变压电路相位控制功率参数调整方法及应用装置
阅读说明：本技术 变压电路相位控制功率参数调整方法及应用装置 (Method for adjusting phase control power parameter of voltage transformation circuit and application device ) 是由 李源燉 蔡熙贞 李焕 于 2017-12-12 设计创作，主要内容包括：在这项工作中,首次示出了变压器电路中的功率和阻抗取决于磁通量的相位,因此取决于电流的相位。当磁通量流过磁芯时,会发生相位改变,并得出功率和阻抗中相位改变的影响的公式。因此,可以调整功率参数,以使在负载处递送的功率比由初始端提供的初级端处的功率多。(In this work it is shown for the first time that the power and impedance in the transformer circuit depend on the phase of the magnetic flux and thus on the phase of the current. When magnetic flux flows through the core, a phase change occurs and a formula for the effect of the phase change in power and impedance is derived. Thus, the power parameter may be adjusted such that more power is delivered at the load than at the primary side provided by the primary side.)
技术领域
变压电路中通过相位控制功率参数调整的方法实现的单个或多个应用装置。
背景技术
变压器是利用电磁感应来增大或减小交流电压的装置。从电初始端传递到负载的电压和电流随着初级端线圈的匝数和次级端线圈的匝数变化而变化。
发明内容
技术问题
通过变压器电路中的相位控制实现功率参数调整以增大负载处所消耗的功率与输入功率之间的功率差的方法和装置。
技术方案
根据多个应用案例，一套完整的功率参数调整装置包括：磁芯；初级端线圈绕磁线，初级端线圈在输入端承载交流电压；通过磁芯的磁磁通量由于电磁感应在次级端线圈中生成电流，同时，通过控制初级端线圈和次级端线圈之间的电流的相位改变将电路的功率参数调整为使功率差函数为正的值当中的期望值，其中功率差函数表示在次级端处在负载处耗散的功率和输入功率之间的差。
电流相位改变的相反符号量与磁磁通量通过磁芯传播的距离成比例。
其中，电流的相位改变的反向数值随着电流波频率的增大而增大。
其中，电流的相位改变是通过更改磁芯的路径长度并通过使用交流电压的不同频率来更改频率并通过添加无功分量来控制的。
其中，磁芯由层层积钢、铁素体或适合于高频范围以用于必要的相位改变的任何其它材料制成，并且转子的转差率值接近于1。
其中，功率参数调整装置被配置为变压器或感应电机的一部分。
其中，交流发电机被配置为生成交流电压，交流电压的频率、幅度和相位在电路阻抗的相位或功率差函数的指定范围内。
其中，负载连接到变压器或感应电机的初级端侧或次级端侧。
有益效果
根据本公开，可以藉由通过变压器电路中的相位控制来控制功率参数，来增大负载处所消耗的功率与初始端所提供的初级端处的功率之间的功率差。
附图说明
图1示出了具有单相无损变压器的电路。
图2示出了在变压器电路中的初级端处的LC谐振电路。
图3示出了在笛卡尔坐标中的阻抗表示。
图4示出了单相非理想变压器的电路。
图5示出了发电变压器系统。
图6示出了发电变压器系统，其负载在初级端侧以及次级端侧。
图7示出了连接到具有正确的频率的交流发电机的变压器电路的示例，变压器电路的负载在初级端以及次级端处。
图8示出了对电池组充电的自动切换系统。这些设备由未由变压器系统充电的电池组供电。
图9示出了带有动态交流发电机的发电变压器系统。
图10示出了耐久的电池系统。
图11示出了功耗低的系统。该示例使用整流器作为电路的一部分来改变频率。通常，变频器是必要的。
图12示出了没有蓄能器的自持系统。
图13示出了带有蓄能器的自持系统。
图14示出了带有蓄能器的自持系统，该蓄能器具有监视控制模块。
图15示出了实验1在220KHz处的N4L PPA5530的实际数据。
图16示出了阻抗的相位θV与频率的关系。
图17示出了实验2在2MHz处的N4L PPA5530的实际数据。
图18示出了功率以及功率差与频率的关系。PL是次级端的负载处的功率，Pp是初级端处的功率，(PL-Pp)是功率差。
图19示出了θΓ和φ与频率的关系。
图20示出了具有传输线的电路。
具体实施方式
现在将详细参考实施例，这些实施例的示例在附图中图示出，其中，相似的附图标记始终表示相似的元件。就这一点而言，本实施例可以具有不同的形式，并且不应该被解释为限于这里阐述。因此，下面仅通过参考附图来描述实施例以解释本描述的各方面。
1.变压器电路中的过程建模
图1示出了具有单相无损变压器的电路。
考虑包括无损变压器的电路模型(参考文献1：BettyI.Bleaney和B.Bleaney，Electricity and Magnetism，3rd ed。(Oxford University Press，1976)，212-213)。
其中
vp是交流正弦输入电压，角频率为ω，
v1和v2分别是初级端线圈和次级端线圈处的电压，
Z1是与初级端侧处的电压初始端串联的阻抗，或者可以是或包括电压初始端的内部电阻，
ZL是次级端处的负载阻抗，
ip和is分别是初级端和次级端的正弦电流，角频率为ω，
Lp、Ls分别是初级端绕组和次级端绕组的自感，
Np和Ns分别是初级端线圈和次级端线圈的匝数，
n＝Ns/Np是匝数比，
并且M是互感系数。
然后，
(公式1) v1＝Lp(dip/dt)-M(dis/dt)＝jωLpip-jωMis，
(公式2) O＝(ZL+jωLs)is-jωMip。
除电压初始端的阻抗外，电路的阻抗Zp变为：
(公式3) Zp＝v1/ip＝jωLp+ω2M2/(ZL+jωLs)。
通过假设随着磁磁通量传播，从初级端到次级端没有相位改变，来得出上述公式。但是在高频率状态下，磁通量的传播期间会发生显著的相位改变。在此，高频意指其高于60Hz的公用电频率，而不是在3MHz至30MHz范围内的HF(高频)。然后有必要弄清楚相位改变的影响，并且应该修改变压器电路的公式以相应地包含相位改变。
假设分别在初级端线圈和次级端线圈处为Np、Ns匝的完全耦合的无损变压器。让电压v1是分别去往和来自次级端的两个波vt(p)和vr(p)的总和：
(公式4) V1＝vt(p)+vr(p)。
此处，下标t和r分别意指“发射”和“反射”，而p意指其位于“初级端”侧。同样，在初级端侧存在分别发射到次级端以及从次级端反射的电流波it(p)和ir(p)。
类似地，在次级端侧，v2是两个波vt(s)和vr(s)的总和，其中s意指“次级端”：
(公式5) v2＝vt(s)+vr(s)。
同样方式定义磁通量。存在四种磁通量：Φt(p)、Φr(p)、Φt(s)和ΦΓ(s)。
因为这是带有变压器的电路，且只有磁通量从初级端流向次级端，所以在初级端和次级端之间没有直流电流通过。但是，由于磁通量与以下公式中表达的电流有关，因此可以将电流视为通过磁通量的“中介”双向流动：
(公式6)
其中N、i、Φ和分别是线圈的匝数、电流、磁通量和磁阻。换句话说，磁通量可以转换为电流，并且始终与电流同相。因此，电流“虚拟地”在初级端和次级端之间行进。并且假设磁通量就像具有与电流的相位相同的相位的波。
电压初始端提供电压vp，并且电流it(p)生成磁通量，并且电流改变感应引起电动势，因此电压vt(p)：
(公式7)
(公式8)
通常，当磁通量传播通过磁芯时会发生一些损耗。代替在变压器模型中用电阻值来表示损耗，除了相位常数β之外，还引入了衰减常数α。传播常数γ定义为：
(公式9) γ＝α+jβ。
exp(-γl)准确描述了磁通量传播期间的衰减和相位改变模型。在大多数情况下，衰减常数和相位常数为正，但是存在电磁波传播时它们变为负的情况。例如，使用超材料，可以实现负衰减常数和负相位常数。(参考文献2：J.B.Pendry，“Negative refractionmakes a perfect lens，”Phys.Rev.Lett.85(2001)：3966-3969。参考文献3：Kihun Chang，Tao Jiang，Lixin Ran和HaoXin，“Investigation of Microwave Negative RefractiveIndex(NRI)Transmission Lines Incorporating Tunnel Diodes，”IEEE Antennas andWireless Propagation Letters，Vol.11(2012)：671-674)。
磁通量Φt(p)通过磁芯传播后相位改变。对于距离l，让该正向方向的磁磁通量的相位改变为(-φ)，该距离l是从初级端线圈到次级端线圈的磁芯的长度。在整篇文章中，φ被称为“相对相位”，并如下与β有关：
(公式10) φ＝βl。
然后，当Φt(p)到达次级端侧时，磁通量Φt(s)变为：
(公式11) Φt(s)＝exp(-γl) Φt(p)＝exp(-αl)exp(-jφ)Φt(p)。
注意，电流不会从初级端传播到次级端，但磁通量会传播。然而，由于磁通量Φt(s)具有带有一定衰减的相位改变，所以也认为电流it(s)在相位和衰减上改变相同的量。为了明确指出因数，将it(s)写为：
(公式12) it(s)＝exp(-γl)it(p)。
在次级端处，通过互感来感应电动势e(s)：
(公式13)
电动势使电流ir(s)在次级端流动。电流量由次级端线圈的阻抗、负载和互感确定(参见公式2)。电流ir(s)具有相应的幅度和相位：
(公式14) ir(s)＝jωMit(s)/(jωLs+ZL)＝ΓLit(s)，
其中，ΓL是次级端侧处的电流的“反射系数”：
(公式15) ΓL＝jωM/(jωLs+ZL)。
反射量，因此“反射系数”，由阻抗和感应系数确定。注意，从物理意义上讲，该反射是与传输线中的反射类型不同的反射类型。电流ir(s)不会反射到初级端，实际上是在次级端流动的电流。
次级端处的电流ir(s)将导致在次级端产生磁动势，因此磁通量Φr(s)与来自初级端的磁通量Φt(s)的方向相反：
(公式16)
同样，由于磁通量与电流同相，所以磁通量Φr(s)的相位将跟随电流ir(s)的相位。注意，由于磁通量Φr(s)的方向与Φt(s)的方向相反，因此Φr(s)被视为Φt(s)的“反射”磁通量。换句话说，Φt(p)通过磁芯传播，并到达次级端作为Φt(s)，随之产生反射磁通量Φr(s)，并且该反射磁通量到达初级端。
