阅读说明：本技术 基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方法及系统 (Hobbing tooth surface error compensation method and system based on equivalent transmission chain error calculation ) 是由 王时龙 夏长久 龙谭 任磊 康玲 马驰 王四宝 周杰 于 2019-08-26 设计创作，主要内容包括：本发明公开了一种基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方法,首先建立滚齿加工误差预测模型；根据传动链误差和工件齿轮安装误差,预测加工齿轮的齿形和齿距误差；然后计算传动链误差、安装误差与齿面误差间的映射关系；最后根据等效传动链误差计算的齿面误差补偿值,通过等效传动链误差补偿实现针对齿面误差的补偿；本方法选择工作台作为误差补偿的主要控制对象,通过调整控制工作台位置来抵消传动链误差。推导出传动链误差与齿面误差的准确映射关系,然后通过齿面误差测量值计算等效传动链误差补偿值,再通过基于工作台或滚刀轴的位置控制的传动链误差补偿方法实现齿面误差的消减,从而提高滚齿加工精度。(The invention discloses a hobbing tooth surface error compensation method based on equivalent transmission chain error calculation, which comprises the steps of firstly establishing a hobbing machining error prediction model; predicting the tooth profile and the tooth pitch error of the processing gear according to the transmission chain error and the workpiece gear installation error; then calculating the mapping relation among the transmission chain error, the installation error and the tooth surface error; finally, according to the tooth surface error compensation value calculated by the equivalent transmission chain error, the compensation aiming at the tooth surface error is realized through the equivalent transmission chain error compensation; the method selects the workbench as a main control object of error compensation, and offsets the transmission chain error by adjusting and controlling the position of the workbench. Deducing an accurate mapping relation between the transmission chain error and the tooth surface error, calculating an equivalent transmission chain error compensation value through a tooth surface error measurement value, and reducing the tooth surface error through a transmission chain error compensation method based on the position control of a workbench or a hob shaft, so that the hobbing precision is improved.)

基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方法及系统

技术领域

本发明涉及数控机床误差分析与精度控制技术领域，特别是一种基于等效传动链误差计 算的滚齿齿面误差补偿方法及系统。

背景技术

滚齿加工是一种生产效率高、应用广的制齿工艺方法，但滚齿加工精度受机床、刀具及 工件的多源误差影响。其中数控滚齿机的传动链误差影响滚齿加工时滚刀和工件之间的展成 运动的准确性，从而导致滚齿加工误差，影响到齿轮齿距和齿形精度。一般滚齿加工条件下， 工作台转速较滚刀轴转速低得多，同时滚齿机工作台位置控制精度较滚刀轴更高。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方 法，该方法用于滚齿齿面误差补偿方法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

