阅读说明：本技术 气-液路耦合推进系统运载火箭的Pogo系统建模方法 (Pogo system modeling method of gas-liquid path coupling propulsion system carrier rocket ) 是由 赵旺 刘锦凡 谭述君 毛玉明 孙丹 朱春艳 狄文斌 于 2019-09-27 设计创作，主要内容包括：本发明公开了一种气-液路耦合推进系统运载火箭的Pogo系统建模方法,建立燃气发生器、涡轮、燃气导管、气-液型推力室等气体部件的二阶动力学模型,与建立的液路部分二阶动力学方程组装成完整的推进系统,从而建立起基于状态空间法的包含气路特性的Pogo状态空间模型。与传统的传递矩阵法相比,可以在计算推进系统频率的同时给出阻尼比；与传统的迭代法相比,状态空间法计算效率更高,而且不受迭代初值的影响,不会漏根；状态方程法可以考虑多模态、多耦合点、芯级与助推耦合作用等更多因素,结果更为精确。(The invention discloses a Pogo system modeling method of a gas-liquid path coupling propulsion system carrier rocket, which comprises the steps of establishing a second-order kinetic model of gas components such as a gas generator, a turbine, a gas guide pipe, a gas-liquid type thrust chamber and the like, and assembling the second-order kinetic model and an established second-order kinetic equation of a liquid path part into a complete propulsion system, thereby establishing a Pogo state space model containing gas path characteristics based on a state space method. Compared with the traditional transfer matrix method, the damping ratio can be given while the frequency of the propulsion system is calculated; compared with the traditional iteration method, the state space method has higher calculation efficiency, is not influenced by the initial value of the iteration, and cannot leak roots; the state equation method can consider more factors such as multimode, multi-coupling points, core-stage and boosting coupling effects, and the result is more accurate.)

气-液路耦合推进系统运载火箭的Pogo系统建模方法

技术领域

本发明属于动力学建模领域，具体说是一种基于状态空间法的包 含气路特性的Pogo系统建模方法。

背景技术

Pogo振动的建模方法有单传法、临界阻尼法、矩阵法等，其中 较为先进的是Rubin提出的状态方程法。然而上述方法全都是针对液 路系统的研究，我国重型运载火箭等采用新型的含有气路特性的高压 低温液氧/煤油补燃循环发动机，它们的气路熵波特性对Pogo振动建 模和稳定性的影响不可忽略，而这方面的文献资料非常缺乏。刘锦凡 使用传递矩阵法对含气路特性的Pogo系统进行稳定性分析，虽然能 够较好地预示火箭的Pogo稳定性，但是该方法只适用于单路运载火 箭的Pogo稳定性分析，对于含多支路的火箭只能等效为单路处理， 分析效果不佳。

在针对液体火箭Pogo振动的建模方法中，状态方程法是目前比 较完善的方法。状态方程法借鉴了有限元建模思路，将管路划分为多 个基本单元，将这些基本单元和泵、蓄压器、推力室等元件统一采用 二阶微分方程描述，通过与结构振动方程耦合，构造整个系统的Pogo 振动二阶微分方程，从而将Pogo稳定性分析转化为广义矩阵的特征 值问题。该方法很容易推广到复杂三维管路的建模，具有很强的通用 性，可以方便的分析具有多个助推器多台发动机的捆绑液体火箭，已 经成功地应用到美国Atlas-II/Centaurand火箭，以及我国CZ-2F火 箭Pogo问题研究中。该方法建立的状态空间模型，可以直接用于频 域分析，与传统的传递矩阵法相比，可以在计算推进系统频率的同时 给出阻尼比；与传统的迭代法相比，状态空间法计算效率更高，而且 不受迭代初值的影响，不会漏根；状态方程法可以考虑多模态、多耦 合点、芯级与助推耦合作用等更多因素，结果更为精确。但是状态方程法针对气-液路推进系统的Pogo建模却没有相关报道。

发明内容

本申请提供了一种气-液路耦合推进系统运载火箭的Pogo系统建 模方法，建立燃气发生器、涡轮、燃气导管、气-液型推力室等气体 部件的二阶动力学模型，与建立的液路部分二阶动力学方程组装成完 整的推进系统，从而建立起基于状态空间法的包含气路特性的Pogo 状态空间模型。