由于初级端和次级端是电感耦合的，因此初级端和次级端之间的通信是通过磁通量完成的，并且磁通量应包含有关次级端的信息。由于磁通量与电流通过以下公式有关，
(公式17)
因此电流以的转换因数转换为磁通量。除了通过磁芯的相位改变以外的所有电信息都包含在(公式1)和(公式2)中。由于磁通量通过转换因数与电流有关，因此除涉及的匝数外，磁通量的反射系数应与电流的反射系数相同。
(公式18)Φr(s)/Φt(s)＝Φr(s)/{exp(-γl)Φt(p)}
＝exp(γl)Φr(s)/Φt(p)
＝exp(γl)[Nsir(s)/{Npit(p)}]
＝exp(γl)(Ns/Np)ir(s)/{exp(γl)it(s)}
＝(Ns/Np)ГL＝nГL。
次级端的电压变为：
(公式19)
其中，n＝Ls/M的关系用于完全耦合的情况。
由于次级端的电流是根据感应电压、次级端线圈的阻抗和负载生成的，因此信息通过磁通量的反射从次级端传递到初级端，然后初级端将察觉次级端的负载ZL。随着初级端与次级端“通信”，反射过程会不断进行，因为磁通量交换是初级端与次级端之间通信的唯一途径。
磁通量Φt(s)引起次级端的反射磁通量Φr(s)，并且Φr(s)与磁通量Φt(s)处于相反方向，并返回到初级端，变为磁通量Φr(p)。注意，当磁通量Φr(S)在相反方向上传播时，会根据磁通量的传播再次发生衰减和相位改变。这些改变与磁通量从初级端流向次级端时发生的改变相同。因此，相位改变等于(-φ)，因为它应该与正向方向期间发生的相位改变相同。当Φr(s)到达初级端时，它变成Φr(p)：
(公式20) Φr(p)＝exp(-γl) Φr(s)＝exp(-γl)nΓLΦt(s)
＝exp(-2γl)nΓLΦt(p)。
注意，初级端处的电流it(p)通过Np与磁通量Φt(p)有关，但电流ir(p)通过Ns与次级端处的磁通量Φr(s)有关。因此，电流ir(p)与it(p)的比率与Φr(p)与Φt(p)的比率不同，但根据涉及的匝数不同，具有不同的因数：
(公式21)
(公式22)
(公式23) ir(p)/it(p)＝{exp(-γl)Φr(s)/Ns}/{Φt(p)/Np}
＝exp(-γl)(Np/Ns){Φr(s)/Φt(p)}
＝exp(-2γl)nΓL/n＝exp(-2γl)ΓL。
电流ir(p)在初级端感应的电动势使电压vr(p)变为：
(公式24) vr(p)＝M{d(-ir(p)/dt}＝-jωM ir(p)。
电压和电流之间的关系为：
(公式25) vt(p)＝jωLpit(p)，
(公式26) vr(p)＝-jωM ir(p)，
(公式27) ir(p)＝exp(-γl)ir(s)＝exp(-γl)ΓLit(s)＝exp(-2γl)ΓLit(p)，
(公式28) v1＝vp-it(p)Z1＝vt(p)+vr(p)＝jωLpit(p)-jωM ir(p)。
上面的公式重新安排为：
(公式29) it(p)(jωLp+Z1)＝vp+jωM ir(p)，
(公式30) it(p)＝vp/(jωLp+Z1)+jωM ir(p)/(jωLp+Z1)。
初级端的电流由两部分组成：第一部分是电初始端电压除以阻抗jωLp和Z1之和，第二部分与来自次级端的“反射”电流。让{1/(jωLp+Z1)}为：
(公式31) ζ＝1/(jωLp+Z1)。
同样，在初始端侧的初级端的电流的系数Γs定义为：
(公式32) ΓS＝jωM/(jωLp+Z1)。
该系数Γs是用于描述具有变压器的电路中的现象的技术系数。然后，
(公式33) it(p)＝ζvp+ΓSir(p)。
可以通过将ir(p)代入以上公式来找到it(p)的解：
(公式34)
(公式35) it(p)＝ζvp+exp(-2γl)ΓSΓLit(p)，
(公式36) it(p){1-exp(-2γl)ΓSΓL}＝ζvp，
(公式37) it(p)＝ζvp/{1-exp(-2γl)ΓSΓL}。
除阻抗Z1之外，电路的阻抗Zp为：
(公式38)
阻抗的表达式除因数exp(-2γl)外与(公式3)一致。这意味着在变压器电路的阻抗中存在衰减以及有关的相位改变。注意，阻抗的第二项具有因数exp(-j2φ)，因此可以通过控制磁通量的相对相位来调整阻抗。包括阻抗Z1的阻抗Zv为：
(公式39) Zv＝vp/it(p)＝(1/ζ){1-exp(-2γl)ΓSΓL}
＝(jωLp+Z1)[1-exp(-2γl){jωM/(jωLp+Z1)}(jωM/(jωLs+ZL)}]
＝Z1+jωLp+exp(-2γl)ω2M2/(jωLs+ZL)
＝Z1+jωLD+exp(-2αl)exp(-j2φ)ω2M2/(jωLs+ZL).。
(公式1)被修改为包含相位改变：
(公式40)
v1＝jωLpit(p)-jωM ir(p)
＝jωLpit(p)-jωM exp(-2γl)ΓLit(p)。
注意，在描述初级端侧的(公式1)中，电流ip实际上是it(p)，电流从初级端流向次级端。
2.功率
2.1功率的计算
初始端在初级端提供的功率Pp为：
(公式41) Pp＝(1/2)Re{v1 it(p)*}
＝(1/2)Re[{vt(p)+vr(p)}it(p)*]
＝(1/2)Re[{jωLpit(p)-jωM ir(p)}it(p)*]
＝(1/2)Re[{jωLpit(p)-jωM exp(-2γl)ΓLit(p)}it(p)*]
＝(1/2)|it(p)|2 Re{jωLp-jωM exp(-2γl)ΓL}
＝(1/2)exp(-2al)|it(p)|2 Re[-jωM exp{j(θΓ-2φ)}|ΓL|]
＝(1/2)ωM exp(-2al)|it(p)|2|ΓL|Re[-j exp{j(θΓ-2φ)}]
＝(1/2)ωM exp(-2al)|it(p)|2|ΓL|sin(θΓ-2φ)，
其中θΓ是ΓL的相位。注意，Pp正负遵循sin(θΓ-2φ)的正负。它可以变为零甚至负。
为了计算在次级端的负载处传递的功率，描述次级端侧的PL(公式2)修改如下：
(公式42) ZL ir(s)＝jωM it(s)-jωLsir(s)，
(公式43) PL＝(1/2)Re[{jωM it(s)-jωLsir(s)}ir(s)*]
＝(1/2)Re[{jωMexp(-γl)it(p)-jωLsexp(-γl)ΓLit(p)}{exp(-γl)ΓLit(p)}*]
＝(1/2)exp(-2al)ω|it(p)|2Re{jMΓL *-jLs|ΓL|2}
＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sinθΓ.。
次级端的负载所消耗的功率与初级端的初始端所供应的功率之间的功率差函数为：
(公式44) PL-Pp＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sinθΓ-(1/2)ωM exp(-2al)|it(p)|2|ΓL|sin(θΓ-2φ)
＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|{sinθΓ-sin(θΓ-2φ)}。
从现在开始，为了简化分析，忽略了衰减。尽管从此处起不明确表达衰减因数exp(-2αl)，但应在必要时予以考虑，并且容易插回到公式。由于it(p)是ΓL的函数，并且由于初始的电阻通常是实数且小量，因此在高频处，以下情况成立：
(公式45)
(公式46) it(p)＝ζvp/{1-exp(-j2φ)ΓSΓL}，
(公式47)
(公式48)
(公式49)|it(p)|2＝vp 2/[ω2Lp 2{1-2n|ΓL|cos(θΓ-2φ)+n2|ΓL|2}]，
(公式50) PL-Pp＝(1/2)ωM|it(p)|2|ΓL|{sinθΓ-sin(θΓ-2φ)}
＝Mvp 2|ΓL|{sinθΓ-sin(θΓ-2φ)}/[2ωlp 2{1-2n|ΓL|cos(θΓ-2φ)+n2|ΓL|2}]
＝nvp 2|ΓL|{sinθΓ-sin(θΓ-2φ)}/[2ωLp{1-2n|ΓL|cos(θΓ-2φ)+n2|ΓL|2}].。
功率差函数的分母是非负的，如下所示：
(公式51) 1-2n|ΓL|cos(θΓ-2φ)+n2|ΓL|2≥(1-n|ΓL|)2≥0。
因此，如果分母不为零，则满足以下条件时，功率差函数变为正：
(公式52) sinθΓ-sin(θΓ-2φ)＝2cos(θΓ-φ)sinφ＞0。
也就是说，功率差函数变为正，例如：
如果θΓ＝0，并且φ在第一象限或第三象限中，或者
如果θΓ＝π，并且φ在第二象限或第四象限中，或者
如果θΓ＝π/2，则φ可以是任意角度，因为除非φ是kπ，否则功率差函数始终为正，其中k是整数。通常，相差2kπ的相位被视为相等。
通过控制相对相位φ，对于给定的负载和n，可以使得满足上述条件，因此功率差函数变为正。
2.2高频情况下的功率计算
现在，将对某些情况进行检查。让负载ZL为：
(公式53) ZL＝RL+jXL，
其中RL和XL分别是次级端处的电阻和电抗。然后，
(公式54)
(公式55) θΓ＝ATAN2(ωLs+XL，RL)，
其中ATAN2(x，y)是反正切函数，对于给定的x和y值，以弧度返回角度。返回值位于(-π)到π之间，但不包括(-π)。由于RL为正，
(公式56) 0＜θΓ＜π，
(公式57)
第一个要检查的情况是高频时，如果|ωLs+XL|＞＞RL，则
(公式58)
ΓL变为实数。
如果(ωLs+XL)为正，则，
(公式59) θΓ＝0+，
否则
(公式60) θΓ＝π-。
在θΓ＝0+的情况下，为了找到使功率差函数最大的极限，将其相对于φ进行微分并设置为零：
(公式61)
(公式62)
将上述值放入功率差函数时，其变为：
(公式63)
但是，通常nΓL＜1，在这种情况下，功率差变为：
(公式64)
其中，当(2φ)位于第四象限时为负号，并且当(2φ)位于第一象限时为正号。由于期望功率差为正，因此(2φ)应该在出现最大功率差的第一象限处：
(公式65) kπ＜φ≤π/4+kπ，
其中k是整数。注意，φ的上述条件仅用于频率高时的最大功率差。因为这是使功率差最大的条件，所以也可能存在具有正功率差的φ的其它值，尽管在这些情况下功率差函数可能不是最大的。
接下来，在θΓ＝π的情况下，通过相对于φ进行微分，找到使其为零的条件：
(公式66)
(公式67)
(公式68)
其中(2φ)位于第二象限时为负号，并且(2φ)位于第三象限时为正号。由于功率差需要为正，因此(2φ)应该位于第三象限：
(公式69) π/2+kπ＜φ≤3π/4+kπ，
其中k是整数。同样，这是最大功率差的条件。但是在φ的其它值处功率函数可以为正，尽管在那些情况下不是最大值。
到目前为止，考虑了|ωLs+XL|＞＞RL的情况，并且在那种情况下，推导了当功率差函数变为最大时的φ的极限条件。