本技术方案提供的一种基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方法，包括以下步 骤：

基于滚齿双参数包络理论建立滚齿加工误差预测模型；

根据传动链误差和工件齿轮安装误差，预测加工齿轮的齿形和齿距误差；

计算传动链误差、安装误差与齿面误差间的映射关系；

根据等效传动链误差计算的齿面误差补偿值。

进一步，所述滚齿加工误差预测模型的建立按照以下步骤进行：

将传动链误差处理为工作台绕Z轴的转动误差；

分别求解齿轮各旋转位置对应的理论啮合点和考虑误差时的实际啮合点；

计算实际啮合点与理论啮合点的差值并作为齿面误差，建立滚齿加工误差预测模型。

进一步，所述建立滚齿加工误差预测模型按照以下步骤进行：

建立滚齿加工坐标变换矩阵；

根据滚齿加工坐标变换矩阵计算滚齿包络点坐标，得到理想啮合点的坐标和对应实际啮 合点的坐标；

根据理想啮合点的坐标和对应实际啮合点的坐标计算齿面误差。

进一步，所述齿面误差补偿值是按照以下步骤进行：

建立传动链误差与齿面误差间的映射关系；

建立齿轮安装误差与齿面误差间的映射关系；

根据映射关系计算等效传动链误差补偿值。

进一步，所述滚齿加工坐标变换矩阵按照以下步骤进行：

建立滚刀坐标系S_h到滚刀轴坐标系S_B的齐次坐标变换矩阵为：

建立滚刀轴坐标系S_B到工作台坐标系S_C的齐次坐标变换矩阵为：

建立工作台坐标系S_C到齿轮坐标系S_g的齐次坐标变换矩阵为：

按照以下方式建立滚刀坐标系S_h转换到齿轮坐标系S_g的理想齐次坐标变换矩阵为：

其中，表示滚刀坐标系S_h转换到齿轮坐标系S_g的理想齐次坐标变换矩阵； 表示滚刀转角；

l_z表示滚刀轴向进给；

表示齿轮坐标系S_g(O_gx_gy_gz_g)随齿轮绕轴心线z_C的旋转角度；

M_CB(l_z)表示滚刀轴坐标系S_B到工作台坐标系S_C的理想齐次坐标变换矩阵；

表示滚刀安装角；

a_z表示滚刀-齿轮坐标系原点间的z向距离；

a_y表示滚刀-齿轮坐标系原点间的y向距离；

a_x表示滚刀-齿轮坐标系原点间的x向距离，也即滚刀-齿轮中心距；

表示滚刀坐标系S_h到滚刀轴坐标系S_B的理想齐次坐标变换矩阵； 表示滚刀坐标系S_h(O_hx_hy_hz_h)随滚刀绕轴心线z_B的旋转角度。

进一步，所述滚齿包络点坐标按照以下方式进行计算：

采用渐开线滚刀进行计算时，滚刀面上的任意点的坐标为：

式中，p_h为滚刀螺旋参数，p_h＝r_ph tanγ_ph，

θ_h表示滚刀齿面螺旋角；

r_bh表示滚刀基圆半径；

μ_h表示滚刀齿槽半角；

ε_h表示滚刀齿面渐开线角；

表示滚刀齿廓坐标系中滚刀面的齐次坐标；

M_hp表示滚刀齿廓坐标系到滚刀坐标系S_h的变换矩阵；

r_ph为滚刀分度圆半径；

表示滚刀坐标系中滚刀面的齐次坐标；

滚刀面的单位法向量为：

滚刀面的任一点的坐标在齿轮坐标系中为：

表示滚刀坐标系S_h到齿轮坐标系S_g的实际齐次坐标变换矩阵； 表示滚刀坐标系中滚刀面的齐次坐标；

表示滚刀坐标系中滚刀面的单位法向量；

表示齿轮坐标系中的滚刀面的单位法向量；

计算该点处的单位法向量为：

滚刀面的运动在齿轮坐标系中的包络面即为齿轮齿面；

根据双参数包络理论，滚刀齿面的包络面满足：

其中，

表示滚刀旋转速度；

表示滚刀轴向进给速度；

按照以下方式计算误差矩阵E_C得：

其中，

表示包络点对应的滚刀齿面螺旋角；

表示包络点对应的滚刀齿面渐开线角；

c₁表示中间参数；

表示与滚刀转角相关的中间函数；

k表示滚刀旋转圈数；

α_th表示滚刀端面压力角；

μ_h表示滚刀齿槽半角；

