11)。如插图所示，观察到最小DOP为1.2％，其中不确定度为0.176％。

与商用旋转波片偏振仪的比较

最后，本公开将超表面光栅偏振仪的性能与商用并且广泛使用的可见范围旋转波片偏振仪(ThorLabs型号PAX5710VIS-T)进行了比较。在旋转波片偏振仪(RWP)中，波片在线性偏振器和检测器的前面机械旋转；根据时变信号的傅立叶系数，可以确定入射斯托克斯向量[12，30]。

使用4b中描绘的装置进行实验，该装置包括框出的部件(i)和(ii)。选择了随机选择的线性偏振器(LP)和四分之一波片角度(QWP)θ_LP和θ_QWP的集合。在自动测量中，保持LP和QWP的支架移动到这些预定角度，并且使用超光栅偏振仪推导出以这些配置中的每一个产生的偏振状态。接下来，将商用旋转波片偏振仪(RWP)放置在光束路径中代替超表面光栅偏振仪。QWP和LP重新访问相同的位置，并且记录由RWP报告的偏振。

图5中总结了关于偏振椭圆的方位角和椭圆率(该图线由二倍方位角和椭圆率角度2θ和2∈制成，因为这些是庞加莱球上的角坐标)和DOP的量的比较。图5的顶行中的图绘制了沿着垂直轴的由超表面光栅偏振仪报告的值和在水平轴上的由RWP报告的值(如果这二者完全一致，则所有数据点的位置都将沿着黑色1:1对应线)。

对于每个量，计算由两个偏振仪报告的值之差，并且将其绘制在图5的底行中的直方图中。每个都用正态分布进行拟合，示出了其平均差(μ)和标准偏差(σ)。

讨论

并行偏振状态生成

如在图3中所图示的，对于四偏振光栅和四面体光栅二者，在衍射级上通过实验观察到的偏振椭圆强迫地匹配期望的目标椭圆与从FDTD模拟预期的椭圆二者。本文中提供了这种比较的更定量的观点，并且具体地，观察到目标和测量之间的方位角和椭圆率的平均偏差分别为4.37％和3.57％。另外，如本文中所示，该差异中的大部分可能归因于制造缺陷和精确元件尺寸的不可预测性。当调节所制造的几何形状的标称尺寸以测试该效果时，观察到所测得的偏振椭圆平滑地改变(补充)。在给定甚至完美制造的情况下，椭圆也不会完全匹配目标状态，因为优化将永远无法实现完美。从偏振测定法的角度来看，至少可以通过校准来应对四面体光栅的性能缺陷(而A的条件数可能略有增加)。以下公开讨论了该方案的局限性和改进建议。

并行偏振测定法

上面已经提出了超光栅的偏振仪功能的特征，尤其是其与商用RWP相比的测量部分偏振光的能力以及偏振测定性能。偏振仪的校准可能有点技术问题。下面的公开讨论了可能损害偏振仪的准确性的若干校准相关问题并提出其改进手段。

超光栅偏振仪可以检测由偏振Mach-Zehnder干涉仪产生的部分偏振光。DOP与线性偏振器角度的相关性遵循了预期的理论趋势。在45°，测得最小DOP为1.2％，其中不确定度为0.176％。尽管理想情况下应该为0％，但DOP聚集了来自所有四个斯托克斯分量的误差，并且在某种意义上，可实现的最小值是对偏振测定系统整体准确性的评论。如以下公开中讨论的，利用偏振Mach-Zehnder干涉仪产生部分偏振光可能有若干微妙之处，包括DOP在输出光束的分布上变化。在45°观察到的非零DOP可以是由于偏振仪的误差、光束的DOP相对于零的实际偏差、或更可能是这二者的某种组合。然而，该结果应该证明了所提出的设备的灵活性——完全并行测量中的单个光学元件可以提供关于DOP(光的相干性质)的信息。

最后，将超光栅偏振仪的性能与商用旋转波片设备的性能进行比较。对于DOP、方位角和椭圆率(通常感兴趣的偏振测定参数)的量，本公开检验了由这两种偏振仪报告的值的差异并将这些作为统计量对待。对于DOP，本公开观察到标准偏差σ＝1.6％和平均差μ＝0.6％，即容易归因于一个偏振仪稍微未对准的系统误差。对于方位角χ和椭圆率∈，分别观察到σ＝0.023rad＝1.32°以及σ＝0.0075rad＝0.43°。这可能隐含地假定RWP是绝对偏振参考；任何不正确的程度都将增加超光栅偏振仪的感知误差。此外，误差本身是偏振相关的(参见以下公开内容)。通过在所有可能偏振上或多或少地对误差进行均匀采样，每个参数的σ值表示最坏情况下的性能。这些已经在针对所使用的RWP引用的误差附近(参见以下公开内容)。尤其是，RWP的性能可以匹配没有移动部件、没有块体双折射偏振光学器件并且具有受探测器限制的时间分辨率的设备。

下面的公开报告了入射角对偏振仪影响的研究，并得出结论：在高达约±5°的意外未对准的情况下，仍然可以以合理准确性使用偏振仪。

技术角度

在本公开中，偏振仪功能已经被嵌入其中两个相位分布可以应用于同一平面中的单个平的超表面中，从而显著改善了大规模应用的前景。仅使用线性偏振器(可以例如容易地被作为线栅集成在设备顶部上)，单个设备就可以在没有块体双折射光学器件的情况下并行地生成/测量偏振，从而让集成容易进行。如果使用检测器的线性阵列，则该设备可以扩展至光谱偏振测定法，或者如果用成像传感器取代检测器，则该设备可以扩展至偏振成像。对于集成的全斯托克斯偏振仪和偏振相机而言，这可代表一种简单得多的解决方案，该解决方案将不涉及在焦平面阵列顶部上的二向色性或双折射材料的块体光刻图案化[5、48、49]。

到目前位置的公开的简要总结

本公开提供了用于设计具有其偏振状态可以被任意指定的级的超表面衍射光栅的方法。设计并制造两种这样的光栅，其中衍射级的偏振状态被表征，并且与期望的目标偏振状态密切对应。通过对称性，光栅还可以用作偏振的并行分析器，并且可以允许进行快照全斯托克斯偏振测定法。展示了光栅测量部分偏振光的能力。另外，将光栅的性能与商用RWP进行比较。统计分析表明，光栅的准确性与商用RWP的准确性相当。基于超表面的偏振仪不一定涉及或者移动部件或者块体双折射光学器件，这可以促进其可集成性，并且因此可以表现出偏振测定技术的显著简化。如果使用检测器阵列作为替代，则光栅的使用可以扩展至偏振成像。作为光栅，级的色散也可以被用于光谱偏振测定法。

并行偏振状态产生

优化过程

在本公开中给出优化过程的梗概，这里对该优化过程进行重新总结。输入包括：

-其偏振状态将由超表面控制的长度P的衍射级的集合

-对于P个级中的每个级，指定级上的期望偏振的琼斯向量通过量χ^(m)和φ^(m)将琼斯向量

参数化为

-每个衍射级上的光束的相对强度；

-入射偏振的琼斯向量；以及

-将被包括在光栅中的移相元件的数量Q。

梯度下降优化

相对量值和期望的偏振状态形成对最终相位光栅的傅立叶系数的约束的集合。

x偏振光和y偏振光二者经历独立的相位光栅。这些光栅系数是光栅的相位分布和

的函数，和

是空间坐标

的函数：

以及

每个衍射级的偏振和能量由泛函c_x和指示——目的是将尽可能多的能量引导到感兴趣的衍射级，例如，集合因此，在约束

和下对量

进行优化。

用来自本公开的一个示例(分别在m＝-2、-1、+1、+2衍射级上产生-45°线性、右旋圆、左旋圆和45°偏振的光栅)最好地说明这一点。本公开中的某些光栅的设计还力求在感兴趣的四个级之间均等地分布功率。