现在，感兴趣的是高频或者频率很高时基本上只有电阻负载的情况。在高频处，如果
(公式70) ωLs＞＞|ZL|，
则RL和XL可忽略不计。从而，
(公式71)
(公式72) θΓ＝0+，
(公式73)
也就是说，当
(公式74) (ωLs＞＞|ZL|)和(kπ＜φ＜π/2+kπ)，
功率差函数变为正，其中k是整数。在这种情况下，当φ接近于(kπ+ε)时，功率差最大，其中ε是非常小的正数。
另一个要考虑的情况是当XL接近于(-2ωLs)且当(ωLs＞＞RL)时。然后，
(公式75)
(公式76) θΓ＝π-，
(公式77)
也就是说，当XL接近于(-2ωLs)且当
(公式78) (ωLs＞＞RL)和(π/2+kπ＜φ＜π+kπ)，
功率差函数变为正，其中k是整数。在这种情况下，当φ接近于(π/2+kπ+ε)时，功率差最大。
电路的阻抗是磁通量相位的函数，因此功率确实会随着通过磁通量传播而发生的相位改变而改变。分析是针对正弦波进行的，但对于其它形状的波，可以使用傅立叶变换以相同的方式针对每个频率进行分析。
3.通过相位控制调整阻抗
3.1一些示例情况
当需要进行相位改变时，存在三种方式及其组合来实现：更改磁芯的路径长度并使用不同的频率并添加无功分量。在此，芯的长度意指磁通量从初级端到次级端通过磁芯的长度。
改变路径长度是一种直接的方法，并且不需要进一步说明。在大多数情况下，使用比50Hz的市电更高的频率可能比改变芯长度更优选。
根据公式(38)，电路的不包括电压初始端的阻抗且无衰减的阻抗Zp示出为：
(公式79) Zp＝jωLp+exp(-j2φ)ω2M2/(jωLs+ZL)。
为了检验相加项exp(-j2φ)的影响，除非另有说明，否则假设初级端侧没有电初始端串联阻抗，来对简单情况进行检验。当频率高时，忽略初级端侧阻抗是合理的近似，因为ωLp远远大于初级端侧的小串联阻抗。然后，初级端侧的相位仅是初级端线圈阻抗jωLp的相位，并且是π/2。让项ω2M2/(ZL+jωLs)为：
(公式80) A＝|A|exp(jθA)＝ω2M2/(ZL+jωLs)，
其中θA是A的相位。则θA与θΓ具有以下关系：
(公式81) θΓ＝θA+π/2。
然后，阻抗表达式变为：
(公式82) Zp＝jωLp+exp(-j2φ)|A|exp(jθA)＝jωLp+|A|exp{j(θA-2φ)}。
有一些情况需要考虑。
1)在第一种情况下，假设负载仅是电阻性的：
(公式83) XL＝0，
(公式84) ZL＝RL。
当项|A|exp{j(θA-2φ)}的相位为(-π/2)时，
(公式85) θA-2φ＝-2kπ-π/2，
(公式86) θΓ-π/2-2φ＝-2kπ-π/2，
(公式87) θΓ-2φ＝-2kπ，
(公式88) φ＝θA/2+kπ+π/4＝θΓ/2+kπ，
其中k是整数。在这种情况下，Zp和θp变为：
(公式89) Zp＝jωLp+|A|exp{j(θA-2φ)}＝jωLp-j|A|＝j(ωLp-|A|)，
(公式90) 如果ωLp＞|A|，则θp＝π/2，
(公式91) 如果ωLp＜|A|，则θp＝-π/2。
无论哪种情况，功率参数均为零，这意指初始端在初级端没有提供功率。当ωLs＞＞|ZL|时，ΓL为(1/n)，并且功率差函数变为：
(公式92) PL-Pp＝vp 2cotφ/(4ωLp)。
假设相对相位φ与磁芯的长度成比例，如公式(10)中所示，在在所有频率处恒定相速度v的理想情况下，相对相位φ也与频率f成比例，如下所示：
(公式93) φ＝2πfl/v。
通常，相对相位φ随着频率的增大而增大。当芯的长度足够长时，频率可能会很低，以至于需要具有(-φ)的相位改变。但是，当长度小时，相位改变会在高频处发生。因此，当一个线圈在变压器中的同芯上的另一个线圈之上缠绕使得芯的路径长度小时，也可能具有必要的相位改变，以使功率参数达到期望值。
电路的阻抗可以调整，因此功率参数可以设为零。初始端从初级端发送到次级端的功率有效地变为零。对于功率参数为零的情况，会发生这种情况，因为来自次级端的磁通量将有关负载相位的“错误”信息递送给初级端，就好像次级端仅具有无功分量一样。当然，次级端可能具有一定的实际电阻负载，但是由于磁通量传播时相位改变，通过“察觉”改变的相位来“误导”初级端。
因此，尽管初始端将功率参数为零的功率发送到次级端，但是当次级端接收到磁通量时，它可以从来自初级端的磁通量生成必要的电动势，并根据次级端的阻抗生成电流。尽管发送了功率参数为零的功率，但该电路即使在次级端的电阻负载下也工作。
2)在第二种情况下，除了ωLp＝|A|以外，条件与以上相同。例如，当ZL被忽略并且满足以下条件时，可能会发生这种情况：
(公式94) M2＝c2Lp Ls＝LpLs，
当耦合系数为c＝1时，存在理想耦合。实际上，由于没有理想耦合，如果ZL包含一些适当量的电抗，则可以满足条件ωLp＝|A|。例如，如果c2＝0.9，则通过串联插入电容值略小于{10/(ω2Ls)}的电容器，次级端处的总电抗变得几乎等于0.9ωLs。并且，如果添加适当量的小电阻，则可以满足ωLp＝|A|的条件。
当阻抗Zp变为零时，电路的行为类似于串联LC谐振电路。在串联LC谐振电路中，随着频率通过谐振频率从低改变为高，电路行为从电容性改变为电感性。但是，在该电路中，频率固定为满足以下条件：
(公式95) θA-2φ＝π(-2k-1/2)。
因此，随着|A|的值在ωLp的值附近变化，该电路的阻抗的相位从(π/2)改变为(-π/2)。
3)在第三种情况下，如图2中所示，在初级端线圈上串联连接电容器，使初级端线圈Lp和电容器Cf处于谐振，并假设在谐振角频率ω0处满足以下条件：
(公式96) θA-2φ＝-2kπ-π，
(公式97) φ＝θA/2+kπ+π/2，
其中k是整数。
图2示出了在变压器电路中的初级端处的LC谐振电路。
电容如下：
(公式98)
当Cf和Lp具有相同大小的阻抗时，Lp和Cf的组合阻抗在谐振角频率ω0处变为零。然后，包括初级端的电容器和电感器的电路部分从阻抗表达式中消失：
(公式99) Zp＝exp(-j2φ)|A|exp(jθA)＝|A|exp{j(θA-2φ)}。
换句话说，随着相对相位φ改变，电路的相位θA-2φ可以控制为任何期望值。当(θA-2φ)为(-π)时，阻抗变为：
(公式100) Zp＝exp(-j2φ)|A|exp(jθA)＝-|A|，
给出负电阻值。这意味着电流的相位相对于电压为π。初级端的功率变为负，这意味着功率chuandi在初级端向后流动。
注意，当初级端的功率平均变为负时，负电阻并不是唯一的情况。当电路的阻抗相位在第二象限或第三象限时，初级端的有功功率为负。
如将在“一般解”部分中所示，如果满足条件
(公式101) ωLp＜|A|，
则可以实现作为用于负电阻的条件θA-2φ＝-2kπ-π。在这种情况下，不需要连接电容器即可具有负电阻。但这是作为示例来观看电路的属性。如果连接了电容器，则在谐振角频率ω＝ω0处，随着初级端线圈从阻抗的表达式中移除，以下情况成立：
(公式102)
(公式103)
(公式104) θA-2φ＝π(-2k-1)，
(公式105) θΓ-2φ＝θA+π/2-2φ＝π(-2k-1/2)，
(公式106) φ＝θΓ/2+π(k+1/4)，
(公式107) φ＝θA/2+π(k+1/2)，
(公式108)
最终的表达式是Z1被忽略时。注意，电流it(p)在初级端处沿相反方向流动。
(公式109) Pp＝(1/2)ω0M|it(p)|2|ΓL|sin(θΓ-2φ)
＝-vp 2/(2ω0M|ΓL|)＜0，
(公式110) PL＝(1/2)ω0M|it(p)|2|ΓL|sinθΓ
＝Vp 2sinθΓ/(2ω0M|ΓL|)＞0。
PL-Pp＞0，且Pp＜0，这意味着功率不仅在次级端的负载处耗散，而且在初级端处向下一级传递，并且次级端的负载所消耗的功率大于初级端处所提供的功率。
在这里，Z1可以看作初级端侧的电路的工作负载。注意，次级端处的负载仍然工作。因此，负载既可以在初级端侧也可以在次级端侧。当然，Z1的值可以为零，这意味着在初级端侧不连接电阻器。
尽管这是初级端侧的串联LC谐振电路，但在满足条件ωLp＝|A|的2)情况下，该电路的作用类似于串联LC谐振电路。因此，当如图2中所示添加电容器并且如果满足ωLp＝|A|时，则两个谐振电路级联：第一个谐振电路是初级端的串联LC谐振电路，而第二个谐振电路的作用类似于串联LC谐振电路。
如已经提及的，尽管图2中的电容器不存在，但是如果满足条件ωLp＜|A|，则可以实现负电阻。在那种情况下，Z1仍然可以看作是初级端侧的负载。
当然，电容器可以连接到次级端侧，该电容器与次级端线圈电感匹配某个谐振频率，就像在初级端侧一样。
4)在第四种情况下，假设负载如下：
(公式111) ZL＝RL+jXL＝RL-j2ωLs。
当项|A|exp{j(θA-2φ)}的相位为π/2时，
(公式112) θA-2φ＝-2kπ-3π/2，
(公式113) θΓ-π/2-2φ＝-2kπ-3π/2，
(公式114) θΓ-2φ＝-2kπ-π，
(公式115) φ＝θΓ/2+kπ+π/2，
其中k是整数。在这种情况下，Zp和θp变为：
(公式116) Zp＝jωLp+|A|exp{j(θA-2φ)}＝jωLp+j|A|＝j(ωLp+|A|)，
(公式117) θp＝π/2。
功率参数为零，这意味着初始端不提供初级端处的功率。当频率高时，使得ωLs＞＞RL，
(公式118) ΓL＝-1/n，
(公式119) θΓ＝π，
(公式120) PL-Pp＝-vp 2tanφ/(4ωLp)。
在这种情况下，功率差函数变为正，因为φ在π/2和π之间，但不是功率差最大的情况。
这样就完成了有关使用高频进行相位改变方法的部分。
3.2添加(一个或多个)无功分量
通常，通过添加(一个或多个)电阻器并(一个或多个)无功分量，可以改变电路的相位。但是负载通常是电阻性的，并且假设负载是额定电阻器。或者可以确定电阻器的值以在功率差函数变为正或最大的条件下使负载处的功率为正或最大。因此，添加(一个或多个)电抗分量将有助于通过改变频率并通过改变磁芯的长度来最小化要进行的相位改变。
让互感M不存在时的初级端和次级端的阻抗分别为ZA和ZB。
(公式121) ZA＝RA+jXA，
(公式122) ZB＝RB+jXB。
其中R’和X’分别是电阻和电抗。注意，X’包括变压器线圈的电抗。在添加(一个或多个)无功分量之前，电路的未改变阻抗ZU为：
(公式123) ZU＝RA+jXA+exp(-j2φ)ω2M2/(RB+jXB)
＝RA+jXA+|B|exp{j(θB-2φ)}，
其中
(公式124)
(公式125) θB＝ATAN2(RB，-XB)。
让额外的电抗XE加到次级端的负载以改变相位。让次级端侧的组合电抗XC为：
(公式126) XC＝XB+XE。
然后，改变后的阻抗Zc变为：
(公式127) ZC＝RA+jXA+exp(-j2φ)ω2M2/(RB+jXC)