s₂表示左右齿面的区分标识；

k为滚刀旋转圈数，其中参数为：

i_gh表示滚刀头数与齿轮齿数之比；

λ_bh表示滚刀基圆处螺旋升角；

p_ax表示滚刀相邻同侧面间的轴向齿距；

i_h表示滚刀第i头；

h₁(l_z)表示与滚刀轴向进给l_z相关的中间函数；

根据滚刀转角和滚刀轴向进给l_z，解得包络点对应的滚刀齿面参数螺旋角度θ_h和渐开 线角ε_h，进而变换得到理想啮合点的坐标K(x_K,y_K,z_K)；

当存在传动链误差和齿轮安装误差，求解包含误差项的包络方程得到实际齿轮渐开线齿 面上对应实际啮合点的坐标K′(x_K′,y_K′,z_K′)。

进一步，所述齿面误差计算按照以下方式进行计算：

其中，δ_tg表示实际啮合点K′的法向误差；

表示基圆切点到实际啮合点K′的距离；

表示基圆切点到理想啮合点K的距离；

K′表示实际啮合点，

K表示实际啮合点基圆切线与理论齿廓的交点，也即理想啮合点；

式中，

α_tg为齿轮分度圆端面压力角；

σ₀为半个齿槽在分度圆上的角度；

σ₁为基圆上渐开线发生点B的角位移；

σ₂表示实际啮合点K′的角位移；

α_t表示齿轮端面压力角；

α_K′表示实际啮合点K′的压力角；

表示基圆切点到实际啮合点K′的距离；

表示基圆切点到理想啮合点K的距离；

ε_K′表示实际啮合点K′的渐开线角；

r_bg表示齿轮基圆半径；

x_n为变位系数；

N_g为齿数；

或者

所述齿距误差计算按照以下方式进行计算：

f_pg＝δ_tg/cosα_tg

其中，f_pg表示在分度圆切线方向上沿齿轮一周分布的齿距误差。

进一步，所述传动链误差与齿面误差间的映射关系的按照以下方式进行建立：

按照以下公式建立包含误差的包络点参数：

按照以下方式建立法向误差：

将法向误差转换到端截面上，即误差为：

δ_tg＝δ_ng/cosβ_bg

按照以下方式建立误差矩阵为：

将传动链误差视为齿条的位移误差l_Δ，其大小为：

l_Δ＝r_pε_zg

计算理想啮合点为L和实际啮合点为L′间的误差矢量

其中，L表示左齿面的理想啮合点，L′表示左齿面实际啮合点，R表示右齿面的理想啮 合点，R′表示右齿面的实际啮合点；

按照以下公式计算传动链误差：

式中，误差表示端截面上传动链误差造成的误差；s₁表示旋向；s₂用于区分左右齿 面，符号为负表示过切削，实际啮合点在理论齿面内；符号为正表示欠切削，实际啮合点在 理论齿面外；

或者

所述齿轮安装误差与齿面误差间的映射关系的按照以下方式进行建立：

按照以下方式分别计算齿条与齿轮安装中心距的偏差a_xΔ和齿条在机床反方向的移动量 a_yΔ：

其中，

a_xΔ为X方向上的偏心，等效为齿条与齿轮安装中心距的偏差；

a_yΔ为Y方向上的偏心，等效于齿条在机床Y方向上反方向的移动量；

e(l_z)为每个端截面内的安装误差转换成端截面上的偏心；

θ(l_z)为偏心的角度位置；

根据传动链误差和齿轮安装误差的关系，按照以下公式计算齿面误差：

式中，

表示齿轮齿面总误差；

r_bg表示齿轮基圆半径；

表示齿轮齿面渐开线角；

e(l_z)表示由每个端截面内的安装误差转换成到端截面上的偏心；

θ(l_z)表示偏心的角度位置；

α_tg表示齿轮分度圆端面压力角；

表示齿轮转角。

本技术方案提供了一种基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿系统，包括工作台 和测量系统误差补偿装置；所述测量系统误差补偿装置用于根据等效传动链误差计算的齿面 误差补偿值，根据齿面误差补偿值来控制工作台的位置，从而实现通过传动链误差补偿齿面 误差；