本公开中的某些设计将光栅系数

和划分为实部和虚部，作为和

假定入射光具有的偏振，约束为：

注意的是，最终约束明确光功率应该在不同的衍射级之间均等分布(由于入射偏振是以45°线性偏振的，因此c_x和c_y上的权重是相等的)。

然后，可以使用标准数值包在这些约束下利用梯度下降优化感兴趣的级的功率(式3)。

在图6和图7中给出该梯度下降优化的结果。在图6中，可以看出，相位光栅的理论效率η达到了73.1％的峰值。

通过优化的相位光栅产生的偏振椭圆的数学分析

从以上优化过程，获得了在衍射级上产生期望偏振状态的优化的x和y偏振相位光栅。

这些相位分布可以通过傅立叶变换进行传递，并且可以检验所得到的偏振椭圆；结果在图8中示出。

毫不奇怪，从优化的相位分布通过数学方法得出的偏振椭圆与所期望的完美匹配。这可能是从图7收集的，因为约束几乎完美匹配。

材料实现方式

利用由此获得的优化的相位分布

和可以设计在每个光栅位置处在x偏振光和y偏振光中的每一个上实现正确相位的结构。

例如，在[1和2中已经对此进行了讨论，有关此内容和其它参考，参见下面的“文献”部分]。这里也简要总结了该方法。

使用有限差分时域方法(FDTD)，在假定平面波照射和周期性边界条件的情况下，对宽范围的具有不同垂直横向尺寸w_x和w_y的矩形柱结构进行模拟。使用远场投影，确定每个偏振的传输振幅(t_x和t_y)和每个偏振的本征相移(φ_x和φ_y)。即，对w_x和w_y的了解通过模拟指定了元件的移相和传输性质。

这里，感兴趣的是相反的问题，该问题在于希望得知最佳地实现指定φ_x和φ_y的w_x/w_y。通过找到具有振幅传输(尽可能接近1)的元件同时使所实现的相位相对于期望相位的偏差最小化来定位最佳元件。有关此内容的更完整说明，参见[50]的补充。

这使得能够将优化的一组光栅相位分布和

直接变换成要用感兴趣的材料(在本情况下，TiO₂)制造的真实几何形状。

设计的光栅的FDTD模拟

从模拟的视角来看，定义光栅的周期性可能是幸运的，并且包括20个元件的优化光栅自然地使它们自己适于模拟。因此，可以直接模拟优化的光栅并检验偏振椭圆。

这是使用图9中示出的几何形状利用平面波照射和周期性边界条件执行的。

在图10中，对于四偏振光栅示出了根据模拟预期的偏振椭圆。

模拟与目标之间的不一致

如上所述，在假定在沿着光栅的每个点处振幅传输均匀的情况下，优化并找到相位分布

和

在选择实现这些相位分布的元件时，尽最大努力找到在每个位置处以尽可能接近于一的振幅传输实现所需的φ_x和φ_y的元件。

使用FDTD模拟，可以组装移相结构的库，其中，移相几何结构(例如，w_x和w_y)与相移和振幅传输相关联。可能以几乎一的传输实现任何期望相位集合的程度取决于期望的材料实现方式中的可用的结构的多样性。一旦期望的相位分布被转换成这种“最适合”光栅几何形状，就可以评价从库中选择的结构的相移和振幅传输。

这在图33中示出。可以看出，在沿着x和y偏振相位光栅的某些点处，传输低至70％，而在其它位置处，传输实际上接近一。然后，在其结果被转换成真实光栅设计时，打破了优化算法的传输为一的假设。

振幅传输中的某些非均匀性可以被容易地并入品质函数式3中的傅立叶变换和计算。

在优化过程期间的任何步骤，每个相位分布集合都具有相关联的“最适合”几何形状。于是，对这个问题的原始解决方案是将对该“最适合”光栅几何形状的传输和相位分布的检验包括作为优化过程和品质因数计算的部分。然而，优化通常将不收敛。替代地，基于梯度下降的纯数学过程被用于获得和而与任何特定的材料实现方式无关。然后，该结果被用作改善该结果的无梯度方案(即，模式搜索)的初始条件，从而通过在优化过程的每个步骤计算“最适合”光栅几何形状来明确考虑结构库的限制。

通常，希望控制的衍射级越多，优化将越不成功，并且存在优化可能变得过度受约束的某些情形。

在本公开的一些实施例中，重点关注其中四个衍射级具有定制和受控制的偏振状态的光栅。这是因为斯托克斯向量本身具有四个元素，因此对这些衍射级中的四个进行分析足以构造全斯托克斯偏振仪。然而，作为对优化方案的限制的例示，应当注意，设计了控制六个衍射级的光栅。具体地，寻求创建其中内部六个衍射级将包含庞加莱球上的基本方向即RCP、LCP、45°、135°、x和y的超表面偏振光栅。

在图34中示出了这些结果。首先，仅使用梯度下降来找到优化的相位分布和而不参考实际移相结构的任何性质。然后，通过数学方法，可能找到在这种情况下产生期望的偏振椭圆的相位分布。

然而，当按两个步骤(如上所述，使用模式搜索和实际移相器性质)执行优化并且对所得到的光栅进行模拟时，通常不在没有明显变形的情况下产生椭圆。这在图34的底部中示出。通过扩展可用结构的库和优化方案的改善，可以有可能扩展到更多衍射级的控制。

结构的制造

光栅本身是使用针对可见频率超表面开发的二氧化钛工艺制造的。这里，对此进行非常简要的总结。

将正电子束抗蚀剂旋涂在玻璃基板上并且使用电子束光刻对光栅图案进行曝光。对抗蚀剂进行显影并且使用原子层沉积(ALD)在空隙中沉积非晶TiO₂膜。使用反应性离子蚀刻回蚀过多的TiO₂，并且最后使用溶剂移除电子束抗蚀剂，从而产生独立的TiO₂柱。

ALD工艺的保形性以及抗蚀剂作为图案的模板的使用产生了具有接近垂直的侧壁的高纵横比结构。

偏振椭圆的测量

将制造的光栅安装在平移支架上，并且用相对于光栅和柱元件的笛卡尔轴以45°线性偏振的绿色激光照射。光分散到多个光栅级，每个光栅级可以用商业偏振仪(在本公开中用于进行比较的相同偏振仪)来表征。

特别重要的是，入射光相对于光栅的x/y坐标系以45°偏振，因为整个设计过程取决于具有该偏振的入射光。然后，该线性偏振的未对准将产生过度的实验误差。进行两步骤过程，以将光栅和入射偏振相互对准：

线性偏振器与光学台的对准：使用Glan-Thompson线性偏振器来使激光线性偏振。光学台的平面被用作实验的参考坐标系。使用在实验中采用的相同商用旋转波片偏振仪，转动线性偏振器直到偏振仪揭示光以45°偏振为止，该偏振仪被推测本身已相对于偏振仪被安装在其上的台进行了很好的校准。

光栅与光学台的对准：光栅的轴本身应该与光学台的平面对准。在空间中散开的光栅级的平面为超表面光栅的取向提供了参考。光栅被放置在自由旋转的支架中，并且使用光圈来确保所有光栅级都在台上方一致的高度处。