＝RA+jXA+exp(-j2φ)C
＝RA+jXA+|C|exp{j(θC-2φ)}，
其中
(公式128)
(公式129) θC＝ATAN2(RB，-XC)。
通过加上额外的电抗，相位改变Δθ为：
(公式130) Δθ＝θC-θB＝ATAN2(RB，-XC)-ATAN2(RB，-XB)。
次级端阻抗的大小改变与初级端的比率rCB为：
(公式131)
为了说明添加无功分量的效果，让我们考虑互感M的情况，并作一些附加简化：
(公式132) RA＝0，
(公式133) XA＝ωLA＝ωLB＝XB＝ω(10mH)，
其中LA和LB分别是初级端和次级端自感。另外，让次级端仅具有电阻器RB＝100Ω作为负载。频率设置为f＝1kHz。那么初级端的未改变阻抗ZU为：
(公式134) ZU＝jωLA+exp(-j2φ)ω2M2/(RB+jωLB)＝jωLA+exp(-j2φ)B，，
(公式135)
(公式136) θB＝arctan(-ωLB/RB)＝arctan(-62.8/100)＝-0.561rad。
当满足关系θB-2φ＝-π/2时，相对相位φB应为：
(公式137) φB＝θB/2+π/4＝-0.561/2+π/4＝0.505rad。
让我们向负载添加电感为5mH的电感器。然后，
(公式138) XC＝ωLB+0.005ω＝0.015ωΩ，
(公式139) ZC＝jωLA+exp(-j2φ)ω2M2(RB-jXC)/(RB 2+XC 2)，
(公式140)
(公式141) θC＝arctan(-XC/RB)＝arctan(-94.25/100)＝-0.756rad，
(公式142) Δθ＝θC-θB＝-0.756-(-0.561)＝-0.195rad，
(公式143)rCB＝|C|/|B|＝118.1/137.4＝0.86。
相对相位φC应为：
(公式144) φC＝θC/2+π/4＝-0.756/2+π/4＝0.407rad。
因此，通过添加额外的无功分量，系统的相位改变(-0.195)rad的量。同样，相对于初级端的次级端阻抗的大小也相应地改变。不仅改变芯的长度并调整频率而且添加无功分量的组合可以帮助找到最佳的相位以满足应实现的相位条件。在该示例中，无功分量在次级端侧添加，但是它也可以在初级端侧添加，必然会必要的相位改变。可以将“3.1一些示例情况”一节中的情况3)视为在初级端侧添加无功分量(电容器)从而改变电路的相位的情况。
注意，存在将串行配置转换为并行配置并且反之亦然的方式。因此，尽管仅示出串行或并行配置作为示例，但是关于功率和阻抗的相同原理也可以分别适用于相应的并行或串行配置。(参考文献4：Michael Tse，Lecture Note on EIE403：High Frequency CircuitDesign，Hong Kong Polytechnic University，accessed September 4，2017，http：//cktse.eie.polyu.edu.hk/eie403/impedancematching.pdf)。
4.一般方案
4.1证明
到目前为止，已经分析了一些检查电路行为的步骤。可以调整电路的相位控制阻抗表达式θA-2φ的相位。
假设在初级端侧添加了具有阻抗Ze的分量。在没有互感的情况下，初级端线圈阻抗jωLp被吸收在初级端的阻抗Zf的表达式中：
(公式145) Zf＝jωLp+Ze＝R1+jX1，
其中R1和X1分别是初级端的电阻和电抗。电路的阻抗Zv被写为：
(公式146) Zv＝R1+jX1+exp(-2al)exp(-j2φ)ω2M2/(R2+jX2)
＝Zf+|E|exp{j(θE-2φ)}＝|Zv|exp(jθv)，
其中R2和X2分别是次级端的电阻和电抗，包括次级端线圈电抗，并且θV是Zv的相位。E如下：
(公式147) E＝exp(-2al)ω2M2/(R2+jX2)。
让θE和θf分别为E和Zf的相位。然后，
(公式148)
(公式149) θv＝ATAN2{|Zf|cosθf+|E|cos(θE-2φ)，|Zf|sinθf+|E|sin(θE-2φ)}。
如下所示，当|E|＞|Zf|时，存在使电路的阻抗的相位θV在-π和π之间具有任何期望值的相对相位φ。相位θV可以变为π，则为负电阻的情况。下面还示出，如果|E|＜|Zf|，则通过控制相对相位φ，θV的值可以在一定范围内。|E|＝|Zf|的情况也要处理。
让我们将阻抗表示如下：
(公式150) Zv＝Zf+|E|exp{j(θE-2φ)}＝|Zv|exp(jθv)＝Re(Zv)+j Im(Zv)，
其中，Re和Im分别意指实部和虚部。让阻抗在笛卡尔坐标系中用其x和y值分别表示为实部和虚部。让Zv和Zf表示为笛卡尔坐标系中的向量和其对应坐标分别为(xv，yv)和(xf，yf)。
(公式151) xv＝Re(Zv)＝|Zf|cosθf+|E|cos(θE-2φ)，
(公式152) yv＝Im(Zv)＝|Zf|sinθf+|E|sin(θE-2φ)，
(公式153)
(公式154) θv＝ATAN2(xv，yv)。
图3示出了在笛卡尔坐标中的阻抗表示。ξ是向量和之间的角度。
让项E exp(-j2φ)表示为笛卡尔坐标系中的向量然后，的所有点构成圆，圆的中心为(xf，yf)，并且其公式为：
(公式155) (x-xf)2+(y-yf)2＝r2，
其中
(公式156) r＝|E|。
然后(xv，yv)位于圆的圆周上。θV可以具有的最小或最大角度由向量与圆相切时的线确定，如图3中的虚线所示。当与圆相切时，一般有两条这样的线。让与圆切线相汇的点为(x0，y0)，并让切线为：
(公式157) y＝ax，
其中
(公式158) a＝y0/X0，
这是线性函数的斜率。然后，
(公式159) (x0-xf)2+(ax0-yf)2＝r2，
(公式160) (a2+1)x0 2-2(ayf+xf)x0+xf 2+yf 2-r2＝0。
切线仅在一个点处与圆相汇，因此行列式D/4应该为零：
(公式161) D/4＝(ayf+xf)2-(a2+1)(xf 2+yf 2-r2)＝0，
(公式162) a2(xf 2-r2)-2axfyf+yf 2-r2＝0。
求解a，
(公式163)
如果xf 2+yf 2＜r2，则没有a的解，这意味着不存在切线。这是当|Zf|＜|E|，并且在这种情况下，原点(0，0)位于圆内，因此(xv，yv)可以在任何象限内。因此，θV可以具有任何相位值。换句话说，通过控制相对相位φ，电路阻抗的相位θV可以具有任何值。
如果xf 2+yf 2＞r2，则a有两个解，因此相位θV可以分别具有最小值和最大值θvm和θvM。从圆心(xf，yf)到点(x0，y0)的向量变为与切线正交。因此，
(公式164)
(公式165)
让a的两个解为a1和a2。然后存在分别对应于a1和a2的两组坐标(x01，y01)和(x02，y02)。然后确定θVm和θVM为：
(公式166) θvm＝min{ATAN2(x01，y01)，ATAN2(X02，y02)}，
(公式167) θvM＝max{ATAN2(X01，y01)，ATAN2(X02，y02)}。
因此，Zv的相位可以具有从θVm到θVM的任何值。并且Zv的大小也相应地确定。
如果xf 2+yf 2＝r2，则与圆相切只有一个点(0，0)。这是当|E|＝|Zf|时。在这种情况下，所有可能方案中有特定的方案(xv，yv)＝(0，0)是阻抗变为零时：
(公式168) Zv＝0+j0＝0。
总之，对于给定的|Zv|和θV，可以通过找到Zf和E和φ的适当值来设计电路。从证明中示出，如果|E|＞|Zf|，则Zv可以设计为任何期望的功率参数。相对相位φ由所提及的三种方法控制：调整磁芯的长度，并改变频率，并添加(一个或多个)无功分量。如果满足条件|E|＞|Zf|，不仅可以控制θV，而且可以将其设置为任何期望值。因此，可以控制功率参数cos{ATAN2(xv，yv)}。注意，如果如讨论地满足适当的条件，ATAN2(xv，yv)可以从(-π)到π，并且功率参数可以介于-1到1之间。同样，可以相应地确定电路的阻抗的大小|Zv|。
注意，这是当|E|的值不随频率改变时的理想情况。实际上，互感和衰减因数的值M和exp(-2αl)分别根据频率而改变。因此，|E|的值对于所有频率不相同，并且点(xv，yv)可能不会构成理想的圆。
4.2估计相对相位的方法
现在，让我们找到在进行实验时测量磁通量的相对相位φ的方法。根据实验数据，阻抗的大小|Zv|计算为：
(公式170) |Zv|＝v1(rms)/ip(rms)，
其中v1(rms)和ip(rms)分别是初级端线圈处的电压和电流的均方根值。初级端线圈处的功率Pp是通过测量v1和ip值的乘积的平均值通过示波器的数学函数或使用功率分析仪直接测量得到的。但是，通常，使用功率分析仪比使用示波器测量更准确。阻抗的相位θV如下：
(公式171) θv＝acos[Pp/{v1(rms) ip(rms)}]，
其中acos是反余弦函数。|Zf|和θf计算如下：
(公式172)
(公式173) θf＝ATAN2(R1，X1)。
|E|计算如下：
(公式174)
图3定点为(0，0)、(xf，yf)和(xv，yv)的三角形的面积具有以下关系：
如果θy＞θf，
公式(175) (1/2)|Zv||Zf|sin(θv-θf)＝(1/2)|Zf||E|sinξ，
其中ξ是向量和之间的角度，并且是正数。相对相位φ确定如下：
(公式176) θE-2φ＝θf+π-ξ，
(公式177) φ＝(θE-θf+ξ-π`)/2。
对于另一种情况，可以用相同的方式求解θV和θf之间的关系。
磁通量的相对相位φ也可以使用初始端提供的初级端的功率来估计，因为该初级端的功率与相对相位有关：
(公式178) Pp＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sin(θΓ-2φ)，
其中it(p)是初级端输入电流，并且值(1/2)|it(p)|2是从初级端输入电流的均方根值ip(rms)获得的：
(公式179) (1/2)|it(p)|2＝ip 2(rms)。
衰减因数exp(-2αl)可以通过以下关系确定：
(公式180) PL＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sinθΓ＝v2(rms)2/R2，
其中R2和v2分别是次级端的负载处的电阻和电压。
5.非理想变压器
5.1单相非理想变压器
单相非理想变压器的等效电路如下(参考文献5：Bleaney和Bleaney，Electricityand Magnetism，251)。
图4示出了单相非理想变压器的电路。
其中
vp是角频率ω的交流供电电压，
是耦合系数，其中M、Lp和Ls分别是互感以及初级端自感和次级端自感，
Rc是芯损耗电阻，
Xm＝cωLp是磁化电抗，