所述测量系统误差补偿装置是按照以下步骤来实现基于等效传动链误差计算的滚齿齿面 误差补偿值：

基于滚齿双参数包络理论建立滚齿加工误差预测模型；

根据传动链误差和工件齿轮安装误差，预测加工齿轮的齿形和齿距误差；

将滚齿加工过程分解到若干端截面上，将各项误差源化为端截面上的等效偏心量，得到 传动链误差、安装误差与齿面误差间的映射关系；

根据等效传动链误差计算的齿面误差补偿值，得到传动链误差补偿方案。

进一步，所述滚齿加工误差预测模型的建立按照以下步骤进行：

将传动链误差处理为工作台绕Z轴的转动误差；

分别求解齿轮各旋转位置对应的理论啮合点和考虑误差时的实际啮合点；

再将实际啮合点与理论啮合点在该点理论法线上的差值将作为齿面误差，并建立滚齿加 工误差预测模型；

所述建立滚齿加工误差预测模型按照以下步骤进行：

建立滚齿加工坐标变换矩阵；

根据滚齿加工坐标变换矩阵计算滚齿包络点坐标，得到理想啮合点的坐标和对应实际啮 合点的坐标；

根据理想啮合点的坐标和对应实际啮合点的坐标计算齿面误差。

所述齿面误差补偿值是按照以下步骤进行：

建立传动链误差与齿面误差间的映射关系；

建立齿轮安装误差与齿面误差间的映射关系；

根据映射关系计算等效传动链误差补偿值。

本发明的有益效果在于：

本发明提供的基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方法，是滚齿齿面误差补偿 方法，可以通过检测出的齿面误差计算等效传动链误差补偿量，通过等效传动链误差补偿实 现针对齿面误差的补偿；本方法可以选择工作台作为误差补偿的主要控制对象，通过调整控 制工作台位置来抵消传动链误差。推导出传动链误差与齿面误差的准确映射关系，然后通过 齿面误差测量值计算等效传动链误差补偿值，再通过基于工作台或滚刀轴的位置控制的传动 链误差补偿方法实现齿面误差的消减，从而提高滚齿加工精度。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某 种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发 明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为滚齿加工坐标系。

图2为工件坐标系的几何误差。

图3为圆柱齿轮齿面误差。

图4为传动链误差。

图5为齿轮安装误差与齿面误差。

图6为工件齿轮端截面。

图7为传动链误差综合补偿方案。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的 理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

本实施例提供的基于等效传动链误差计算的滚齿齿面误差补偿方法，本方法基于滚齿双 参数包络理论建立滚齿加工误差预测模型，考虑传动链误差和工件齿轮安装误差，预测加工 齿轮的齿形、齿距误差；然后将滚齿加工过程分解到若干端截面上，将各项误差源化为端截 面上的等效偏心量，揭示传动链误差、安装误差与齿面误差间的映射关系；最后通过检测齿 面误差计算等效传动链误差补偿值，采用传动链误差补偿方案实现齿面误差消减，提高滚齿 精度，具体包括以下步骤：

步骤一：建立滚齿加工误差预测模型；

滚齿加工时，滚刀绕自身轴线转动的同时沿着工件轴向匀速进给运动，工件绕自身轴线 转动。在研究传动链误差对滚齿加工精度的影响时，可将传动链误差处理为工作台绕Z轴的 转动误差。为计算滚齿加工误差，分别求解齿轮各旋转位置对应的理论啮合点和考虑误差时 的实际啮合点；再将实际啮合点与理论啮合点在该点理论法线上的差值将作为齿面误差，即 可建立滚齿加工误差预测模型。

(1)滚齿加工坐标变换矩阵推导

如图1所示，图1为滚齿加工坐标系，建立滚齿加工坐标系表征滚刀和齿坯的位姿关系。

图中，S_C(O_Cx_Cy_Cz_C)表示工作台坐标系，S_B(O_Bx_By_Bz_B)表示滚刀轴坐标系；S_g(O_gx_gy_gz_g) 表示齿轮坐标系，坐标原点与S_C坐标原点重合，随齿轮绕轴心线z_C旋转，转过的角度为 其中，为初始角度，为齿轮转角；S_h(O_hx_hy_hz_h)表示滚刀坐标系，坐标 原点与S_B坐标原点重合，随滚刀绕轴心线z_B旋转，转过角度为其中，为 初始角度，为滚刀转角。