制造缺陷对产生的偏振椭圆的影响

电子束光刻具有其自身固有的复杂性，这造成期望的结构(如在CAD布局文件中)和实际实现的结构之间存在大小不一致。通常，制造的结构比预期的大。由本公开中的结构赋予的相位是与大小相关的，因此相对于设计，将期望制造缺陷对在衍射级上观察到的偏振椭圆有显著影响。

鉴于这种影响，对于每种光栅设计，制造几个样品，这些样品要么在CAD中具有固定大小偏移(比所期望的小10nm、20nm或30nm)要么具有固定大小缩放因子(所有尺寸缩放85％、75％或70％)。记录来自所有这样的光栅的衍射级上的偏振状态。

分别针对四偏振光栅和四面体光栅，在图11和图12中示出从具有不同大小偏移和缩放的光栅记录的偏振椭圆。

可以看出，变化所制造的结构的标称大小对观察到的偏振椭圆有显著影响，这将是预期的。本文中呈现的数据源自对于四偏振光栅而言具有-20nm偏移和对于四面体光栅而言具有-30nm大小偏移的样本；这些样本产生最接近目标偏振的椭圆。

扩展结果

衍射级上的功率

关于测得的偏振椭圆的制表数据

超表面偏振测定法

本节讨论了使用超表面偏振光栅作为全斯托克斯偏振仪，即，作为允许基于四个通道中的每个通道上测得的强度来检测入射偏振状态的传感器。这些通道是在经过以45°取向的线性偏振器之后衍射到m＝-2、-1、+1和+2衍射级的光束。

光学装置的细节

在偏振测定法中特别重要的是用于校准的偏振光学器件的质量。毕竟，关于用于校准的偏振的不确定性使任何校准的偏振仪的最终准确性下降。当然，绝对偏振参考是罕见的[53]。可能，存在的绝对偏振状态参考是受量子力学选择规则的约束而呈现某种偏振状态的原子跃迁的那些。因此，在偏振测定法的领域中，经常通过与预先建立的偏振仪进行比较来评价偏振仪。

但是，建立了关于所使用的偏振光学器件的某种不确定性。

偏振器

基于膜的偏振器可能是最便宜的选择，并且使其本身适于大量生产。例如，对于可从卖方ThorLabs商业获得的膜偏振器(部件号LPVISE100-A)，部件规格声称强度消光比大致为8000。鉴于此，最初认为对于该项目的规格而言，这些将是足够的。然而，测试后，发现这些膜偏振器的强度消光比常常远低于1000，有时在数百量级。对于偏振测定法，尤其是目前考虑的基于超表面的偏振仪而言，这可能是一个重大问题。基本量是电场，它随强度的平方根变化。如果强度消光比在数百量级，则电场消光比在数十量级。这可能是不可接受的。

而膜偏振器依赖于固有材料二向色性，第二种偏振器技术依赖于双折射晶体材料。例如，Glan-Thompson(和Glan-Taylor)偏振器将两个双折射晶体一起夹在类似分束器的配置中。这二者被切割，使得一个线性偏振透射通过相对未衰减，而另一个全内反射。由于这里的偏振机制使用的是全内反射而不是人造介质所具有的某种性质，因此消光比可以高得多。例如，在所有偏振测定法和偏振状态测量中使用的主要偏振器(ThorLabs部件号GTH5M-A)具有指定的强度消光比100000。尽管本单元的消光比低于该值，但是它表现得明显好于相当的膜偏振器。

在本文中旋转线性偏振器的任何测量中，以及在测试超表面的偏振状态生成能力的所有测量中，使用以上提到的Glan-Thompson偏振器。

四分之一波片

在光学主题中，四分之一(和二分之一)波片通常被表示为数学对象，具有恰好

(或π)延迟的特殊性质。许多光学从业者常常忽略的微妙之处在于这种情况很少发生。波片制造涉及以波长尺度精确度研磨块体双折射晶体。

广义上，波片可以被分为或者零级或者多级。当在波片切割中制造晶体时[54]，晶轴之一与波片的预期传播轴对准。然后，在平面中，由于晶体的双折射，正交轴经历Δn的折射率差。在零级波片中，晶体的厚度由

给出，其中，δ是期望的延迟并且λ是设计波长。即，厚度可以是仍在波前上赋予正确的相位延迟的最小厚度。另一方面，在多级波片中，晶体的厚度

由给出，其中，N是波片的“级”。

较高级波片往往会较不准确，并且当然，具有随波长更高的延迟δ的色散。零级波片中的一些不准确可以通过检验制造其的手段来认识，在许多情况下，晶体波片的研磨应该被周期性地停止和开始，使得可以通过偏振测定仪器来监视延迟[54]。

因此，多级四分之一波片通常相对于期望延迟偏离十度或更多。试图在宽带上操作波片加剧该偏离。按经验，即使是零级波片也与期望延迟偏离高达3°-4°。

特别是在校准期间，可能期望精确地了解正在使用的偏振光学器件的性质。在目前情况下，只要相对于90°延迟的偏差小，就采用允许四分之一波片的缺陷的技术[55]。被设计用于感兴趣的波长(λ＝532nm)的零级波片符合该标准，并且照此，使用来自ThorLabs的零级波片(部件号WPQ10M-532)。使用该波片进行涉及转动四分之一波片的任何测量，特别是本公开中的校准和与RWP的比较。

其它偏振光学器件

最关键的偏振光学器件可以是在校准期间使用的主线性偏振器和四分之一波片。

当前装置中还涉及其它几种偏振光学器件。第一个是紧接激光输出之后的四分之一波片。激光源具有优先的线性偏振，因此***波片以便(粗略地)使源偏振圆化。这样，随着线性偏振器变化，功率变化被最小化。由于不需要用任何手段使这种圆化精确，因此可以使用大多数任何四分之一波片。ThorLabs部件号AQWP05M-600随手可得，是可见区域中的消色差波片，通过粗略手段估计其延迟在λ＝532nm处大致为75°。

最后，在超表面光栅后面使用偏振器。该偏振器相对于超表面光栅以45度角取向(尽管实际上，该角度可能是错误的，并且其潜在误差的影响可以被校准掉)。该偏振器的完整性远不如用于校准的偏振器的完整性那样重要。在一些实施例中，可能有必要具有类似偏振器的元件，如以下讨论的，以用于光栅作为偏振仪的功能。然而，如果这种类似偏振器的元件的消光比不是很高，则仍可以使用它，因为如果在校准和实际测量二者期间将相同的偏振器放在超表面后面，则偏振器的效果可能得以补偿。

因此，使用片偏振器(ThorLabs部件号LPVISE100-A)用于此目的。光栅级角度发散得足够快，以至于在不首先使用透镜准直衍射级的情况下使用厚的Glan-Thompson偏振器将带来技术挑战。因此，膜偏振器是理想的，因为所有四个级都可以穿过其1”的通光孔径。当然，每个都以非法向角度穿过，但是由于这些角度是恒定的，因此该影响也可以被吸收到校准中。

检测电子

在实际实验中，使用在设计波长(诸如，λ＝532nm)处强度呈线性的检测器或传感器可以是优选的。此外，如果不涉及快速偏振调制，则监视DC的强度就足够了。例如，在本公开中，具有可选放大方案的硅光电二极管可以是足够的。在一些实施例中，使用具有诸如大于1mm²或大于2mm²或大于5mm²或大于7mm²或大于10mm²之类的较大检测面积的检测器可以是优选的。具有较大检测面积的检测器的使用例如可以简单地对准光学元件。