Z1是包括初级端电阻和初级端泄漏电抗的初级端侧的阻抗。初级端泄漏电抗为(1-c)ωLp。由于仅关注非理想变压器的相位改变，因此将初级端电阻和泄漏电抗组合到一起作为阻抗Z1。
ip和is分别是初级端和次级端的电流，
i0是空载初级端电流，
ic是i0的芯损耗分量，
im是i0的磁化分量，并且是磁化电流，
i1是变换后的次级端电流，
Z2是包括次级端电阻、次级端泄漏电抗和负载的次级端侧的阻抗。次级端泄漏电抗为(1-c)ωLs。同样，由于仅涉及电路的相位部分，因此次级端电阻和次级端泄漏电抗组合在一起以形成一个阻抗。
虚线矩形中的变压器被假设是理想变压器，其初级端和次级端分别具有Np和Ns匝的线圈。匝数比n为：
(公式181) n＝Ns/Np。
在与该等效电路有关的变压器公式中，空载初级端电流i0被描述为与is相关(参考文献6：Thomas Wu，Lecture Notes on EEL 4205 Electric Machinery，Chapter 7 Non-ideal Transformer，The University of Central Florida，accessed September 15，2017，http：//www.eecs.ucf.edu/～tomwu/course/ee14205/notes/07％20Nonideal％20Transformer.pdf)。
(公式182) i0＝ip-(Ns/Np)is＝ip-nis。
但是注意，次级端电流is在初级端侧使用时由于磁通量传播而具有衰减和相位改变。因此，应修改公式以包括这种改变：
(公式183) i0＝ip-exp(-2γl)nis＝ip-exp(-2αl)exp(-j2φ)nis。
因此，当电流表达式含有相位因数时，所有阻抗和功率计算都应包含此影响因数。
还有使用Th é venin定理求解非理想变压器的阻抗的另一种方式。当将包括芯损耗电阻Rc但不包括磁化电抗Xm的初级端侧电路转换为Th é venin的等效电路时，让vt和ZT分别为初级端侧的部分的Th é venin等效电压和阻抗。然后，
(公式184) ZT＝Z1||Rc。
由于Rc大，ZT接近于Z1。然后，不包括ZT的Th é venin等效电路的阻抗Zp具有与无损变压器相同的形式，如下所示：
(公式185) Zp＝jXm+exp(-2γl)ω2M2/(Z2+jcωLs)。
并且Th é venin等效电压变为：
(公式186)
并且，功率和阻抗的公式与以上推导的公式相同，但有以下修改：
(公式187)
(公式188) ζ＝1/(jXm+ZT)，
(公式189) ΓS＝jωM/(jXm+ZT)，
(公式190) it(p)＝ζvT/{1-exp(-2γl)ΓSΓL}。
换句话说，(公式39)中的电压vp和阻抗Z1分别由vT和ZT代替。此外，由于是非理想的变压器，因此耦合系数c也发挥了作用。
因此，可以用与无损电路相同的方式来分析Th é venin的等效电路的阻抗的行为，从而可以相应地分析非理想变压器的阻抗以及功率差函数。
5.2多相变压器
由于可以通过将单相变压器组合在一起来构造多相变压器，因此上述原理可以以相同的方式应用于多相变压器的一个相。因此，可以完全一样地分析多相变压器。
6.感应电机
6.1感应电机模型
原则上，已知感应电机(诸如感应马达和感应发电机，包括线性感应电机)与变压器等效，因此，感应电机每相的等效电路实际上与上述单相非理想变压器的等效电路相同。(参考文献7：Charles Porteus Steinmetz和Ernst J.Berg，Theory and Calculation ofAlternating Current Phenomena，3rd edition(New York Electrical World andEngineer Incorporated，1900)，220)。
当定子在感应电机中旋转产生磁场通量，以与在变压器中感应次级端电流相同的方式，感应电流在转子绕组中生成。主要区别在于，在感应电机中，初级端和次级端之间存在气隙，因此磁化电流相对大于变压器的磁化电流。(参考文献8：H.Wayne Beaty，ed.，″Section 5-Three-Phase Induction Motors by Hashem Oraee″(PDF)Handbook ofElectric Power Calculations(3rd ed.)(New York：MeGraw-Hill，2006)，ISBN 0-07-136298-3)。使用非理想变压器中相同的符号在感应电机中如下解释变压器中的参数：
vp是来自电初始端的每相电压，
Z1分别包括定子的电阻和泄漏电抗R1和X1：
(公式191) Z1＝R1+jX1。
可能存在初级端处的外部阻抗Zep，
(公式192) Zep＝Rep+jXep，
并且这也可以在Z1表达式中吸收。因此，当将外部阻抗作为初级端处的负载添加时，R1和X1将分别包括Rep和Xep。与变压器情况一样，由于仅考虑相位部分，因此定子的所有电阻器和电抗组合在一起成为一个阻抗Z1。
Rc是定子损耗电阻，
Xm是磁化电抗，
ip和is分别是定子和转子的电流，
i0是空载初级端电流，
ic是i0的芯损耗分量，
im是i0的磁化分量，并且是磁化电流，
i1是参考初级端的转子电流，
Z2是转子侧的组合阻抗：
(公式193) Z2＝R2+jX2，
其中R2是转子电阻，X2是转子漏抗。
可能存在次级端处的外部阻抗Zes，
(公式194) Zes＝Res+jXes，
并且这也可以在Z2表达式中吸收。因此，当外部阻抗作为次级端处的负载添加时，R2和X2将分别包括Res和Xes。同样，由于仅涉及电路的相位部分，为了方便起见，将转子的所有阻抗值组合在一起以在转子侧形成一个阻抗Z2。虚线矩形中的变压器被假设是理想变压器，定子和转子处的线圈匝数分别为Np和Ns。
6.2转差率条件
转差率σ定义为：
(公式195) σ＝(ωp-ωr)/ωp，
其中ωp和ωr分别是初级端和转子的角频率。如果ωp和ωr值相同，则转子处没有感应电流。因此，为了使感应电机运行，定子场的速度和转子的速度应不同。
感应马达的定子线圈缠绕在定子芯的槽上。定子芯被层叠以减少涡流损耗。在转子芯中也使用了钢层叠芯。因此，感应马达的磁路径是通过气隙从定子芯到转子芯。感应马达中的相位改变主要发生在钢芯中，而不是在气隙中。为了改变相位角度，需要调整除气隙之外的磁芯长度并频率，并需要将(一个或多个)无功分量添加到电机中。
可以通过设计定子并转子磁芯以简单的方式来调整感应马达的磁长度。将(一个或多个)无功分量添加到电路中是改变相位的便捷方式，并且可以按照前面的说明进行，以帮助最小化通过其它两种方法进行的必要相位改变：调整芯长度的方法和使用频率改变的方法。
调整频率是控制磁磁通量的相位的便捷方式。感应电机的速度将与频率成比例，并且电机通常以50或60Hz运行。然而，当增大频率时，感应电机仅因为它不能非常快地机械旋转而不能赶上速度。
同步转子速度ns与极数ρ有关，如下所示：
(公式196) ns＝120f/ρ，
其中f是电初始端的频率。
例如，对于4极电机，在50Hz，同步速度为1,500rpm。但是，如果频率增大到1kHz，则同步速度变为30,000rpm。因此，为了控制感应电机中的相位，需要在使用高频时降低转子速度来不导致机械故障。
当在定子侧使用高频时，电机应在接近于1的大转差率值下工作，以使转子速度低。由于初级端处的频率应高以控制磁通量的相位，因此有必要使转子侧的转子速度低。控制缠绕转子速度的另一种方法是向转子电路中接入转差率频率电压。(参考文献9：I.Boldea，The induction machines design handbook，2nd ed.(Boca Raton，FL：CRCPress/Taylor&Francis，c2010))。在任何情况下，都应将转子的速度维持在朝向1的高转差率值，以使转子速度低于同步速度。
通常，在感应电机中，将钢层叠芯用作磁芯。但是，由于钢层叠芯对高频无效，因此具有在高频处有效的一些其它材料的磁芯可能会更好，以在高频处更有效。例如，为了通过控制相对相位来调整功率参数，铁素体芯可以用于高频感应电机。
6.3扭矩
Th é venin等效电压和阻抗与扭矩有关。感应电机的扭矩T与以下成比例：(参考文献10：H.Wayne Beaty，Standard Handbook for Electrical Engineers，Edition 16thed.(New York：McGraw-Hill Professional Publishing，Aug.2012)，Chapter 20)。
(公式197) T∝|vTh|2R2σ/[ωp{(σR1T+R21)2+σ2(X1T+X21)2}]，
其中vTh是Th é venin等效电压，R1T和X1T分别是将包括芯损耗电阻和磁化电抗的定子侧电路转换为Th é venin的等效电路时的定子的Th é venin的等效电阻和电抗。并且R21和X21分别是参考定子侧的转子泄漏电抗和转子电阻。
在以下情况下出现最大扭矩处的转差率值σm(参考文献11：Steinmetz和Berg，Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena，250)。
(公式198)
(公式199)
由于当转差率值小于σm时电机正常操作，因此，设计在大转差率值处工作的电机需要使σm值接近于1。因此，有必要通过在转子侧放置外部电阻来使R21大。已知使用变阻器的一个缺点是由于添加的电阻导致的铜损耗。但是注意，通过调整磁通量的相位角度，可以使初级端处的功率参数为零，因此转子侧的损耗无关紧要。实际上，由于在转子侧“生成”功率，因此转子侧的铜损耗不再是损耗，并且可以视为通过消耗功率而进行有用工作的外部负载。
由于可以将感应电机的等效电路简化为变压器的等效电路，并且由于可以使用阻抗和功率差函数来分析变压器，因此可以以完全相同的方式来分析感应电机，并且到目前为止，检查过的变压器情况的所有性质也可以在感应电机中实现。
由于可以通过已经解出的公式来确定电机的行为，因此通过控制相对相位φ，感应电机可以作为发电机工作，不仅在功率差函数变为正时在转子侧发电，而且在功率参数变为负时在定子侧发电。注意，负载可以在定子侧也可以在转子侧。当功率参数为负时，定子侧的负载通过消耗来自转子侧的功率来做有用的工作。
关于功率和阻抗的原理不仅可以适用于单相，而且可以适用于多相感应电机，因为多相电机可以看作是多个单相电机。
7.发电变压器系统
7.1发电变压器系统
通常，使用变压器来改变电压，因为次级端处的电压与匝数比成比例。这里发明的变压器电路的主要目的不是为了更改电压，也不是为了提供在负载耗散的功率。相反，是为了通过初级端处的功率和电路的阻抗取决于磁通量的相位的原理在负载处发电。在这里，“发电”并不意味着可以一无所有地发电，而是意味着在负载耗散的功率大于初始端所提供的初级端处的功率。