滚齿过程中，滚刀-齿轮中心距和滚刀安装角保持不变。滚刀-齿轮中心距为：

a_x＝r_pg+r_ph

式中，r_pg为齿轮分度圆半径；r_ph为滚刀分度圆半径。

滚刀安装角为：

式中，为滚刀安装角，β_g为齿轮螺旋角，γ_h为滚刀导程角。规定β_g和γ_h左旋为负值， 右旋为正值。

滚齿时，滚刀和工件的运动关系为：

式中，n_C为C轴转速，n_B为B轴转速，Z_h为滚刀头数，Z_g为工件齿数，v_Z为滚刀沿Z 轴的进给速度，β为齿轮螺旋角，m_n为齿轮法向模数，v_Y为滚刀沿Y轴速度，轴向滚齿时 为0，γ为机床俯仰角。则齿轮转角为：

式中，s₁为滚刀旋向的符号，右旋滚刀s₁＝0，左旋滚刀s₁＝1。

表示齿轮转角；

i_gh表示滚刀头数与齿轮齿数之比；

表示滚刀转角；

i_gz表示滚刀螺旋参数p_h的倒数；

l_z表示滚刀轴向进给；

N_h表示滚刀头数；

N_g表示齿轮齿数；

m_n表示齿轮法向模数；

β表示齿轮螺旋角；

滚刀坐标系和齿轮坐标系之间的位姿关系可基于滚齿运动链(h-B-C-g)及由各个坐标系 的变换矩阵描述，其中，滚刀坐标系S_h到滚刀轴坐标系S_B的齐次坐标变换矩阵为：

滚刀轴坐标系S_B到工作台坐标系S_C的齐次坐标变换矩阵为

工作台坐标系S_C到齿轮坐标系S_g的齐次坐标变换矩阵为

综上，滚刀坐标系S_h转换到齿轮坐标系S_g的理想齐次坐标变换矩阵为：

如图2所示，图2为工件坐标系的几何误差，滚齿加工中，齿轮安装误差导致工件的回 转轴线偏离几何轴线z_g，实际工作台坐标系与理想齿轮坐标系S_g的齐次坐标变换为：

表示齿轮坐标系S_g到工作台坐标系S_C的实际齐次坐标变换矩阵；

M_Cg表示齿轮坐标系S_g到工作台坐标系S_C的实际理想坐标变换矩阵；

其中，E_g为相对于理想齿轮坐标系S_g的位姿误差矩阵：

为便于将传动链误差通过工作台坐标系S_C整合到滚齿加工模型中，将E_g折算至工作台坐 标系下的位姿误差，即

其中，

E_C表示相对于理想工作台坐标系S_C的位姿误差矩阵；

M_gC表示工作台坐标系S_C到齿轮坐标系S_g的理想齐次坐标变换矩阵；

ε_zC表示工作台坐标系中的齿轮z向安装角度误差；

ε_yC表示工作台坐标系中的齿轮y向安装角度误差；

ε_xC表示工作台坐标系中的齿轮x向安装角度误差；

δ_zC表示工作台坐标系中的齿轮z向安装线性误差；

δ_yC表示工作台坐标系中的齿轮y向安装线性误差；

δ_xC表示工作台坐标系中的齿轮x向安装线性误差；

忽略2阶以上高阶误差量，则各项误差为：

ε_xg表示齿轮坐标系中齿轮x向安装角度误差；

ε_yg表示齿轮坐标系中齿轮y向安装角度误差；

ε_zg表示齿轮坐标系中齿轮z向安装角度误差；

表示齿轮坐标系随齿轮绕轴心线z_C的旋转角度，也即工件转角；

δ_xg表示齿轮坐标系中齿轮x向安装线性误差；

δ_yg表示齿轮坐标系中齿轮y向安装线性误差；

δ_zg表示齿轮坐标系中齿轮z向安装线性误差；

假定一旦安装完成位姿误差不再变化，则位姿误差矩阵E_C中的平动误差项和转动误差项 仅取决于工件转角即为滚刀转角和滚刀轴向进给l_z的函数。因此，考虑齿轮安装误 差时，滚刀面的齐次坐标变换为：