特别地，本公开使用了Hamamatsu部件号S1223-01(具有3.6mm×3.6mm的有效面积的硅光电二极管)，大面积减轻了对准约束。

使用标准跨阻抗放大器放大来自四个光电二极管中的每一个的光电流。放大后的值由来自National Instruments的14位模数转换器(ADC)读取，通过USB串行传输，并且然后记录在PC上。鉴于测量(本质上，DC)的时间尺度慢，该配置的任何特定细节都不是至关重要的。

光束大小重新调整光学器件

尽管在本公开中未描绘或提及，但是具有大致50mm和25mm的焦距的两个常规透镜使光束腰在照射超表面之前收缩。当然，利用电子束光刻，存在对可以最终制造的超表面的大小的约束。由于用于偏振测定法的光栅为1.5mm×1.5mm，因此光束被收缩，使得其整个范围都可以驻留在所制造的超表面内部。优选地，即使光束随着偏振光学器件被旋转而四处移动，它也将保留在超表面的内部。

将光束大小重新调整透镜有意放置在修改光束的偏振的偏振光学器件之前。透镜可以具有某种固有的、修改偏振的应力双折射。如果这确实存在，则将它们放置在最终偏振光学器件之前可以使得这能够被忽略。

光栅之后的偏振器

本公开提出了用于超表面偏振光栅的设计方案，该超表面偏振光栅在被用规定的偏振状态照射时，可以在其衍射级上产生期望的偏振状态。通过偏振生成器和分析器的互易性，当光栅被反向使用时(即，光穿过光栅，然后穿过偏振器)，光栅也可以被用作偏振仪。

似乎光栅本身在不包括线性偏振器的情况下可以单独用作偏振仪。毕竟，如本公开中详述的，每个光栅级可以被认为是串联的二向衰减器和波片。然而，在没有线性偏振器的情况下，单单这些可能不足以形成全斯托克斯偏振仪。

如文中详述的，衍射级m可以被认为具有其自身的通过以下给出的特征琼斯矩阵：

为了更全面地了解衍射级的行为，包括其对部分偏振光和非偏振光的响应，注意力转向穆勒(Mueller)运算，即斯托克斯(而非琼斯)向量上的4×4矩阵算子的理论[5，7]。

相对于x/y坐标系以0°取向的二向衰减器的穆勒矩阵由以下给出：

其中，

和

是沿着x和y的振幅传输系数。也以这种方式取向的波片的穆勒矩阵通过以下给出：

这里，是波片的延迟。

然后，衍射级m的复合穆勒矩阵由以上两个矩阵的乘积M_m给出：

M_m给出了二向衰减器与波片的组合在衍射级m上的全偏振敏感行为。真正感兴趣的是第一行，这是指示对于给定的入射斯托克斯向量而言将在分析器的输出处测量到什么功率的一行。如果将四个这样的分析器放置在四个衍射级上，例如，m＝-2、-1、+1和+2，类似于这里比较的偏振仪，则可以立即写出仪器矩阵：

通过检查，明显的是，A的行空间不跨越

并且可以立即得出结论det A＝0。逆转是不可能的，并且该配置不能用作全斯托克斯偏振仪。

让我们替代地考虑偏振器被放置在二向衰减器/波片配置之后的情形。使偏振器能够相对于x/y呈一般取向角度，我们将该取向角度表示为θ。其穆勒矩阵为：

如果用以θ取向的偏振器的穆勒矩阵对根据以上的M_m执行左乘，则获得穆勒矩阵：

注意的是，该矩阵的第一行在其所有四个条目中都具有通常非零的分量。来自全都共享以相同取向θ的相同偏振器的四个这样的分析器的仪器矩阵：

存在和{δ_m}的合适选择，使得A′是可逆的。

逐步的校准过程

本部分详述了用于以非常谨慎的方式校准超表面偏振仪的校准过程。这里使用的过程可以被视为对[55]中提出的过程的修改。

线性偏振器

遵循[55]，可以写出用其列来表示的要确定的仪器矩阵：

在该第一校准步骤中，入射到超光栅偏振仪上的偏振由单个线性偏振器(Glan-Thompson)设置。当线性偏振器以角度θ取向时，在假定入射光束的功率为一的情况下，它产生通过给出的斯托克斯向量。然后，通过给出强度向量(即，在四个光电二极管上测得的强度的列表)：

随着入射线性偏振变化，可以记录四个通道中的每个通道上的值。我们可以通过入射光束功率i_θ对这些值进行归一化并且对照θ进行绘图。

这产生了四个正弦曲线。通过将曲线拟合到式15的函数形式，获得仪器矩阵的前三列(即，和

)。

在图18中，示出了在校准的该第一阶段期间的光学装置。来自激光源的λ＝532nm的光被两个对准反射镜反射，并且穿过四分之一波片(如以上讨论的)以补偿激光源的优选线性偏振。它穿过两个光束缩小透镜，使得其空间范围可以适合在1.5mm×1.5mm超表面偏振光栅的正方形边界内部。在被Glan-Thompson线性偏振器偏振之后，光穿过超表面衍射光栅并被分离成许多衍射级，这些衍射级中的中央四个衍射级穿过固定的45°的线性偏振器，并且然后射在四个光电二极管上，这些光电二极管的值被放大并记录在计算机上。

线性偏振器被放置在机动化旋转支架中，并且其取向以5°的步长变化。在每一步，光电二极管摆到光束前面(阻挡光束)，记录光束功率，并且然后以自动方式往回摆出，以便获得入射光束功率i_θ。另外，对于每个θ，测量由直接在超表面之后的四个光电二极管报告的功率。

应当注意，此第一校准步骤将坐标系引入到偏振仪中——线性偏振器的θ＝0°点成为偏振仪的角坐标系的原点。这不需要必须与光学台或任何外部坐标系很好地对准。

已经发现，随着线性偏振器旋转，其在超表面样品上的轨迹以某种圆形轨道四处移动(如图19中)。有时，入射光束将靠近样品的边缘。这种“轨道运动”效应损害测量结果，并且将严重扭曲正弦校准曲线。为了使得能够自由地校正该效应，在将Glan-Thompson偏振器放置在机动化旋转支架中之前，将Glan-Thompson偏振器安装在翻转/倾斜支架中。然后，将旋转支架设置成以恒定角速率旋转，并观察以上提到的“轨道”效应，并校正偏振器的翻转/倾斜，直到该效应被消除为止。

没有可靠地识别这种效应的来源。可以是有可能的是，作为棱镜偏振器的Glan-Thompson可能会遭遇两个棱镜相对于彼此的某种未对准。因此，中间界面处将存在折射。

线性偏振器和四分之一波片

仅利用线性偏振器，容易地确定仪器矩阵的前三列。最后一列涉及具有某种手性的测试偏振状态。

圆偏振光具有通过[1 0 0 ±1]^T给出的斯托克斯向量，其中，±区分右旋圆偏振和左旋圆偏振。如[55]中所示，仪器矩阵的最后一列可以被写为

当暴露于每个圆偏振时，将获得所有四个光电二极管上的读数的(入射强度归一化的)值。然而，这带来了问题；如以上所详述的，至少在现成的波片的情况下，几乎不可能产生完美的圆偏振。