为实现上述目的，本发明的技术方案为：一种气-液路耦合推进 系统运载火箭的Pogo系统建模方法，包括如下步骤：

步骤1：建立推进系统液路部分二阶动力学模型；

步骤2：建立气路部分各单元及边界条件的二阶动力学模型；

步骤3：将气路各单元及边界条件的二阶动力学方程按照状态变 量的选取顺序进行组装；

步骤4：为了使液路和气路部分能够组装，需使液路和气路用相 同的状态变量；

步骤5：将推进系统气路二阶动力学方程调整成适合与液路部分 进行连接的形式；

步骤6：液路二阶动力学方程系数矩阵与气路二阶动力学方程系 数矩阵根据状态变量的选取顺序进行组装，并在R_G矩阵液路末端压 强对应的地方填1，导出包含气路特性的推进系统的二阶动力学方程。

步骤7：对结构振动方程两边求一次导数，将结构振动方程调整 成适合与推进系统组装的形式；

步骤8：将推进系统的二阶动力学方程与结构振动方程进行耦合， 导出包含气路特性的Pogo系统模型。

进一步的，步骤1建立推进系统液路部分二阶动力学模型具体为：

其中质量位移u_L为液路系统的状态变量，

为流 体相对管壁流速,P_L为液路单元各节点处的压强，且 u_L＝[u₁u₂ … u_i …]^T，u₁u₂ … u_i …为各节点处的质量位移；P_G0为 液路末端节点的压强，也是气路始端的压强；q_s为结构系统模态位移；

是u_L一阶导数；是u_L二阶导数；

是q_s一阶导数；

是q_s二阶 导数；M_L为质量阵；R_L为阻尼阵；K_L为刚度阵；U_0L，U_1L，U_2L为推进 系统不同段的系数矩阵；ρ为质量密度；A为管路截面积。

进一步的，步骤2将气路系统预燃室、涡轮、整流栅、燃气导管、 推力室单元及边界条件的传递矩阵模型进行泰勒Taylor二阶展开，并 进行拉普拉斯Laplace逆变换转换为二阶动力学方程描述，导出气路 部分各单元及边界条件二阶动力学方程描述。

进一步的，(1)预燃室单元的有量纲二阶动力学方程描述为：

其中

分别为预燃室出口的稳态燃气压强、流量、温度和 混合比，

分别为预燃室入口的稳态压强和流量，p_G2、q_G2、T_G2、 K_G2分别为预燃室出口燃气压强、流量、温度和混合比；K_gg为燃气发 生器额定混合比；τ_Γ为燃气发生器燃烧时滞；ψ为燃烧产物温度与推 进剂组元混合比关系曲线斜率，且

P_G0，q_G0为液 路的末端压强和通过喷嘴进入发生器的液体氧化剂流量脉动量，τ_gg为从燃气形成到燃气发生器出口的时间；k_gg为燃气绝热指数；T为燃 烧产物温度；

为偏导符号。

(2)涡轮单元的有量纲二阶动力学方程描述为：

式中：分别为涡轮入口的稳态燃气压强、流量、 温度和混合比，

分别为涡轮出口的稳态燃气压强、 流量、温度和混合比，p_G2、q_G2、T_G2、K_G2分别为涡轮入口燃气压强、 流量、温度和混合比；p_G3、q_G3、T_G3、K_G3分别为涡轮出口燃气压强、 流量、温度和混合比；和分别为涡轮入口出口的静温；ε为通过 涡轮的燃气流量与压比关系曲线斜率。

(3)燃气导管单元的有量纲二阶动力学方程描述为：

式中：分别为燃气导管入口的稳态燃气压强、 流量、温度和混合比，

分别为燃气导管出口的稳态 燃气压强、流量、温度和混合比，p_G3、q_G3、T_G3、K_G3分别为燃气导 管入口燃气压强、流量、温度和混合比；p_G4、q_G4、T_G4、K_G4分别为燃气导管出口燃气压强、流量、温度和混合比；k_gd为燃气导管的燃 气绝热指数；τ_gd为燃气在燃气导管中的停留时间；

(4)整流栅单元的有量纲二阶动力学方程描述为：

式中：

分别为整流栅入口的稳态燃气压强、流 量、温度和混合比，

分别为整流栅出口的稳态燃气 压强、流量、温度和混合比，p_G4、q_G4、T_G4、K_G4分别为整流栅入口 燃气压强、流量、温度和混合比，p_G5、q_G5、T_G5、K_G5分别为整流栅 出口燃气压强、流量、温度和混合比；ε为通过整流栅的燃气流量与 压比关系曲线斜率。

