阅读说明：本技术 一种磨齿关键误差高效补偿方法 (Efficient compensation method for gear grinding key errors ) 是由 夏长久 王时龙 肖雨亮 康玲 马驰 王四宝 周杰 黄筱调 于 2019-08-15 设计创作，主要内容包括：本发明公开了一种磨齿关键误差高效补偿方法,首先基于成形磨齿机床几何误差分布及机床实际运动链,构建磨齿加工实际前向运动学模型,反映几何误差影响下刀具坐标系中的刀具位姿与工件坐标系中的刀位数据间的函数关系；然后,基于实际逆向运动学补偿原理,推导误差补偿后的运动轴实际运动指令的解析表达式,揭示几何误差、理想刀位数据与实际运动指令间的映射规律；最后,根据共轭磨削原理,建立几何误差-齿面误差模型,计算评价实际齿廓、齿向精度,并针对齿廓偏差的关键误差源进行识别,对实际逆向运动学补偿方法进行简化,实现面向齿廓偏差消减的高效误差补偿。(The invention discloses a high-efficiency compensation method for key errors of gear grinding, which comprises the steps of firstly, constructing an actual forward kinematics model of gear grinding processing based on geometric error distribution of a forming gear grinding machine tool and an actual kinematic chain of the machine tool, and reflecting the functional relation between tool position and pose in a tool coordinate system and tool position data in a workpiece coordinate system under the influence of geometric errors; then, based on the actual reverse kinematics compensation principle, deducing an analytical expression of the actual motion command of the motion axis after error compensation, and revealing a mapping rule between the geometric error, the ideal tool bit data and the actual motion command; and finally, according to a conjugate grinding principle, establishing a geometric error-tooth surface error model, calculating and evaluating actual tooth profile and tooth direction accuracy, identifying a key error source of tooth profile deviation, simplifying an actual reverse kinematic compensation method, and realizing efficient error compensation facing tooth profile deviation reduction.)

一种磨齿关键误差高效补偿方法

技术领域

本发明涉及数控机床误差分析与精度控制技术领域，特别是一种磨齿关键误差高效补偿方法。

背景技术

数控成形磨齿机是一种用于齿轮精加工的专用机床，磨齿精度受多源误差协同影响，包括机床几何误差、热误差、力误差、伺服控制误差等。其中，几何误差被认为是准静态误差，不随时间变化或变化微小，可被补偿消除。

为补偿多轴机床几何误差，专家学者已提出大量方法，包括微分算子解耦方法、迭代回归计算方法、微分误差预测法等。现有误差补偿方法效率较低，且主要集中于求解刀具相对于工件的终端误差矢量，并不关注该终端误差矢量对加工工件的具体影响。

此外，也有学者提出针对普通五轴数控机床几何误差的实际逆向运动学补偿法，在后处理过程中实现几何误差补偿，该方法补偿效率较高。但成形磨齿机作为齿轮专用加工机床，虽然机床结构并不特殊，但是由于螺旋磨削、共轭接触等加工特征，以及齿轮精度评价指标具有特殊性等问题，目前暂未有针对成形磨齿机基于实际逆向运动学的几何误差补偿方法。

另外，现有的实际逆向运动学法是针对几何误差对刀位数据的影响进行补偿，由于不考虑实际磨齿过程，最终对单个磨齿精度评价指标的提升并不一定完全理想。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种磨齿关键误差高效补偿方法，可以推导误差补偿后的运动轴实际运动指令的解析表达式，揭示几何误差、理想刀位数据与实际运动指令间的映射规律；并针对齿廓精度、齿向精度等齿轮精度评价依据的关键误差源进行分析，从而对传统实际逆向运动学方法进行简化，实现对齿廓偏差、齿向偏差等磨齿误差高效补偿。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