其中，

表示齿轮坐标系中滚刀面的齐次坐标；

表示滚刀坐标系中滚刀面某点的齐次坐标；

表示滚刀坐标系到齿轮坐标系的实际齐次变换矩阵；M_Bh表示滚刀坐标系到滚刀轴 坐标系S_B的理想齐次变换矩阵；

M_CB表示滚刀轴坐标系S_B到工作台坐标系的理想齐次变换矩阵；

(2)滚齿包络点坐标计算

采用渐开线滚刀进行计算时，滚刀面上的任意点的坐标为：

式中，p_h为滚刀螺旋参数，p_h＝r_ph tanγ_ph，r_ph为滚刀分度圆半径。

ε_h表示滚刀齿面渐开线角；

θ_h表示滚刀齿面螺旋角；

r_bh表示滚刀基圆半径；

μ_h表示滚刀齿槽半角；

p_h表示滚刀螺旋参数；

M_hp表示滚刀齿廓坐标系到滚刀坐标系S_h的变换矩阵；

表示滚刀齿廓坐标系中滚刀面的齐次坐标；

滚刀面的单位法向量为：

滚刀面的任一点的坐标在齿轮坐标系中为：

该点处的单位法向量为：

滚刀面的运动在齿轮坐标系中的包络面即为齿轮齿面。根据双参数包络理论，滚刀齿面 的包络面满足：

不考虑误差时，误差矩阵E_C为单位矩阵，可解得：

其中k为滚刀旋转圈数，其它参数为：

代入滚刀转角和滚刀轴向进给l_z，可解得此刻包络点对应的滚刀齿面参数螺旋角度θ_h和渐开线角ε_h，进而变换得到理想啮合点的坐标K(x_K,y_K,z_K)。

当存在传动链误差和齿轮安装误差，求解包含误差项的包络方程可得到实际齿轮渐开线 齿面上对应实际啮合点的坐标K′(x_K′,y_K′,z_K′)。

(3)齿面误差计算

滚齿加工出的实际齿面与理论齿面在法线方向上的差值即为齿面误差。如图3所示，图 3为圆柱齿轮齿面误差，由实际啮合点K′处引出端面上基圆的切线，与基圆切于C，与理论 齿廓交于K，法线上的长度即为齿面误差，记作δ_tg：

其中，

式中，α_tg为齿轮分度圆端面压力角；σ₀为齿轮半个齿槽在分度圆上的角度；σ₁为基圆 上渐开线发生点B的角位移；

σ₂表示实际啮合点K′的角位移；

α_K′表示实际啮合点K′的压力角；

x_K′表示实际啮合点K′的x坐标；

y_K′表示实际啮合点K′的y坐标；

inv表示渐开线函数；

r_K′表示实际啮合点K′到坐标系原点的距离；

ε_K′表示实际啮合点K′的渐开线角；

x_n为变位系数；

N_g为齿数。

齿面误差在齿轮端面齿廓上的分布即为齿形误差，在齿宽方向上的分布即为螺旋线误差， 在分度圆切线方向上沿齿轮一周分布即为齿距误差f_pg：

f_pg＝δ_tg/cosα_tg

步骤二：基于等效传动链误差计算的齿面误差补偿

(1)传动链误差与齿面误差间的映射关系推导

基于滚齿加工误差预测模型，可分别推导传动链误差和齿轮安装误差对滚齿机加工误差 的独立影响，从而为基于等效传动链误差补偿的滚齿齿面误差补偿提供理论基础。

齿轮安装时同时存在偏心和角度误差。大规格齿轮由于齿宽较大，角度误差(ε_x,ε_y,ε_z)会 更为明显。将整个滚齿过程在Z轴方向上分成若干个端截面，每个端截面的加工误差会存在 差异。

滚齿加工中的传动链误差是很小的角度量，传动件的惯性使传动链误差的高频部分衰减 严重，传动链误差对两个自由度的偏导相对于其他两项很小，因此可假设包含误差的包络点 参数近似等于理想状态下的包络点参数，即