Azzam提出了解决方案[55]，只要波片的延迟接近四分之一波即可，即，只要它以小角度偏离于90°即可。相对于彼此以45°取向的四分之一波片和线性偏振产生近乎圆偏振。如果偏振器和波片二者被一起旋转90°，则将产生相同的近似圆形的椭圆偏振，但是旋转了90°。首先，对当暴露于两种配置时偏振仪的读数求平均的效果与可获得完美圆偏振时相同。

在Azzam的原始方案中，该平均值包含0°和90°处的两个数据点。在本公开中，可以采用0°和360°之间的许多这样的数据点，以便减小误差。

在实验中，如在图15中描绘的，线性偏振器和四分之一波片二者都放置在超表面光栅偏振仪前面的光束路径中。二者均利用自动旋转支架进行控制。当***四分之一波片时，应该确定其快轴的角位置。第二Glan-Thompson偏振器被放置在第一偏振器前面，并且第一偏振器被旋转直到光束的强度为零(偏振器交叉)为止。然后，四分之一波片被***在二者之间，并且透射通过偏振器-波片-偏振器配置的强度被最大化的角位置。这应该是快轴相对于第一偏振器成45°的位置。该位置是通过在许多角位置处测试透射强度并拟合三角函数以找到最大值的位置来确定的。

接下来，移除第二偏振器，使得保留以45°的相对角度取向的波片和第一偏振器。偏振器/波片组合以5°的增量接连旋转，并且在每种配置处，记录四个光电二极管上的强度。另外，还在每种配置中通过移动进出光束的光电二极管记录入射光束的功率i_θ。

对于四个光电二极管中的每一个，计算在每个θ处测得的归一化强度。然后，对这些一起求平均，以形成向量然后，将四分之一波片旋转90°，并重复以上整个过程，以获得向量

在图16中描绘了该数据。注意的是，对于入射的RCP光，PD#4上的强度非常低，而对于LCP，情况相反。这证实了，确实，衍射级之一按期望产生了近乎圆偏振光。其次，要注意，随着线性偏振器/QWP组合被旋转，每个光电二极管上的值都会变化。在一定程度上将预料到这一点，因为偏振不是精确圆形的。然而，会期望该变化本质上将是正弦的。尽管尽了最大的努力，我们还是无法解释这些曲线的歪斜形状；它可能与图14的轨道运动效应有一定关系。

仪器矩阵的编译

最后，可以组装仪器矩阵——前三列可以从仅线性偏振测量中提取，而最后一列可以参照式6根据和

计算出。

一致性检查

一旦已经确定了仪器矩阵A，就可以进行一致性检查，以确认其是否可能极其不准确的，这是一种健全性检查。

利用现有来自校准(包括来自利用线性偏振的第一步骤)的所有数据，当线性偏振器被旋转时观察到的在四个通道中的每一个上记录的原始的、未归一化的强度数据。对于每个线性偏振器取向θ，在校准期间记录强度向量执行计算

其理想地应该是具有DOP＝1的线性偏振状态。

在图17中，我们绘制了在校准期间使用的线性偏振状态的该计算出的DOP。可以观察到，它们与1的差异决不超过约0.5％。这意味着，校准的两个部分(单独利用线性偏振器以及一起利用线性偏振器和四分之一波片)在某种意义上是自相一致的。如果DOP不是物理的，则可能不能够相信所获得的仪器矩阵A。

部分偏振光的产生

概念基础

顾名思义，全斯托克斯偏振仪提供了整个斯托克斯向量的确定。尤其是，这使得能够分析偏振度p可以小于一的部分偏振光束。

部分偏振光可以被分为两大类[54]：

相干消偏振，其中光束由许多频率组成，每个频率都有其自己的与时间无关的琼斯向量。如果所有频率分量的琼斯向量对准，则p＝1，但是如果它们不同，则通常p<1。

非相干消偏振，其中如果琼斯向量的参数随时间变化，则即使光束由一个频率构成，光束也可以具有p<1。

在我们的实验中，使用呈Mach-Zehnder配置[57]的两个偏振分束器确定地产生部分偏振光，如文中所述。这里的消偏振机制属于后一类：光束(λ＝532nm的激光)非常接近单色。通过变化干涉仪的两个臂中的功率分布，通过组合彼此没有相位记忆的两个光束使光非相干地消偏振。该配置对应于在光纤中使用的被称为气隙偏振相关延迟线[54]的设备。

在构造这种干涉仪时的一个重要考虑是，路径长度差比正在使用的源的时间相干长度L_coh长，使得这两个臂可以真的没有彼此的相位相干。我们的激光源是λ＝532nm的相对便宜的二极管泵浦固态(DPSS)激光器。为了测试L_coh，光被从源传递到简单Michelson干涉仪中，并且变化臂之间的路径长度差，直到干涉条纹不再可见[58]。通过这种快速、定性的测量，得出的结论是L_coh在～1cm的量级。

如本公开中描述和图18中描绘的，当线性偏振器在第一偏振分束器前面被旋转时，分布在Mach-Zehnder干涉仪的臂之间的光量发生变化，并且偏振度从p＝0变化为1，如由函数关系|cos 2θ|指示的，其中，θ是线性偏振器相对于偏振分束器的轴的角度。

当线性偏振器在Mach-Zehnder干涉仪前面被旋转时，记录在超表面光栅偏振仪后面的四个光电二极管中的每一个上的值。使用以上获得的仪器矩阵A，可以确定入射斯托克斯向量从而确定其偏振度p。在文中，示出了当线性偏振器的角度从0°变化为90°时，测得的DOP的范围从一至在45°处的值1.2％。

由于

因此DOP包含每个单独斯托克斯分量的误差。测量p接近0表示特别严格的规格；为了测量p＝0，所有通道上的强度读数应该相等(针对每个通道的效率差异进行调节)。即，非偏振光在任何分析器向量上的投影都是相等的。因此，本公开中报告的低DOP说明了超表面光栅偏振仪的准确性。

实验评论

这里描述了这种测量的一些微妙之处以及遇到的困难。

完整数据集：为了完整起见，要注意，图3d中呈现的部分DOP数据示出介于0°和90°之间的线性偏振器取向的数据和在该范围内取的一部分数据点。实际上，LP角度以0.25°的增量变化，并且测量是在0°和360°之间的LP角度的完全范围内进行的。在图19中示出了该完整数据集。

对准灵敏度：确保图18中描绘的每个偏振分束器(PBS)的前面与入射激光束垂直。另外，要格外小心地对准干涉仪的两个反射镜(二者在翻转/倾斜支架上)，以便确保两个臂组合成单个共线传播的输出光束。

光束发散：显然，图18中描绘的分束器配置在其臂之间具有光学路径长度差；正是这种效果使它能够用作消偏振器。然而，由于来自望远镜的光束的小尺寸(应该小得足以完全适合在1.5mm×1.5mm光栅结构的空间范围内部)和不完美的光束重新准直(透镜的位置通过手动进行调节)的组合，因此光束在穿过干涉仪的两个臂时发散不同的量。作为这种效果的结果，来自干涉仪的两个臂的光束的大小不相等。

虽然该效果被最小化，但不能被真正地消除。从理论上讲，该效果是确定偏振度时的误差的主要来源。为了观察接近于零的DOP，来自两个臂的强度相等的光束应该发生干涉，以便产生非相干消偏振光束。然而，如果两个光束具有彼此不同的空间分布，则偏振度将在所得到的光束的区域内变化，并且测得的偏振度将是通常不为0的某个空间平均值。在图21中描绘了该效果。这可能是限制测得的最小DOP的主要贡献者。