本发明提供的磨齿关键误差高效补偿方法，包括以下步骤：

步骤一：成形磨削系统几何误差建模；

(1)成形磨削系统几何误差分析：根据成形磨齿机床基本结构确定机床全运动链及成形磨齿机几何误差；所述机床全运动链包括从RCS参考坐标系到WCS工件坐标系的工件链RCw和从RCS参考坐标系到TCS刀具坐标系的刀具链RXZAYt；

(2)构建实际前向运动学模型，具体如下：

建立工件链的实际前向运动学模型：

建立刀具链的实际前向运动学模型：

建立磨齿机床全运动链的实际前向运动学模型：

步骤二：基于实际逆向运动学的几何误差补偿方法

(1)基于实际逆向运动学补偿原理进行后续的误差补偿策略；

(2)获取旋转轴实际运动指令解析表达式：利用理想刀轴矢量数据与机床几何误差间的映射关系，求解旋转轴的实际运动指令解析表达式；

(3)获取直线轴实际运动指令解析表达式：根据求得旋转轴的实际运动指令解析表达式，利用理想刀具位置数据与机床几何误差间的映射关系，求解直线轴的实际运动指令解析表达式；

步骤三：关键误差识别及补偿模型简化

(1)几何误差-齿面误差模型

(2)对齿廓偏差、螺旋线偏差分别进行关键误差源的识别分析；

(3)关键误差高效补偿方法：根据运动轴的实际运动指令解析表达式，求得对应关键误差源补偿后的数控代码，实现齿廓偏差消减的高效误差补偿。

进一步，所述步骤一中的几何误差包括与位置无关的几何误差PIGEs和与位置相关的几何误差PDGEs。

进一步，所述实际前向运动学模型按照以下步骤构建：

计算相邻部件坐标系间的理想位姿变换矩阵：即通过顺序连乘安装矩阵T_pQN和运动矩阵T_mQN得到；

计算实际位姿变换矩阵：即通过顺序连乘安装矩阵T_pQN、安装误差矩阵T_peQN、运动矩阵T_mQN和运动误差矩阵T_meQN得到；

按照以下公式计算工件链的实际前向运动学模型：

其中，

表示WCS(工件坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

T_RC表示C轴坐标系到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

T_CW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的实际变换矩阵；

T_pRC表示C轴坐标系到RCS(参考坐标系)的安装矩阵；

T_peRC表示C轴坐标系到RCS(参考坐标系)的安装误差矩阵；

T_mRC表示C轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动矩阵；

T_meRC表示C轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动误差矩阵；

T_pCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的安装矩阵；

T_peCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的运动矩阵；

T_meCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的运动误差矩阵；

按照以下公式计算刀具链的实际前向运动学模型：

其中，

表示TCS(刀具坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

T_RX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

T_XZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的实际变换矩阵；

T_ZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的实际变换矩阵；

T_AY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的实际变换矩阵；

T_YT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的实际变换矩阵；

T_pRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的安装矩阵；

T_peRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的安装误差矩阵；

T_mRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动矩阵；

T_meRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动误差矩阵；

T_pXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的安装矩阵；

T_peXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的运动矩阵；

T_meXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的运动误差矩阵；

T_pZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的安装矩阵；