(5)推力室单元的有量纲二阶动力学方程描述为：

气-液型推力室与其他气路单元不同，除动力学方程外，还有其 对结构的作用力，它的对结构的作用力描述如下：

其中Q_p′＝[-A_thC_f]，C_f为推力系数，Ath为推力室喉部面积；

式中：

分别为推力室入口的稳态燃气压强、流 量、温度和混合比，

分别为推力室出口的稳态燃气压强、流量， p_c为燃烧室内脉动压力，q_mc为燃烧室总的脉动流量；p_G5、q_G5、T_G5、K_G5分别为推力室入口燃气压强、流量、温度和混合比；K_gg为由燃 气导管通过喷嘴进入燃烧室的燃气额定混合比；τ_c为燃气在燃烧室中 的停留时间；k_c为燃烧室内燃气的绝热指数；ψ_c为燃烧室内燃气温度 与组元混合比的关系曲线的斜率，且

q_mfg为由 燃气导管通过喷嘴进入燃烧室内的稳态富氧燃气流量；K_mc为燃烧室 额定混合比；q_mfc为进入燃烧室的稳态液体燃料流量； A_q＝q_mfg+(1+K_gg)q_mfc；τ_Tc为燃烧室内液体燃料转化为气体的时间。

(6)气路末端需加入边界条件，基本变量为有量纲的边界条件 为：

进一步的，步骤3组装完成后的包含边界条件的推进系统气路部 分方程为：

其中M′_G，R′_G，K′_G分别为气路系统的质量阵，阻尼阵和刚度阵，q′_G为 气路的状态变量：

进一步的，步骤4采用使液路的状态变量变为与气路的状态变量 相同的方式，对液路推进系统方程两边求一次导数，将推进系统液路 二阶动力学方程调整成适合与气路部分进行连接的形式；

使液路部分的方程变为

其中M_L为质量阵；R_L为阻尼阵；K_L为刚度阵；P_L为液路单元各 节点处的压强，质量流量q_L与质量位移u_L的关系为

即

为流体相对管壁流速,A为管路截面积。

进一步的，步骤5对M′_G，R′_G，K′_G矩阵的1、2两列进行互换，将 原来的以

q′_G＝[P_G0,q_G0,P_G2,q_G2,T_G2,K_G2…P_G5,q_G5,T_G5,K_G5]^T

为状态变量得出的系数矩阵M′_G，R′_G，K′_G写成以状态变量

q_G＝[q_G0,P_G0,P_G2,q_G2,T_G2,K_G2…P_G5,q_G5,T_G5,K_G5]^T

为基本变量得出的系数矩阵M_G，R_G，K_G。

更进一步的，步骤6的

具体实施方式

为：

液路气路组装后为：

其中

状态变量

q_L＝[q_L1,q_L2,q_L3…q_Ln,q_G0]^T为液路的质量流量状态变量；

q_G0，P_G0，q″_G＝[P_G2,q_G2,T_G2,K_G2…P_G5,q_G5,T_G5,K_G5]^T为气路的状态变量；

液路的出口量即为气路的入口量，液路与气路的状态变量中都含 有q_G0，即液路的状态变量与气路的状态变量有重叠。

更进一步的，步骤7的具体实施方式为：

对结构振动方程

两端求导，得

M_s，R_s，K_s结构系统质量阵，阻尼阵，刚度阵；Q₀，Q₁，Q₂为耦合系统 矩阵，Q_p为以

为状态变量时Q_p′的扩展矩阵，q_s为结构系统模态位 移；V为耦合系统系数矩阵；其中q质量流量与u质量位移的关系为

即

更进一步的，步骤8的具体实施方式为：取状态变量

将推进系统的二阶动力学 方程与结构振动方程进行耦合，得到Pogo系统模型可以写为：

其中

本发明通过以上技术方案，可以取得如下效果：与传统的传递矩 阵法相比，可以在计算推进系统频率的同时给出阻尼比；与传统的迭 代法相比，状态空间法计算效率更高，而且不受迭代初值的影响，不 会漏根；状态方程法可以考虑多模态、多耦合点、芯级与助推耦合作 用等更多因素，结果更为精确。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面 将对本发明中所需要使用的附图做简单地介绍。

图1为实施例中某型火箭只考虑氧路的液路系统各单元布局图；

图2为实施例中气路系统各单元布局图。

图中序号说明：1第一段波纹管,2第二段直管,3第三段波纹管,4 第四段直管,5三通-蓄压器超单元,6摇摆软管波纹管,7预压泵,8泵间 管a,9泵间管b,10主泵,11泵后管a,12泵后管b-阀门超单元，13预燃 室，14涡轮，15燃气导管，16整流栅，17推力室。