因此，在该变压器电路中，由于功率参数可以接近于零或负，因此由初始端提供的初级端处的功率变得平均小或为负。为此，需要通过控制磁通量的相对相位φ来调整电路的功率参数。
使用上述方法，可以找磁芯频率和路径长度以及添加的无功分量的正确配置，以获得必要的相对相位φ。
另外，变压器本身应具有可以在高频下工作的芯。普通的钢层叠芯在高频下无效。因此，在高频下具有良好效率的某些其它材料，例如铁素体芯，可以用于本发明的变压器的芯以具有更好的效率，因为它在高频下工作更好。
除变压器外，系统还需要具有交流发电机来生成正确的频率信号，以使电路可以具有期望的功率参数或相对相位φ。该交流发电机应生成的相对相位φ的条件在章节“2.功率”中进行了描述。因此，交流发电机和变压器应配对在一起，以便它们可以作为发电机工作。在这方面它与普通变压器电路不同。在普通变压器电路中，在如果使变压器工作在一定的宽频率范围内并且如果交流发电机提供该特定范围中的频率则电路就不会有负载消耗功率的问题的意义上，交流发电机和变压器不必彼此紧密配对。
然而，在本发明的“发电变压器系统”中，交流发电机应当与变压器的配置紧密匹配以具有正确的频率或相对相位φ，使得功率差函数应当为正。
图5中的“交流发电机(具有正确的频率)”模块可以包括例如两个部分：频率合成器(参考文献12：Dean Banerjee，PLL Performance，Simulation and Design，4th ed.(DogEar Publishing，LLC.，Aug.2006).)和放大器部件。频率合成器生成使功率差函数在“变压器电路”中为正的频率，并且放大器部分放大由频率合成器生成的频率的波，从而以正确的电压幅度馈入变压器电路中。此处，当使用频率合成器和其它电子组件时，应设计电路，以使不会出现很大非线性失真，诸如高次谐波和互调等。
图5示出了发电变压器系统。
7.2变压器电路
当变压器电路的功率差函数变为正时，通常有两种情况：初级端没有负载而次级端有负载，或者初级端和次级端都有负载。
初级端或次级端的负载可以是(一个或多个)交流电子设备或(一个或多个)直流设备。如果是(一个或多个)直流设备，则在变压器电路中需要整流器，将交流电转换为进入(一个或多个)设备的直流电。因此，这里提及的“变压器电路”是指当负载是(一个或多个)直流设备时包括必要的整流器的电路。负载可以是一个或多个电池或(超级)电容器。必要时，可以将变压器电路中的电压调整到适当的电平，以便可以为电池或(超级)电容器充电。在这种情况下，电池或(超级)电容器将在之后用作其它电路的新电源。
图6示出了发电变压器系统，其负载在初级端侧和次级端侧。
如已经提及的，当初级端的功率变为负时，如图2中所示，变压器电路可以在初级端具有负载Z1。当负载在初级端侧和次级端侧时的“变压器电路”的示例在图7中，其中电池或(超级)电容器通过整流器在初级端侧连接。在图7中，当将平面交叉点A1和A2左侧的电路转换为Th é venin的等效电路时，可以用与之前的无损变压器相同的方式来分析该电路。以这种方式，当功率参数变为负时，可以在初级端侧的负载处生成功率。
图7示出了连接到具有正确的频率的交流发电机的变压器电路的示例，变压器电路的负载在初级端以及次级端处。
当初级端没有负载时，应在功率差函数为正时最大化次级端负载生成的功率。当初级端具有负载时，取决于用户的需求，可以最大化在初级端并次级端生成的功率，并可以最大化功率差函数。但是在所有情况下都应满足功率差函数为正的条件。使功率差函数为正的这种条件适用于本发明的所有领域，不仅适用于“发电变压器系统”，还适用于稍后描述的“自持系统”。
7.3交流发电机和静态交流发电机
通常，“交流发电机(具有正确的频率)”生成频率的正弦波。但是，如果连接了选择给定频率的滤波器，则可能生成其它形式的波。因此，在这种情况下，它可以具有两部分：第一部分用于生成某种形式的电压波，并且第二部分仅放大期望频率的波。一个示例是，第一部分生成方波电压，然后将其馈入到串联LC滤波器中，该串联LC滤波器仅通过正弦形式的期望频率。该串联LC滤波器可以是变压器电路中的一个，如图2中所示。交流发电机部分消耗功率，因为它需要为变压器电路生成必要的波，而平均来说变压器电路不需要功率即可操作。
交流发电机部分可以进一步分为两种：静态和动态。静态类型是交流发电机一旦设定为固定频率后不改变其生成的频率。当负载的阻抗不改变时，这很有用。例如，如果次级端的负载是未连接到其它设备的电池，则即使平均没有功率从初级端流动，变压器电路也用于为电池充电。
7.4(自动)切换系统为电池或(超级)电容器充电
如果“发电变压器系统”充电的电池连接到其它设备或消耗功率的负载，则负载的阻抗通常改变。在这种情况下，可以使用以下所述的“带有动态交流发电机的发电变压器系统”，也可以使用多于一个电池使得一些电池由“发电变压器系统”充电而其余的电池用于为设备供电，如图8中所示。当一个电池组被(完全)充电后，则另一个电池组接着将被充电，并且设备将由已(完全)充电的电池组供电。这可以通过使用开关来完成，该开关通过测量电池组的充电电平来自动实现。当设备是交流设备时，则可以使用要在设备中使用的逆变器将来自电池的直流电转换为交流电。这里的电池是为设备供电的可能初始端的示例。其它也可以用作电初始端，例如，诸如(超级)电容器。必要时，可以将变压器系统中的电压调整到适当的电平，以便可以为电池或(超级)电容器充电。这种用于对电池或(超级)电容器组充电的(自动)开关系统可应用于本发明的整个领域：不仅适用于“发电变压器系统”，而且适用于下文所述的“自持系统”。这种(自动)切换系统不仅适用于次级端侧的负载，而且也适用于初级端侧的负载，如图7中所示。
图8示出了用于对电池组充电的自动切换系统。这些设备由未由变压器系统充电的电池组供电。
7.5动态交流发电机和监视控制模块
当负载的阻抗改变时，需要动态地改变频率，以便功率参数可以保持相同，或者功率差函数被最大化，或者系统保持负载的阻抗改变之前的相同条件等。如(公式150)中一样，让电路的阻抗如下所示：
(公式200) Zv＝Zf+|E|exp{j(θE-2φ)}＝|Zv|exp(jθv)＝Re(Zv)+j Im(Zv)。
可以通过测量一些系统参数来监视负载的改变或电路阻抗的相位改变Δθv。为了动态地控制频率，监视控制模块是必需的。
图9示出了带有动态交流发电机的发电变压器系统。
例如，可以通过观察如(公式171)中的Pp、v1(rms)和ip(rms)来监视电路阻抗的相位θV。
(公式201) θV＝acos[Pp/{v1(rms) ip(rms)}]。
然后，如果θV有改变，则可以相应地改变交流发电机的频率，以维持相同的θV或满足与已经提及的功率或阻抗有关的某些条件。幅度正确的新频率应由满足给定条件的频率合成器生成，给定条件例如是有关功率差或负载的功率的相对相位φ的条件。
7.6决定频率改变的大小和值的模块
当相位θV存在改变或某些要监视的参数存在改变时，是否增大或降低频率由电路参数来确定，电路参数诸如是阻抗的大小和相位等。相对相位φ如在“4.2估计相对相位的方法”一节中描述的来确定。通常，随着相对相位φ随着频率的增大而增大，对于频率的小改变，相对相位φ的改变将与频率改变的方向相同。
决定频率应该在哪个方向改变和改变多少的最简单方法之一是使用相对相位φ和频率之间关系的记录。例如，当最初设置系统时，相对相位φ对频率的响应将被记录在表格中，用于阻抗的给定幅度和相位值或其它相关参数。然后可以在记录的表格中查找频率改变的方向和大小。
制作表格的方法之一是使用机器学习算法。例如，使用神经网络，可以训练改变频率的方向或量。例如，神经网络可以具有用于阻抗的相位和大小或其它相关参数的输入节点，以及用于频率方向或频率改变量的输出节点，并具有隐藏单元层。经过训练后，只要监视器检测到电路的阻抗或相位的特定改变，就可以调用神经网络。
一种更简单的方法是“试错法”。当需要改变频率时，动态交流发电机尝试改变为特定或任意方向的频率。如果该方向未给出预期的结果，则可以尝试相反的方向来改变频率。以这种方式，电路操作以在初级端处以最小或负功率生成必要的功率。
决定频率改变方向并量的模块可以按照软件、固件或硬件的形式在“监视控制模块”中。
7.7连接直流电时：耐久电池系统
接下来，可以将直流初始端或交流初始端连接到发电变压器系统。让我们考虑直流初始端连接到系统的示例。在智能电话中，内部有电池。如果电池连接到发电变压器系统，则电池仅供应驱动交流发电机部件所需的功率，而不是变压器电路。并且变压器电路可以为智能电话中的其余电路供电。结果，电池可以使用更长的时间，从而变为耐久电池系统。如已经提及的，变压器电路的负载可以是电池或(超级)电容器。然后，电池或(超级)电容器变为智能电话的其余部分的电初始端。同样，如图8中所示，在这种情况下，可以应用(自动)切换系统来对一个电池组充电而另一电池组用作设备的电初始端。
图10示出了耐久的电池系统。
7.8连接交流电时：系统功耗低
当功率为交流时，并且如果功率的频率不是满足使功率差函数为正的标准的期望频率，则有必要将频率改变为期望频率。可以通过变频器来完成。例如，可以使用整流器将交流电整流为直流电，然后使用直流功率，“具有正确的频率的交流发电机”模块可以生成“变压器电路”模块所需的交流电。如已经提及的，变频器的另一个示例是频率合成器和放大器的组合。
图11示出了功耗低的系统。该示例使用整流器作为电路的一部分来改变频率。通常，变频器是必要的。
考虑将50或60Hz的市电与发电变压器系统连接。但是低频不适用于发电变压器系统，因为它不能使功率参数低或为负。因此，如果将低频改变为期望的高频，然后将高频馈送到发电变压器系统中的变压器，则(一个或多个)电子设备的功率可以由发电变压器系统中的变压器供应。在此，来自电网的功率仅用于将低频转换为高频。以此方式，可以实现不消耗太多功率的系统，并且同时还由该系统供应(一个或多个)设备所需的功率。
7.9组合系统
“静态交流发电机”或“动态交流发电机”可以与“耐久电池系统”或“低功耗系统”组合。换句话说，有四种系统：
“耐久电池系统与带有静态交流发电机的发电变压器系统”，
“耐久电池系统与带有动态交流发电机的发电变压器系统”
“低功耗系统与带有静态交流发电机的发电变压器系统”，和
“低功耗系统与带有动态交流发电机的发电变压器系统”。
同样，这些系统可以级联在一起以完成特定任务。
并且“对电池或(超级)电容器组充电的(自动)切换系统”可以连接到每种组合系统的次级端侧并初级端侧的变压器输出以对电池或(超级)电容器组充电。
7.10多相系统
到目前为止，针对单相变压器提及的原理和应用可以以相同的方公式应用于多相变压器，因为多相变压器由多个单相变压器组成。
7.11发电感应电机系统