T_peZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动矩阵；

T_meZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动误差矩阵；

T_pAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的安装矩阵；

T_peAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的运动矩阵；

T_meAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的运动误差矩阵；

T_pYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的安装矩阵；

T_peYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的运动矩阵；

T_meYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的运动误差矩阵；

其中，

b₁₁～b₃₄表示矩阵运算后，各元素的值；

按照以下公式计算建立磨齿机床全运动链的实际前向运动学模型：

其中，

表示TCS(刀具坐标系)到WCS(工件坐标系)的实际变换矩阵；

表示WCS(工件坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

表示TCS(刀具坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

按照以下公式计算几何误差影响下的刀位数据：

其中，

Q′_w＝[i′,j′,k′]^T表示实际刀轴矢量数据；

P_w′＝[x′,y′,z′]^T表示实际刀尖位置数据；

Q_t表示TCS中的刀轴矢量；

P_t表示TCS中的刀尖位置；

i′,j′,k′表示实际刀轴矢量数据的x,y,z坐标；

x′,y′,z′表示实际刀尖位置数据的x,y,z坐标。

进一步，所述步骤二中的后续的误差补偿策略按照以下方式进行：

以保证理想刀位数据不变为目标，认为运动轴运动指令会受几何误差影响而发生改变，误差补偿后的实际运动指令值可以根据上式进行反向求解，从而求得实际加工代码，实现误差补偿。

进一步，所述步骤二中还包括以下步骤：

确定理想刀位数据，所述理想刀位数据包括刀具位置数据和刀轴矢量数据；

按照以下公式计算刀具位置数据和刀轴矢量数据间的映射关系：

其中，

表示TCS(刀具坐标系)到WCS(工件坐标系)的实际变换矩阵；

P_w＝[x,y,z]^T表示理想刀尖位置数据；

Q_w＝[i,j,k]^T表示理想刀轴矢量数据；

P_t＝[0,0,0]^T表示TCS中的刀尖位置；

Q_t＝[0,0,1]^T表示TCS中的刀轴矢量。

进一步，所述步骤二中的旋转轴实际运动指令解析表达式，按照以下方式得到：

利用理想刀轴矢量数据与机床几何误差间的映射关系，求解旋转轴的A轴实际运动指令和C轴实际运动指令；

按照以下公式计算A轴实际运动指令的解析表达式为：

其中，

A表示A轴实际运动指令；

arccos()表示反余弦函数；

ε_y(C)表示C轴运动y向角度误差；

ε_x(C)表示C轴运动x向角度误差；

ε_x(X)表示X轴运动x向角度误差；

ε_x(Y)表示Y轴运动x向角度误差；

ε_x(Z)表示Z轴运动x向角度误差；

ε_x(A)表示A轴运动x向角度误差；

S_YZ表示Y、Z轴间垂直度误差；

α_CY表示C轴安装x向角度误差；

表示正切角；

k表示理想刀轴矢量数据z坐标；

j表示理想刀轴矢量数据y坐标；

i表示理想刀轴矢量数据x坐标；

或者

按照以下公式计算C轴实际运动指令的解析表达式为：

其中，

C表示C轴实际运动指令；

arcsin()表示反正弦函数；

ε_y(Y)表示Y轴运动y向角度误差；

ε_y(A)表示A轴运动y向角度误差；

ε_y(Z)表示Z轴运动y向角度误差；

ε_y(X)表示X轴运动y向角度误差；

ε_y(C)表示C轴运动y向角度误差；

ε_z(C)表示C轴运动z向角度误差；

ε_z(Z)表示Z轴运动z向角度误差；

ε_z(X)表示X轴运动z向角度误差；

ε_x(C)表示C轴运动x向角度误差；

β_CX表示C轴安装y向角度误差；

S_ZX表示Z、X轴间垂直度误差；

β_AZ表示A轴安装y向角度误差；

γ_AY表示A轴安装z向角度误差；

或者

按照以下公式计算直线轴实际运动指令解析表达式，所述直线轴实际运动指令解析表达式包括Y轴实际运动指令的解析表达式和Z轴实际运动指令的解析表达式和X轴实际运动指令的解析表达式；

所述Y轴实际运动指令的解析表达式为：

Y＝{-sinC(x+zε_y(C)-yε_z(C)+δ_x(C))-cosC(y+xε_z(C)-zε_x(C)+δ_y(C))

-(δ_z(A)+δ_z(Y))sinA+(δ_y(A)+δ_y(Y))cosA+δ_y(X)+δ_y(Z)+δ_Ay-zε_x(X)

+zα_CY-δ_Cy}/((ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ)sinA-cosA)