则法向误差为：

转换到端截面上，误差为：

δ_tg＝δ_ng/cosβ_bg

仅考虑传动链误差时，传动链误差等效于工作台绕Z轴的转动误差，此时误差矩阵为：

如图4所示，图4为传动链误差，将传动链误差视为齿条的位移误差l_Δ，其大小为：

l_Δ＝r_pε_zg

左齿面的理想啮合点为L，实际啮合点为L′，右齿面的理想啮合点为R，实际啮合点为R′，则左右齿面的啮合点的误差矢量为

其中，

表示左齿面实际啮合点与理想啮合点的误差矢量；

表示右齿面实际啮合点与理想啮合点的误差矢量；

表示由齿轮坐标系原点引向左齿面实际啮合点的矢量；

表示由齿轮坐标系原点引向右齿面实际啮合点的矢量；

表示由齿轮坐标系原点引向左齿面理想啮合点的矢量；

表示由齿轮坐标系原点引向右齿面理想啮合点的矢量；

端截面上，传动链误差造成的误差为

式中，

表示实际啮合点与理想啮合点的误差矢量；

β_bg表示齿轮螺旋角；

α_tg表示齿轮分度圆端面压力角；

s₁表示旋向；s₂用于区分左右齿面，符号为负表示过切削，实际啮合点在理论齿面内； 符号为正表示欠切削，实际啮合点在理论齿面外。

分析可知，同一时刻下的传动链误差会造成左右齿面反相的加工误差，即一个齿面过切 削，另一面欠切削。

(2)齿轮安装误差与齿面误差间的映射关系推导

当仅考虑齿轮安装误差时(把z轴转动误差也当做传动链误差忽略掉)，可将每个端截面 内的安装误差转换成端截面上的偏心e(l_z)，其与齿轮坐标系的角度为θ(l_z)。如图5所示，图 5为齿轮安装误差与齿面误差，该偏心可分解到机床X方向和机床Y方向，X方向上的偏心 等效为齿条与齿轮安装中心距的偏差a_xΔ；Y方向上的偏心等效于齿条在机床Y方向上反方 向的移动量a_yΔ：

式中，θ为偏心的角度位置。a_xΔ造成的齿条法向误差，也即齿面误差为：

同一时刻，a_xΔ造成的左右齿面误差表现相同，a_xΔ＜0时欠切削，a_xΔ＞0时过切削。

此外，值得注意的是，a_yΔ造成的齿面误差与传动链误差造成的齿面误差形式一致：

此时，偏心造成的总齿面误差为：

因此，若同时考虑传动链误差、齿轮安装误差，当工作台旋转角度为时，齿面误差的 计算表达式为：

(3)等效传动链误差补偿值计算

沿Z轴进给方向，将滚齿过程分解到若干端截面，在每个端截面内齿轮中心偏离轴心的 位置即为齿轮在该截面内的偏心量。滚齿过程中，滚刀和齿轮的重合度通常大于1，基于齿 轮旋转位置的补偿会同时影响到该时刻的每一个包络点，因此误差补偿时需考虑每个端截面 内齿轮转角对应的包络点位置。

如图6所示，图6为工件齿轮端截面，定义右齿面廓形为渐开线I，左齿面廓形为渐开线 II。

齿面上M点的坐标向量为：

式中r_bg为齿轮基圆半径；ε_g为齿轮渐开线角度，以s₃为ε_g的符号标识，左齿面上有ε_g＜0 且s₃＝1，右齿面上有ε_g＞0且s₃＝0；i为齿槽号；μ_g为该点所在渐开线的基圆转角位置(逆 时针为正，顺时针为负)，其值为：