当没有充分考虑所有这些影响时，测量到一些偏离结果。在图20中示出了这些中的一些。在某些情况下(诸如，a)，DOP变化不是关于45°对称的。在其它情况下(b)，DOP遵循正确的角度趋势，但是没有待在正确的界限内。可以观察到b中的DOP没有返回到期望值1，而在其它角度超过该值，这是不物理的。从理论上讲，这些错误曲线是从以上详述的效果的组合得出的。

误差传播和误差条

目的在于能够对利用基于超光栅的偏振仪计算的斯托克斯向量的每个元素设置不确定性界限。回想一下，斯托克斯向量是根据公式确定的。

如果元素A和

的不确定性是已知的，则有可能通过式17传播该不确定性，以便确定所有四个斯托克斯坐标的不确定性界限。

首先讨论如何确定A和的不确定性。

测得的强度的不确定性界限

作为四向量，的不确定性最普遍地由对称的4×4协方差矩阵来描述，该协方差矩阵不仅表征每个条目的自方差(self-variance)，而且还表征元素的方差之间的相关性。

在本公开中，在～0.5秒的持续时间内对每个光电二极管上的强度进行采样。然后，在该时间间隔期间，存在测得的电压的统计分布。

对于每个光电二极管i，计算该分布的标准偏差σ_i。这被认为是通道i的自方差。为了简单起见，协方差被认为是0，这可能是没有被很好地证明合理的假定。然后，将的协方差矩阵取为对角的。除了在例如激光源意外跳模的情况下之外，的变化通常非常小；通过完全忽略

中的误差有可能不太会影响误差条。

仪器矩阵的不确定性

尽管仪器矩阵A被用于确认斯托克斯向量但它本身也是被测量的量。4×4仪器矩阵中的元素本身通过校准过程来确定。该矩阵是16个统计量的列表，具有量化其不确定性的相关联的16×16对称协方差矩阵。

前三列即仪器矩阵的最左侧12个元素是从仅涉及线性偏振器的校准步骤中确定的。对于每个光电二极管，归一化强度被记录作为线性偏振器角度的函数。理论上，所得到的数据遵循针对每个光电二极管的三参数三角曲线。仪器矩阵的行i的前三个元素来自对来自光电二极管i的数据的拟合参数。

用非线性最小二乘回归拟合曲线，该非线性最小二乘回归连同优化的拟合参数提供了拟合参数的协方差矩阵的估计。该矩阵的对角线的平方根提供了拟合参数中的每一个的方差。非对角元素提供了光电二极管i的拟合参数的协方差。

尽管我们可以获得各个曲线拟合中的每一个的协方差矩阵，但该技术没有提供不同曲线的拟合参数之间的协方差的度量。因此，在不同拟合参数之间忽略协方差，并且保持每个拟合参数的自方差(例如，标准偏差)。

于是，做出如下近似：A的协方差矩阵为对角的。

接下来，对仪器矩阵的最右侧列设置不确定性界限。这部分是从校准中的使用四分之一波片和线性偏振器二者的步骤中获得的。对于标称的LCP和RCP光二者都进行该过程，参照图16。LCP和RCP的平均值的差成为仪器矩阵的第四列。每个光电二极管的电压随角度的变化被视为统计量，并且将第四列的每个元素的不确定性取为图16中这些变化的标准偏差。第四列的元素的最终不确定性是两条曲线的平均值之差，因此必须适当传播来自每条曲线的误差。这里尤其是忽略了协方差——可以选择性地为第四列生成协方差矩阵，但是没有明确的方式来估计第四列中的元素与矩阵的剩余部分的协方差。而且，这可能不是对这些元素的方差的最佳估计——从某种意义上说，图16中表明的强度变化是预料中的，而不是随机变化的结果。也许更好的度量将是曲线相对于正弦曲线(其预期的理论形式)之间的偏差。

总之，假定4×4仪器矩阵A的完整16×16协方差矩阵为对角形式。这也许是限制性假定。然而，总的来说，这仅仅是旨在提供偏振仪的精确度的数量级估计。(注意：一旦传播通过矩阵逆过程，A^-1的协方差矩阵通常不是对角的[59]。)

在图22中总结了以上信息。

测得的斯托克斯向量的误差

获得的是对中的第k元素和第l元素之间的协方差cov(I_k,I_l)以及A中的第ij个条目和第qp个条目之间的协方差cov(A_ij,A_qp)的估计——这二者都被当作对角矩阵。期望计算cov(S_i,S_j)，或更普遍地计算推断出的斯托克斯向量的协方差矩阵。

在偏振测定法的上下文中，该问题的明确解决方案首先在[59]中提出。在这里重现它。

通过cov(S_i，S_j)＝∑_α，βI_αi_βcov(D_iα，D_iβ)+∑_k，lD_ikI_jlcov(I_k，I_l) (18)

给出

的协方差矩阵。

α、β求和是对α＝[1，4]和β＝[1，4]的所有组合进行的，对于k、l求和同样如此。这里，D＝A-1。通过[59]在方阵的情况下给出其协方差矩阵，

其中，是A的第ij元素的自方差(假定A具有对角协方差矩阵)。

通过检验式18的对角元素，可以将对计算出的斯托克斯参数设置误差条。可以使用所获得的全协方差矩阵将误差传播到从斯托克斯参数得出的量。

得出的量的误差

在本公开中，关于根据斯托克斯向量

得出的若干量给出了数据。为了完整起见，这里呈现的是基于对斯托克斯向量的全协方差矩阵的了解的误差传播公式。

偏振度：

因此偏振度的方差

在i≠j时，对于在1和3之间的i和j的值的所有独特对i,j取最后的和。σ²(Si)＝cov(S_i，S_i)。

方位角：偏振椭圆的方位角θ由

给出。然后，获得方差为

椭圆率：偏振椭圆的椭圆率角度∈由给出。获得其方差为

该表达式是直接从偏导数和误差分析得出的。这些值设置了这些量的误差条，并且利用了的全协方差矩阵。

应该注意，通过这些表达式的本质，某些值附近的误差比其它值大。这可以在本公开中的方位角和椭圆率的图中看到。在S₁非常接近0的区域中，方位角θ非常接近45°；由于用误差除以小量，这里方位角的误差条将更大。对于45°附近的椭圆率可以同样如此。

与商用旋转波片偏振仪(RWP)的比较

实验概述

在本公开中，进行了基于超光栅的偏振仪的性能与商用旋转波片偏振仪的性能的比较。具体地，使用ThorLabs#PAX5710VIS-T，可见频率、自由空间的旋转波片偏振仪。

在实验中，激光被两个对准反射镜反射，穿过低质量四分之一波片以便补偿激光的优先偏振，并且然后穿过以上提到的光束大小重新调整光学器件以将激光束收缩为适合在1.5mm×1.5mm超表面光栅内部的大小。这些特征是图23和图24共有的。然而，如以下所详述的，对于比较的不同方面，装置略有改变。

偏振度的比较

首先，比较偏振仪之间的DOP读数。如图23中描绘的，该装置包括在先前描述的Mach-Zehnder装置前面的在机动化旋转支架上的旋转(Glan-Thompson)线性偏振器(LP)。将超表面光栅偏振仪(i)置于光束路径中，并且生成并存储随机LP角度取向的列表。记录所有四个光电二极管上的强度测量，并且使用先前确定的仪器矩阵A，计算所得到的斯托克斯向量及其DOP。