具体实施方式

本实施例以某型气-液路耦合推进运载火箭为例对上述步骤进行 展开说明：

步骤1：建立推进系统液路部分二阶动力学模型：某型火箭只考 虑氧路的液路系统各单元布局如图1所示：包括依次设置的第一段波 纹管、第二段直管、第三段波纹管、第四段直管、三通-蓄压器超单 元、摇摆软管波纹管、预压泵、泵间管、泵间管、主泵、泵后管、泵 后管b-阀门超单元；

液路部分模型为

其中第二段直管划分为3个单元，因此M_L，R_L，K_L为15×15 的矩阵，U_0L，U_1L，U_2L为15×4的矩阵，u_L＝[u_L1 u_L2 … u_L15]^T，维 数为15×1。q_s＝[q_s1 q_s2 q_s3 q_s4]^T，维数为4×1。

步骤2：建立气路部分各单元及边界条件的二阶动力学模型。气 路系统各单元布局如图2所示，写出气路系统各单元二阶动力学方程， 如下所示：

(1)预燃室二阶动力学方程为

其中

(2)涡轮二阶动力学方程为

其中

(3)燃气导管二阶动力学方程为

其中

(4)整流栅二阶动力学方程为

其中

(5)推力室二阶动力学方程为

其中

推力室对结构的作用力描述如下：

其中Q_p′＝[-A_thC_f]。

(6)边界条件二阶动力学方程为

步骤3：将气路各单元及边界条件的二阶动力学方程按照状态变 量的选取顺序进行组装。

组装后的气路部分模型为：

其中q′_G为气路的状态变量：

q′_G＝[P_G0 q_G0 p_G2 q_G2 T_G2 K_G2 p_G3 q_G3 T_G3 K_G3

p_G4 q_G4 T_G4 K_G4 p_G5 q_G5 T_G5 K_G5 p_c q_mc]^T

步骤4：为了使液路和气路部分能够组装，需使液路和气路用相 同的状态变量。

对液路部分的方程两边求一次导数，使液路部分方程的状态变量 与气路部分的一致，即

其中 q_s＝[q_s1 q_s2 q_s3q_s4]^T。

步骤5：将推进系统气路二阶动力学方程调整成适合与液路部分 进行连接的形式。对M′_G，R′_G，K′_G矩阵的1、2两列进行互换。

此时气路部分模型为：

M_Gq_G+R_Gq_G+K_Gq_G＝0

其中

q_G＝[q_G0 P_G0 p_G2 q_G2 T_G2 K_G2 p_G3 q_G3 T_G3 K_G3

p_G4 q_G4 T_G4 K_G4 p_G5 q_G5 T_G5 K_G5 p_c q_mc]^T

步骤6：液路二阶动力学方程系数矩阵与气路二阶动力学方程系 数矩阵根据状态变量的选取顺序进行组装，并在R_G矩阵液路末端压 强对应的地方填1，导出包含气路特性的推进系统的二阶动力学方程。

液路气路组装后为：

其中

状态变量维数为34×1。M_L，R_L，K_L为15×15的矩阵， M_G，R_G，K_G为19×20的矩阵，M_p，R_p，K_p为34×34的矩阵，U₀， U₁，U₂为34×4的矩阵，q_L＝[q_L1,q_L2,q_L3…,q_G0]^T为液路的质量流量状态 变量，q_G0＝q_L15；q_G0，P_G0，q″_G＝[P_G2,q_G2,T_G2,K_G2…P_G5,q_G5,T_G5,K_G5]^T为气路 的状态变量；

步骤7：对结构振动方程两边求一次导数，将结构振动方程调整 成适合与推进系统组装的形式。

对结构振动方程

两端求导，得

本算例中选取结构前四阶模态与推进系统进行耦合，因此M_s，R_s， K_s，V为4×4的矩阵，Q₀，Q₁，Q₂，Q_p为4×34的矩阵。

步骤8：将推进系统的二阶动力学方程与结构振动方程进行耦合， 导出包含气路特性的Pogo系统模型。

将推进系统的二阶动力学方程与结构振动方程进行耦合，得到 Pogo系统模型可以写为：

其中

A_ps维数为80×80。

至此，以某型气-液路耦合推进运载火箭为例基于状态方程法的 包含气路特性的Pogo系统建模完毕。