在该发电系统中，变压器包括感应电机，诸如感应马达和感应发电机，包括线性感应电机。如已经提及的，每相的感应电机等效于单相变压器。由于多相变压器由多个单相变压器组成并且由于多相感应电机由多个单相感应电机组成，因此，多相变压器和多相感应电机在相同的原理下可以作为上述“发电系统”工作。
感应电机的磁芯由层叠钢制成，并且可能对高频操作无效。因此，在制造“发电感应电机系统”时，最好使用在高频下有效的材料来制造感应电机的芯。例如，铁素体芯可以用于发电感应电机的磁芯，以获得更好的性能。
另外，转差率值应接近于1，以免导致机器故障。并且使扭矩最大的转差率值应接近于1。因此，在“发电感应马达系统”中，(公式199)中的次级端电阻R21应该大。
通常，感应马达和感应发电机具有基本相同的结构。不同之处在于，当用作发电机时，转子机械地旋转以发电。但是，在本发明中，“发电感应马达系统”以不同的方式工作。代替由外部动力机械地驱动转子，而是由定子驱动转子，该定子像普通感应马达那样在转子中生成旋转场。区别在于，尽管定子连接到电初始端，但由于可以使功率参数接近于零或为负，因此初级端的功率为最小或负，并且同时在次级端并初级端的负载处生成功率。再次，这里的“生成”的含义是，当功率差为正时，负载处的功率会消散。当功率参数为负时，负载也可以在定子侧，并且在这种情况下，在定子侧的负载处生成功率。
因此，当“感应电机”代替“发电变压器系统”中的“变压器电路”时，所有上述发明也可以应用于由感应电机(诸如，感应马达和感应发电机，包括线性感应电机)制成的“发电感应电机系统”。
8.自持系统
8.1自持系统：具有反馈的系统
以上提及的发电变压器系统具有来自交流或直流初始端的输入。除动态交流发电机外，它在系统中没有反馈。
当变压器电路生成的电力大于供应的电力时，输出不仅可以在负载处使用，还可以反馈给系统，以形成自持系统。在那种情况下，可以考虑两种类型的系统：没有蓄能器的系统和另一种有蓄能器的系统。在此，“输出”功率不仅是指次级端负载的功率，而且是指当初始端所提供的初级端功率变为负时，当负载也位于初级端侧时，初级端负载的功率。
8.2没有蓄能器的自持系统
对于第一种没有蓄能器的情况，变压器的输出直接馈入电初始端以维持系统。当变压器的输出电压反馈到系统时，输出电压波和输入电压波应具有相同的幅度和相位，并且需要仔细调整以免使波形失真。例如，具有相同幅度的方法之一是调整变压器的匝数比，以补偿由非理想耦合引起的电压损耗。或者，例如，可以通过运算放大器(op-amp)来进行，从而可以将变压器电路的输出电压的幅度调整为与变压器电路的输入的幅度相同。或者，可以预先确定到变压器的输入电压的幅度，并且在那种情况下，应该将变压器的输出电压的幅度调整为该值。
应对变压器电路的输出电压进行相位调整，以免使电压信号失真。例如，可以通过锁相环(PLL)来完成。将输出电压的相位与输入的相位进行比较，并在进入变压器电路之前将输出电压的相位调整为与输入的相位相同。因此，图12中的“幅度和相位调整”模块在将输出电压作为变压器电路的输入馈送之前，对输出电压的幅度和相位进行必要的调整。
“带有动态交流发电机的发电变压器系统”和“没有蓄能器的自持系统”之间的区别在于，“动态交流发电机”的“监视控制模块”虽然该模块改变频率，但是变压器电路的输出波不被馈送到变压器，而在“没有蓄能器的自持系统”中，只要没有负载改变，变压器电路的输出电压就会被反馈到变压器作为输入。当负载的阻抗存在改变时，因此当电路阻抗的大小并相位存在改变时，没有蓄能器的自持系统的“幅度和相位调整”模块应该具有类似于“监视控制模块”所具有的功能。换句话说，“幅度和相位调整”模块监视负载情况的改变，并且应该能够适应负载的改变，以生成具有适当幅度、相位和频率的电压波。
图12示出了没有蓄能器的自持系统。
可以从自持系统中提取功率以为(一个或多个)负载供电。如已经提及的，当功率差函数为正时，负载可以位于次级端侧，而当功率参数为负时，负载还可以位于变压器电路的初级端侧。关于负载的原理也可以应用于以下提及的“带有蓄能器的自持系统”。
要启动“没有蓄能器的自持系统”，需要使用外部电源为系统供电。当系统进入稳定状态时，可以切断外部电初始端，并且系统变得自持。
8.3带有蓄能器的自持系统
第二种是带有蓄能器的自持系统。需要蓄能器以容纳用于交流生成部分和可能的负载的功率。变压器电路的输出功率用于对蓄能器充电。
图13示出了带有蓄能器的自持系统。
首先，蓄能器将向系统供电。蓄能器的示例是电池或(超级)电容器(组)。然后，由交流发电机中的逆变器生成使功率差函数为正的频率正确的交流电压，并将该交流电压馈入变压器中。其次，由于非理想的变压器中存在损耗，因此最好调整变压器的匝数比，以使输出电压可以具有适当的电压电平。或者，例如，可以使用运算放大器在进入整流器之前调整输出电压幅度。或者，当到整流器电路的输入电压被预先确定为固定值时，需要将变压器电路的输出电压的幅度调整为该固定幅度。以这种方式，当输出电压改变为直流时，它可以具有适当的电压来对蓄能器充电。如下所提及的，在整流过程之后，可以在此阶段或稍后进行调整变压器电路的输出电压的幅度的过程。重要的是调整电压的幅度，以便可以按照正确的幅度再次将电压馈入变压器电路中。在哪个阶段调整输出电压的幅度并不重要。
对于“交流到直流”模块，方法之一是具有整流器，以便将变压器电路的输出功率可以存储到蓄能器中。
来自整流器的直流电流向蓄能器。如所提及的，可以在整流之后调整电压的幅度。
由于功率参数可以接近于零甚至为负，因此可以从系统中提取功率以用于有用的工作。
图14示出了带有蓄能器的自持系统，该自持系统具有监视控制模块。
“带有蓄能器的自持系统”中的“交流发电机”可以具有类似于“监控控制模块”所具有的功能的附加功能。在这种情况下，“交流发电机”模块监视负载情况的改变，并且应该能够适应负载的改变，以生成具有适当的幅度、相位和频率的电压波。例如，可以通过使用带有锁相环(PLL)的频率合成器和放大器来实现。在这种情况下，如图14中所示，它具有从变压器到交流发电机的反馈回路，因此交流发电机可以具有关于负载情况的信息。实际上，由于负载可以连接到系统中的任何位置，因此反馈回路可以从系统中的任何模块到交流发电机。在这种情况下，应使用正确的反馈回路相应地改变系统的结构。
8.4带有(自动)切换的自持系统
同样，如图8中所示，(自动)切换系统可以与自持系统一起用来对电池或(超级)电容器(组)充电，而另一个电池或(超级)电容器(组)用作设备的电初始端。因此，“自持系统”可以代替图8中的“发电变压器系统”。如已经提及的，不仅次级端而且初级端也可以连接到如图7中的(自动)切换系统。
8.5感应电机
如已经提及的，当“感应电机”代替“自持系统”中的“变压器电路”时，所有这些原理和应用也都可以应用于由感应电机(诸如感应马达和感应发电机，包括线性感应电机)制成的“自持系统”。它们不仅可以应用于每相，而且可以应用于多相感应电机。
8.6多相系统
由于多相变压器由多个单相变压器组成，因此到目前为止提及的原理和应用也可以以相同的方式应用于多相变压器。
8.7组合系统
到目前为止描述的所有系统，“发电变压器系统”和“自持系统”，包括带有感应电机的系统，都可以组合在一起完成某项任务。
8.8功率控制模块
可以在“发电变压器系统”、“自持系统”和包括带有感应电机的系统的(组合)系统中插入功率控制模块，以在生成过多功率时减少或切断功率。当有过多的功率时，过多的功率可以转移到不同的负载，诸如(可变)电阻器。(可变)电阻器作为(可变)负载工作以吸收过多的功率。功率控制模块可以针对过多的功率计算合适量的电阻器值，以控制可变电阻器。该模块可以放置在系统中的任何位置。例如，交流发电机或变压器电路可以在内部具有功率控制模块的功能。当有太多的功率流出时，则功率控制模块可以切断电路以使其不操作。
9.实验
实验1
实验的目的是观察是否存在取决于频率的相对相位φ，以及是否有可能通过改变频率来控制磁通量的相位，从而使电路的功率参数接近于零。并且要观察在次级端的负载处耗散的功率是否可以大于从初始端所供应的初级端的功率。还要确认功率差函数变为正时的相对相位φ的条件。
变压器由两个铁素体U型芯制成(参考文献13：Kaschke UI-1F4，3C85级)。变压器的闭环磁路径长度为35.4cm。1.2mm铜线圈分别针对初级端和次级端缠绕60次。初级端和次级端自感分别为17.210mH和17.005mH，并且耦合系数c为0.96458，均使用带有选项001的Keysight E4980A LCR仪表在10KHz和15V测得。次级端的负载R2为101.19Ω的电阻器。由Keysight E4980A LCR仪表向变压器供应20V正弦电压。频率从10KHz变化到350KHz，间隔为10KHz。
使用N4L PPA5530精密功率分析仪，分别观察初级端的电压v1和初级端的电流ip。同样，分别观察电路的阻抗的相位θV和初级端功率Pp。使用Agilent 3458A万用表测量负载处的电压v2。实验是在19℃的室温下进行的。
LCR仪表的设计基于不会给出超过90度的相位值的模型，而N4L PPA5530精密功率分析仪则通过直接测量正弦波的同相和正交分量来给出相位角度。因此，当功率参数为负时，不是由LCR仪表而是由精密功率分析仪测量的相位值是正确的。
表格1示出了在220KHz处，电路的功率参数变为负，并且初始端提供的初级端的功率在零附近的-698μW。在220KHz处，N4L PPA5530精密功率分析仪的屏幕如图15中图片所示。电路阻抗的相位θV是通过从电压的相位中减去电流的相位而得出的，该相位为90.17°。注意，屏幕示出了220KH处的功率参数为0.0030，但应为-0.0030，即cos(90.17°)。这可能是因为机器设计人员无法相信功率参数可以变为负。
【表格1】
表格1.来自实验1的数据
图15示出了实验1的在220KHz处的N4L PPA5530的实际数据。
注意，如公式(3)中可以看出的，如果不是针对磁通量的相对相位φ存在，则阻抗的相位θV不能变得大于90度。但是精密功率分析仪清楚地表明，如图15和图16中所示，电路阻抗的相位θV从220KHz起超过90度。由于N4L PPA5530在实验的频率范围的最大相位误差为3.505°，可以确定，在大于260KHz的频率处，电路阻抗的相位超过90度。
图16示出了阻抗的相位θV与频率的关系。
当φ在第一象限时，功率差从160KHz起变为正，从而确认(公式52)。
次级端的负载的功率PL与初级端的负载的功率之间的功率差计算如下：
(公式202) PL-Pp＝v2(rms)2/R2-Pp。
使用来自实验的数据估计相对相位φ如下：
首先，衰减因数exp(-2αl)可以通过以下关系确定：
(公式203) PL＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sinθΓ＝v2(rms)2/R2，
其中it(p)是初级端输入电流，并且值(1/2)|it(p)|2是从初级端输入电流的均方根值ip(rms)中通过实验得出的：