超表面光栅偏振仪被用RWP(ii)替换。以相同的顺序访问相同的LP角度取向。RWP确定全斯托克斯向量，包括所测得的DOP，并且其被存储在计算机上。

在本公开中，计算通过两个偏振仪测量的DOP的差异，并且发现该差异的分布具有平均值μ＝0.6％和标准偏差σ＝1.6％。注意的是，在比较图线中，由于|cos 2θ_LP|曲线的形状，存在朝向高DOP的偏置。

椭圆率和方位角的比较

接下来，比较由两个偏振仪报告的偏振椭圆的性质。使用图24中的装置，除了替换Mach-Zehnder干涉仪的在机动化旋转支架上的零级四分之一波片(QWP)之外，该装置与图23中的装置基本相同。将超表面光栅偏振仪(i)置于光束路径中，并且生成并存储随机LP和QWP角度取向的列表。取向的列表被重新排序以优化行进时间。然后，LP和QWP分别访问这些角度取向中的每一个，并且计算所有四个光电二极管上的电压并通过使用A将其转换成斯托克斯向量。然后，计算方位角和椭圆率二倍角：

以及

考虑2θ和2∈，因为这些是来自庞加莱球的角坐标，并且是实际椭圆形的参数的两倍。

移除超表面光栅偏振仪并将RWP放置在它的为止(ii)。重新访问相同的角度集合，并且将由RWP报告的偏振参数存储在计算机上。

在本公开中，计算通过这两个偏振仪测量的这些量中的差异，并将它们作为统计分布来检验。发现对于方位角2θ，平均差为μ＝0.004rad并且标准偏差为σ＝0.046rad。对于椭圆率2∈，平均差为μ＝0rad并且σ＝0.015rad。对于单单θ和∈，这些量被与相乘。

装置改变的原因

在最一般的情况下，DOP、方位角和椭圆率可以全都同时变化。因此，对于偏振仪之间的最一般比较，LP/Mach-Zehnder配置之后应该是第二LP和QWP。这样，通过变化LP和QWP二者的角度，将生成和比较具有变化的总强度、DOP、方位角和椭圆率的任意偏振状态。

然而，要注意，包括Mach-Zehnder干涉仪以生成任意DOP向所确定的偏振椭圆增加了显著噪声。即使不接触任何东西，也注意到读数在秒的时间尺度内可以显著变化。当用例如指尖轻刷Mach-Zehnder的反射镜时，偏振椭圆将急剧变化。

在来自超表面光栅偏振仪和商用RWP二者的读数中注意到这种效应，并且在低DOP处这尤为明显。毕竟，DOP p量化了可以被认为是完全偏振的光束与完全非偏振的那部分的比率。因此，当试图确定低DOP的偏振椭圆的参数时，告知这种测量的功率是入射光束的功率的一小部分。因此，与非偏振背景相比，这更难测量，并且还更多地受测量中的噪声的影响。

因此，两个偏振仪之间的完全任意偏振状态的比较将对超表面光栅偏振仪的性能提出不公正的评价。由于偏振椭圆参数在两个偏振仪上都特别抖动，因此可能遇到该效应两次以上，因为RWP被视为绝对偏振参考。因此，比较来自不同数据集的DOP和椭圆率/方位角。图25和图26中分别呈现了来自这样两个数据集(有Mach-Zehnder和没有Mach-Zehnder)的完整参数。这些图中的在本公开图4a中被使用的部分被用虚线框突出显示。图25中的方位角/椭圆率的标准偏差实际上约为图26中的那些的两倍，而图26中测得的DOP全都约为1.0，如预料之中的。

数据后处理

这里记载了在本公开的图4中进行呈现之前对偏振仪比较数据集执行的后处理。

方位角偏移：在超表面光栅偏振仪的校准期间，线性偏振器的被标记为“0”的取向成为偏振仪的坐标系的原点。类似地，在RWP被校准时，它也被赋予坐标系。这些坐标系通常相对于彼此旋转一定角度，这被称为方位角偏移。这是由两个偏振仪报告的数据之间的方位角的恒定偏移。为了简单起见，从所有超表面方位角数据中减去由两个偏振仪报告的方位角的平均差。这可能不是最佳方案——本质上，这意味着超表面方位角数据被移位，以便确保偏振仪之间的方位角值的平均差为0。因此，方位角直方图的均值没有意义。更好的没有偏见的策略将是用RWP测量在LP处于0°时产生的状态，并且使用其方位角作为方位角偏移。然而，运行了许多校准，并且该附加步骤被省略。这可以被采用在呈现超表面光栅偏振仪的彻底误差特征的其它实现方式中。注意的是，该过程对偏振仪之间的椭圆率的比较没有影响。

RCP与LCP之间的区别：圆偏振的哪个旋向性被称为“右”或“左”最终是主观的区分。在一起涉及LP和QWP的校准步骤期间设置超表面光栅偏振仪“所称的”右(或左)；无论哪个被认为是“右”，都成为对于偏振仪而言的右。该约定在这两个偏振仪之间可以不同，其本身将表现为负椭圆率相关性而非正椭圆率相关性。如果存在这种情况，则将数据趋势反向，以对任意的区分进行校正。

删除具有特别高误差条的数据：在我们的实验中使用的(非常基本的廉价的)的λ＝532nm激光源的特殊之处在于，它易于时常跳模，从而产生输出功率的剧烈波动。由超表面光栅偏振仪进行的测量被在0.5s的积分时间内取平均值，并且如果这种情况发生的话则所得到的偏振测定测量被歪斜。由于测量是完全自动化的，因此没有在测量时识别这种情况以丢弃这些数据点的手段。替代地，这些点能够通过其特别大的误差条来识别。测量期间的波动产生

中的高误差，该高误差被传播到所测量的量。特别地，从数据中移除其在三个量(DOP、方位角、椭圆率)中的任一个中的误差是数据集的误差的平均值的三倍的任何点。

结果评论

本公开图4a中呈现的直方图到底是什么意思呢？正是各个数据点上的误差条量化了测量值的精确度(例如，在相同入射偏振的情况下测量的许多后续迭代内预期的测量值的范围)。然而，在某些情况下，可能预期这些误差条比其它误差条大(如以上讨论的)；即，例如方位角或椭圆率的误差条的大小部分地随方位角或椭圆率本身的变化而变化。在直方图中，考虑了测量值与(被当作的)真实值之间差异的统计分布。取决于测试点的偏振状态，这些分布可以被人为地加宽或缩窄。即，例如，如果我们集中于其方位角落入方位角精确度因此更高的区域中的偏振状态，则该分布将变窄。如果测量集中于其中例如方位角的精确度较小的区域中，则该分布将被人为地加宽，并且会说偏振仪较不准确。为了不带偏见，测量点应该在给定参数的整个范围内均匀分布，使得所有最佳情况和最差情况都被均匀地表示。如果是这样，则测量值和参考之间的差异的分布的标准偏差可以指示偏振仪对该特定量的精确度；均值指示使偏振仪相对于参考偏离恒定量的某种系统误差。

表I.来自偏振仪比较的准确性结果的比较

在本公开中，相对于作为RWP的被当作绝对偏振参考的那些来探索(稍微均匀地)DOP、方位角和椭圆率的所有可能值。然后，为了良好地近似，可以将这些差异的σ当作准确性的度量。

其结果在表I中列出，其中RWP的值从规格单(如此时在ThorLabs的网页上列出的)中获得。在对值进行比较时，应该记住，RWP的准确性的获得方式是未知的，因此，它们是否可直接比较是未知的。另外，RWP被当作绝对偏振参考。如果并非这种情况(当然不是)，它将增加超表面光栅偏振仪的感知误差。