式中α_tg为分度圆上的端面压力角；x_n为工件齿轮变位量。指向齿外部的单位法向量为：

取齿轮端截面坐标系为S_g(O_gx_gy_g)，易得端截面坐标系到工作台平面坐标系S_C(O_Cx_Cy_C) 的转换矩阵为：

因此，点M的法向量转换到工作台平面坐标系S_C(O_Cx_Cy_C)为：

T_Cg表示齿轮端截面坐标系S_g(O_gx_gy_g)到工作台平面坐标系S_C(O_Cx_Cy_C)的转换矩阵；

s₃表示为ε_g的符号标识，左齿面上有ε_g＜0且s₃＝1，右齿面上有ε_g＞0且s₃＝0；

表示齿轮端截面坐标系S_g(O_gx_gy_g)中点M的法向量；

齿条廓形的切向量为：

当齿轮旋转时，包络点处齿面单位法矢始终与滚刀截面的刃(齿条廓形)垂直，即有 每个齿上的解得：

式中k表示工件旋转圈数；ε_g∈[-r_ag/r_bg,r_ag/r_bg]时，得到处的包络点。

分截面检测每个齿的齿形误差，即可得到每个工件转角位置上左右齿面对应各包络点 处的误差：

式中，为m个右齿面包络点的齿面误差平均值；为n个左齿面包络点 的齿面误差平均值。

此时，左右齿面误差的均值等效于该截面上X向偏心分量造成的齿面误差：

根据上式可以计算得到e(l_z)和θ(l_z)。因此，依据步骤二(2)中揭示的齿轮安装误差与 齿面误差的映射关系，可计算得到Y向偏心分量及其造成的齿面误差。进而剥离出传动链误 差造成的齿面误差为：

第二次安装齿坯时，齿轮安装误差可以由其上下两个截面的偏心计算得到。若高度为l_z端 截面的等效偏心量为与工作台原点相位差为则有一圈内X向、Y向偏心分量为：

进行单侧齿面补偿时，以左齿面为例，若工件转角为等效传动链误差的补偿值ε^(c)为：

进行双侧齿面补偿时，需要考虑X方向上的补偿量，此时等效传动链误差补偿量ε^(c)和 X方向上的补偿量为：

当补偿位置仅限于左右齿面的包络点在分度圆上时，齿面误差补偿即为齿距误差补偿。

(4)等效传动链误差补偿方案

因此，在等效传动链误差的补偿量得到的基础上，可以基于工作台或滚刀轴的位置控制 的传动链误差补偿方法实现齿面误差消减。传动链误差补偿的具体方案为：使用测量误差系 统补偿(MSEC，螺距补偿)消除传动链误差中的谐波误差成分，使用软件轴补偿消除非谐 波误差成分，综合补偿方案如图7所示，图7为传动链误差综合补偿方案，系统具体包括软 件轴、电子齿轮箱、工作台、C轴电机、传动系统和测量误差补偿系统；

具体补偿方案为：滚齿加工中，传动链误差中的非谐波成分的补偿数据C₂(s)经由前馈控 制环节H₂(s)输入软件轴，与滚齿运动轴的理想控制数据X_SA(s)在数控系统中进行叠加，然 后输入电子齿轮箱中，计算出与之同步的C轴运动数据；同时，传动链误差中的谐波成分的 补偿数据C₁(s)经由前馈控制环节H₁(s)输入测量误差补偿系统(也即数控系统自带的螺距补 偿模块)中，与电子齿轮箱计算出的C轴运动数据进行二次叠加；最终将产生的控制信号输 入C轴电机，经由传动系统使得工作台进行误差补偿后的伺服运动，从而实现滚齿传动链误 差补偿。

软件轴：数控和伺服系统中常有不连接实际电机但可以接收速度、位置、加速度指令的 轴，称为软件轴，也称虚轴或虚拟轴。软件轴作为主动轴没有干扰和波动，通过比例关系或 非线性耦合关系控制从动轴。

电子齿轮箱：一种特殊的多轴同步运动控制技术，滚齿机中常用于替代机械内联传动链， 实现多个主运动一个从运动的运动关系。

测量系统误差补偿系统：也即数控系统中的螺距误差补偿模块，用于修正测得的轴位置 误差信号。

传动系统：滚齿机工作台的传动系统为多级齿轮减速传动，C轴电机伺服旋转后需经由 多级传动，实现工作台的转动。

其中，C₁(s)表示传动链误差中的谐波成分补偿数据；C₂(s)表示传动链误差中的非谐波 成分补偿数据。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限 于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范 围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。