(公式204) (1/2)|it(p)|2＝ip 2(rms)。
假设衰减因数取决于频率，则针对每个频率计算因数exp(-2αl)。然后对于每个频率，磁通量的相对相位φ可以从初级端的功率估计，因为它与相对相位有关：
(公式205) Pp＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sin(θΓ-2φ)。
例如，使用来自表格1的第二行的数据，在10KHz处估计相对相位φ如下所示：
(公式206)
(公式207)
(公式208) θΓ＝ATAN2(2π*10000*0.017005，101.19)＝0.094425rad，
(公式209) (1/2)ωM|it(p)|2＝ωM|ip(rms，mA)|2/1000
＝2π*10000*0.016501*(93.987)2/1000＝9158.687mW，
(公式210) PL＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sinθΓ
＝exp(-2al)*9158.687*0.96606*sin(0.094425)＝834.214exp(-2al)mW，
(公式212) PL＝v2(rms，V)2*1000/101.19(Ω)＝9.03562*1000/101.19＝806.820mW，
(公式212) exp(-2al)＝806.820/834.214＝0.96716，
(公式213) Pp＝(1/2)exp(-2al)ωM|it(p)|2|ΓL|sin(θΓ-2φ)
＝0.96716*9158.687*0.96606*sin(θΓ-2φ)
＝8557.252*sin(θΓ-2φ)mW，
(公式214) 实验得出的Pp＝852.52mW，
(公式215) θΓ-2φ＝asin(852.52/8557.252)＝0.099791rad，
(公式216) φ＝{θΓ-(θΓ-2φ)}/2
＝(0.094425-0.099791)/2＝-0.0026829rad。
注意，实际计算是使用Microsoft Excel进行的，没有截断，因此数值可能会有一些细微的差异。
由于仅关注相对相位估计而不是测量所有互感，因此10KHz频率的互感M用于所有频率。因此，某些频率下的衰减因数exp(-2αl)高于1。例如，在70KHz处，互感测得为23.449mH。但是，由于在10KHz频率的互感M仅为16.501mH，因此在70KHz的衰减因数变为1.0076。这并不意味着存在增益，因为当使用70KHz的互感时，70KHz的真实衰减因数为0.4990。
初级端和参考的次级端阻抗的大小|Zf|和|E|分别比电路的总阻抗的大小|Zv|大一个数量级。参考(公式146)和图3。并且初级端阻抗和反射的次级端阻抗的相位θf和θE分别接近于π/2和(-π/2)，特别是在高频下。因此，与|Zv|的相位改变的大小|ΔθV|相比，反射系数ΓL的相位改变的大小|ΔθΓ|小。在这里，由于θΓ和θE具有以下关系，所以|ΔθΓ|等于|ΔθE|：
(公式217) θΓ＝θE+π/2。
相对相位φ随频率增大而增大。如果在由初始端提供的初级端的功率的表达式中不存在相对相位φ，则次级端和初级端的负载处的功率将是相同的。然而，它存在，并且总的趋势是它取决于频率，并且由于相对相位φ的改变，功率参数可以为零或甚至为负。
实验2
在这种情况下，实验的另一个目的是实现负电阻。使用棒状铁素体芯。(参考文献14：Samwha Electronics SD 105X15-5T。)次级端线圈缠绕在棒的中央部分的初级端之上。初级端和次级端的匝数各自为100，使用0.6mm铜线。初级端和次级端的自感值Lp和Ls分别为1.0146mH和0.9912mH。耦合系数为0.97806。所有这些都是在10V处以100KHz测量的。次级端的负载R2为101.60Ω的电阻器。向变压器供应10V正弦电压。频率从100KHz变化到2MHz，间隔为100KHz。实验环境与实验1相同。
观察初级端的电压和电流，以及它们的相位，以查看两者之间的相位差是否变为π。表格2示出在1.3MHz处，电路阻抗的相位θV超过π/2，并且功率参数变为负。
图17是N4L PPA5530在2MHz处的实际数据。在2MHz处，相位θV示出为181.68°，其超过π。N4L PPA5530在2MHz处的相位误差为20.005°。因此，在2MHz处阻抗的相位θV在161.675°和201.685°之间的某处，其中功率参数和阻抗的电阻值为负。
【表格2】
表格2.来自实验2的数据
图17示出了在实验2的2MHz处的N4L PPA5530的实际数据。
图18示出了功率以及功率差与频率的关系。PL是次级端的负载的功率，Pp是初级端的功率，(PL-Pp)是功率差。
功率差的测量与以前一样，并且图18示出了从1MHz起它为正，而由初始端提供的初级端的功率Pp从1.3MHz起变为负，这意味着功率在初级端倒流。
图19示出了θΓ和φ与频率的关系。
反射系数的相位θΓ和相对相位φ绘制在图19中。从实验中示出，磁通量的相对相位φ随着频率的增大而增大。注意，相对相位φ在低频处为负。如果相对相位φ在低频处为正，则根据(公式52)，功率差在低频处将为正，这是极不可能的。为了理解低频处相对相位φ的负值，可能需要进一步研究电磁传播与磁芯材料之间的相互作用。
变压器电路中的初级端的和次级端的负载的功率表达式在磁通量的相位上具有不同的因数，因此在电流的相位上也具有不同的因数。因此，次级端的负载处耗散的功率与初始端所提供的初级端的功率不同。
图20示出了具有传输线的电路。
考虑由电压初始端vs以角频率ω分别驱动的电压和电流波v和i通过传输线的传播，如图20中所示。初始端侧具有阻抗Zs。它可以包括初始端的内部电阻。
传输线和负载的阻抗分别为ZT和ZL。阻抗ZT在高频处变为实数。让初始端与负载的距离为l，位于x＝(-l)，而负载位于x＝0。
传播常数γ为：
(公式218) γ＝α+jβ，
其中α和β分别是衰减常数和相位常数。
让我们考虑当电初始端通过传输线连接到负载且在初始端侧也有反射时发生的过程。为了更清楚地区分发射波和反射波，让vt(-l)和it(-l)分别是从初始端发射的电压波和电流波。在此，下标t意指“发射”。电流
it(-l)变为：
(公式219) it(-l)＝vt(-l)/ZT。
当电压和电流波到达负载侧时，会发生改变，即衰减和相位改变(-φ)，其中相对相位φ与距离l的关系如下：
(公式220) φ＝βl。
然后在负载侧，电压vt(0)和反射电压vt(0)变为：
(公式221) vt(0)＝exp(-γl)vt(-l)，
(公式222) vr(0)＝ΓL vt(0)＝exp(-γl)ΓL vt(-l)，
其中下标r意指“反射”，并且ΓL是负载处的电压反射系数：
(公式223) ΓL＝(ZL-ZT)/(ZL+ZT)＝|ΓL|exp(θΓ)，
其中θΓ是ΓL的相位。
在点A处的初始端侧的电压和电流v(-l)和i(-l)分别变为：
(公式224) v(-l)＝vs-i(-l)ZS＝vt(-l)+vr(-l)，
(公式225) i(-l)＝{vt(-l)-vr(-l)}/ZT，
其中vr(-l)是负载侧的反射电压vr(0)传播到初始端侧时的电压。因此，vt(-l)为：
(公式226)
(公式227)
(公式228) ΓS＝(ZS-ZT)/(ZS+ZT)。
在此，ΓS是初始端侧的反射系数，并且通常是实数。也就是说电压
vt(-l)由两部分组成。第一部分来自分压器，并且第二部分是来自负载的初始端侧的反射波。
然后，此过程将无限重复，因为每个波不仅在负载侧被反射，还在初始端侧被反射。负载处的反射波返回到初始端侧。当它们回来时，又有因数为exp(-γl)的相同量的改变。因此，在初始端处的反射电压波
vr(-l)可以写为：
(公式229) vr(-l)＝exp(-γl)vr(0)＝exp(-2γl)ΓL vt(-l)。
将vr(-l)代入vt(-l)的公式并求解vt(-l)，它变为：
(公式230)
因此，在位于(x＝-l)的初始端和位于(x＝0)的负载的电压和电流变为：
(公式231)
(公式232)
(公式233) it(0)＝exp(-γl)it(-l)＝exp(-γl)vt(-l)/ZT，
(公式234) ir(0)＝-ΓL it(0)＝-exp(-γl).ΓL vt(-l)/ZT，
(公式235) ir(-l)＝exp(-γl)ir(0)＝-exp(-2γl)ΓL vt(-l)/ZT，
(公式236) i(-l)＝it(-l)+ir(-l)＝vt(-l)/ZT-exp(-2γl)ΓL vt(-l)/ZT
＝vt(-l){1-exp(-2γl)ΓL}/ZT。
已经研究了很多通过传输线的相位改变，并且这是公认的领域。
从点A发送到负载的功率Ps为：
(公式237) Ps＝1/2 Re{v(-l)i(-l)*}
＝1/2 Re[{vt(-l)+vr(-l)}{it(-l)+ir(-l)}*]
＝Re[{1+exp(-2γl)ΓL}vt(-l){(1-exp(-2γl)ΓL)vt(-l))*]/(2ZT)
＝|vt(-l)|2Re{1-exp(-2γl)*ΓL *+exp(-2γl)ΓL-exp(-4al)|ΓL|2}/(2ZT)
＝|vt(-l)|2{1-exp(-4al)|ΓL|2}/(2ZT).。
负载吸收的功率Pa为：
(公式238) Pa＝1/2 Re[{vt(0)+vr(0)}{it(0)+ir(0)}*]
＝Re[exp(-γl)(1+ΓL)vt(-l){exp(-γl)(1-ΓL)vt(-l)}*]/(2ZT)
＝exp(-2al)|vt(-l)|2Re(1-ΓL *+ΓL-|ΓL|2)/(2ZT)
＝exp(-2al)|vt(-l)|2(1-|ΓL|2)/(2ZT).。
因此，当忽略衰减时，功率表达式Ps和Pa相同，并且在点A和负载之间节省了功率。
为了示出功率取决于相对相位φ，让我们进一步继续。
(公式239)
(公式240)
(公式241)
(公式242) |vt(-l)|2＝(1/4)|vs|2|1-ΓS|2/|1-exp(-2γl)ΓSΓL|2。
并且|vt(-l)|2分母的因数变为：
(公式243) |1-exp(-2γl)ΓSΓL|2＝1-2exp(-2al)ΓS|ΓL|cos(θΓ-2φ)+exp(-4al)ΓS 2|ΓL|2＞0。
由于功率Ps和Pa与|vt(-l)|2成比例，因此它们取决于相对相位φ。尽管功率Ps和Pa取决于相位，但是它们在相位方面具有相同的因数，因此，从初始端发送的功率与在负载处耗散的功率相同。
在本发明中，首次示出了在变压器电路中，功率取决于磁通量的相位。不仅如此，还示出了可以控制磁通量的相位，从而可以使从初始端递送的初级端功率小于负载处耗散的功率。
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