这里提出的总观点是，尽管作为没有移动部件或块体偏振光学器件的设备，但超表面光栅偏振仪的准确性与RWP的准确性在同一范围内。通过进一步的优化和工程设计，这两个偏振仪无疑可以成为相当的。

偏振产生和偏振测定法的角度相关性

任何新的衍射光学元件引起的实际问题是角度相关性。在本公开中，提出了超表面偏振光栅，当已知的偏振状态入射时，该超表面偏振光栅可以生成特定的偏振状态。另外，光栅可以用作偏振仪。在本部分中，检验这些应用中的两者的入射角效应。

在最严格的意义上，由各个超表面亚波长元件产生的相移对于给定角度是有效的。然而，如将在下文中看到的，超表面关于角度具有令人惊奇的鲁棒性。

偏离法向入射对产生的偏振椭圆的影响

超表面被设计成使得在用45°线性偏振光照射时，可以在衍射级上产生期望的偏振状态。为了研究这种效应，执行图27中示意性示出的实验。光穿过相对于衍射光栅的坐标系以45°取向的线性偏振器(LP)。光栅以相对于光束的角度θ被绕其中心转动，并且利用商用RWP测量衍射级上的光的偏振椭圆。

针对产生偏振椭圆的四面体的光栅和产生+45°/RCP/LCP/-45°的光栅，对于在-40°和+40°之间的θ执行此测量。结果以各种形式在图28、图29和图30中呈现。

偏离法向入射对偏振仪校准和斯托克斯向量确定的影响

对误差分析方案的描述

利用以一个入射角入射的光束校准偏振仪；如果接着以不同入射角度使用，则所确定的斯托克斯向量将因此包含误差。这是与所有偏振仪有关的效应，包括旋转波片偏振仪，在旋转波片偏振仪中在旋转QWP上的入射角无疑会影响所观察到的延迟。

对超表面光栅偏振仪进行了一项小型研究，以确定其对角度相关效应的易感性。如果针对0°入射角校准了偏振仪，则终端用户可以意外地将设备倾斜多少并且仍然期望获得合理的准确结果呢？

考虑以下场景：其中，假设仪器矩阵从0°入射的校准获得，以不同的角度使用偏振仪。那么，在这种情况下，存在用户所应用的认为是正确的“感知的”仪器矩阵A_p，以及反映偏振仪的真实行为的“实际的”仪器矩阵A_a。如果用户以强度向量的形式进行观察，则它们将报告所测得的斯托克斯向量然而，实际上，斯托克斯向量为这意味着存在测量误差，该测量误差可以以向量形式表达为：

值得注意的是，误差本身是测得的强度的函数。那些测得的强度是实际入射偏振状态的函数。因此，因使用不正确的仪器矩阵(因为例如偏振仪的角度倾斜)而产生的误差具有偏振相关性。

以上的讨论提出了类似蒙特卡罗的误差分析方案。在图26中描绘了这种方案。可以从可能入射在偏振仪上的实际斯托克斯向量的集合

开始。使用设备的实际仪器矩阵(例如，给定倾斜θ处的仪器矩阵)，可以针对用户实际将观察到的所测得的强度向量的集合

的实际斯托克斯向量中的每一个进行计算。由于用户使用了不正确的、感知的仪器矩阵A_p，因此当分析这些所测得的强度时，他们将计算出感知的斯托克斯向量的集合当然，如果A_p＝A_a，则用户将重现实际的斯托克斯向量，但是通常并不是这种情况，并且可以通过将

的元素与的元素(图26)进行比较来分析偏振仪的误差。存在用于量化这种误差的许多可能度量。

该误差分析方案表明了如何通过离开其校准条件的偏振仪来测量给定的斯托克斯向量。通常，整个斯托克斯向量将变形，因此测量给定光束的用户不仅观察到不同的偏振椭圆，而且还报告不同的光束功率或出现人为偏振或消偏振的光束。

超光栅偏振仪的入射角误差分析

A_a和A_p之间的差异可能来自任何误差来源，但在当前情况下，期望检验入射角的影响。为此，使用在本公开中广泛详述的方法在法向入射时对偏振仪进行校准。然后，在其它几个入射角处进行校准(将超光栅安装在旋转支架上，类似于图27中示出的实验)。特别地，在5°、10°、15°和20°的入射角处进行校准。

在现实情形下，用户将认为他们正在使用来自校准的仪器矩阵，即，A_p＝A_0°。但是，如果设备以角度θ倾斜，A_a＝A_θ。对偏振仪进行校准的所有入射角执行以上详述的分析。考虑了模拟的输入偏振庞加莱球的表面上的点的均匀采样。(在更一般的分析中，也将包括球的整个体积以应对部分偏振的输入)。

进行了上述分析；在图32a-c中描绘了结果。从或多或少地对庞加莱球的表面进行采样(图32a-c的左侧)的入射斯托克斯向量的集合开始。然后，在每个角度θ处，使用图31中的方案计算将被报告的“感知的”斯托克斯向量在图32a-c中，针对每个角度的集合被绘制在庞加莱球上，并且使用几种度量来评估其相对于集合的误差。其中之一是

和

之间的偏振度(DOP)的绝对误差。每个角度的结果(包括整个集合的最大和最小DOP误差)被显示在图32a-c中，其中，DOP的误差通过绿色和红色之间的颜色尺度来表示，其中红色指示最高误差。

构成仪器矩阵中的行的斯托克斯向量经常被称为分析器向量，因为任何入射的斯托克斯向量被投影在这些向量上，以产生所测得的强度在图32a-c中也示出了与理想四面体并排的角度θ处的分析器向量(仪器矩阵A_θ的行)。

讨论/结论

从其结果在表I中详述的先前研究中，对于法向入射偏振测定法了解了所测得的偏振椭圆的DOP、方位角和椭圆率的不确定度。为了评估偏离法向入射对偏振测定性能的影响，可以将(图32a-c中显示的)每个量的误差的σ与精确度(表III中)进行比较。即使在5°未对准的情况下，误差也超过了在法向入射时测得的不确定性，但不太多(对于DOP为6％与1.6％，对于方位角为2.96°与1.32°，并且对于椭圆率为1.59°与0.43°)。然后，定性地，偏振仪可能遭受5°或更小的偶然未对准，并且仍提供合理的准确性，其中某些偏振状态将产生特别高的误差(在图32a-c中的红色区域周围聚集)。

尽管已经参考本公开的特定实施例描述和图示了本公开，但是这些描述和图示并没有限制本公开。本领域的技术人员应该理解，在不脱离如所附权利要求所限定的本公开的真实精神和范围的情况下，可以进行各种改变并且可以替换等同物。图示可以不必按比例绘制。由于制造工艺和公差的原因，本公开中的艺术表现形式与实际装置之间可能存在区别。可以存在未具体图示的本公开的其它实施例。本说明书和附图将被视为是说明性的而非限制性的。可以进行修改以使特定情形、材料、物质的组成、方法或过程适于本公开的目的、精神和范围。所有这些修改形式旨在落入所附权利要求的范围内。尽管已经参考以特定顺序执行的特定操作描述了本文中公开的方法，但是应当理解，可以在不脱离本公开的教导的情况下将这些操作组合、细分或重新排序，以形成等同的方法。因此，除非在本文中明确指出，否则操作的顺序和分组不是本公开的限制。

本说明书中引用的所有出版物、专利申请和专利均通过引用整体并入本文。