其中，

Y表示Y轴实际运动指令；

x表示理想刀尖位置数据x坐标；

y表示理想刀尖位置数据y坐标；

z表示理想刀尖位置数据z坐标；

δ_x(C)表示C轴运动x向线性误差；

δ_y(C)表示C轴运动y向线性误差；

δ_z(A)表示A轴运动z向线性误差；

δ_z(Y)表示Y轴运动z向线性误差；

δ_y(A)表示A轴运动y向线性误差；

δ_y(Y)表示Y轴运动y向线性误差；

S_YZ表示Y、Z轴间垂直度误差；

α_CY表示C轴安装x向角度误差；

δ_y(X)表示X轴运动y向线性误差；

δ_y(Z)表示Z轴运动y向线性误差；

δ_Cy表示C轴安装y向线性误差；

δ_Ay表示A轴安装y向线性误差；

所述Z轴实际运动指令的解析表达式为：

Z＝{x(-cosA(ε_y(C)+β_CXcosC+(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)sinC)-sinA(sinC+ε_z(C)cosC))

+y(cosA(ε_x(C)+β_CXsinC-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)cosC)-sinA(cosC-ε_z(C)sinC))

+z(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY-ε_x(C)cosC+ε_y(C)sinC)sinA)

-cosA((δ_y(A)+δ_y(Y))sinA+(δ_z(A)+δ_z(Y))cosA+δ_z(X)+δ_z(Z)+δ_Az-δ_z(C))

+sinA((δ_y(A)+δ_y(Y))cosA-(δ_z(A)+δ_z(Y))sinA+δ_y(X)+δ_y(Z)+δ_Ay-δ_Cy-δ_y(C)cosC-δ_x(C)sinC)}

/(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-ε_x(X))sinA)

其中，

Z表示Z轴实际运动指令；

δ_z(X)表示X轴运动z向线性误差；

δ_z(Z)表示Z轴运动z向线性误差；

δ_z(C)表示C轴运动z向线性误差；

δ_Az表示A轴安装z向线性误差；

δ_y(C)表示C轴运动y向线性误差；

δ_x(C)表示C轴运动x向线性误差；

所述X轴实际运动指令的解析表达式为：

X＝x(cosC-ε_z(C)sinC)+y(-sinC-ε_z(C)cosC)+z(β_CX+ε_y(C)cosC+ε_x(C)sinC)

-Z(ε_y(X)+S_ZX)-Y((ε_y(X)+ε_y(Z)+S_ZX+β_AZ)sinA-(ε_z(X)+ε_z(Z)+γ_AY)cosA-S_YX-ε_z(A))

-(δ_x(X)+δ_x(Y)+δ_x(Z)+δ_x(A)-δ_Cx)+δ_x(C)cosC-δ_y(C)sinC

其中，

X表示X轴实际运动指令；

δ_x(X)表示X轴运动x向线性误差；

δ_x(Y)表示Y轴运动x向线性误差；

δ_x(Z)表示Z轴运动x向线性误差；

δ_x(A)表示A轴运动x向线性误差；

δ_Cx表示C轴安装x向线性误差；

δ_x(C)表示C轴运动x向线性误差；

δ_y(C)表示C轴运动y向线性误差；

ε_z(C)表示C轴运动z向角度误差；

ε_y(C)表示C轴运动y向角度误差；

ε_z(A)表示A轴运动z向角度误差；

S_YX表示Y、X轴间垂直度误差；

S_ZX表示Z、X轴间垂直度误差；

γ_AY表示A轴安装z向角度误差；

ε_z(Z)表示Z轴运动z向角度误差；

ε_z(X)表示X轴运动z向角度误差；

β_AZ表示A轴安装y向角度误差；

ε_y(Z)表示Z轴运动y向角度误差；

ε_y(X)表示X轴运动y向角度误差；

ε_y(X)表示X轴运动y向角度误差。

进一步，所述步骤三中的几何误差-刀具空间位姿误差模型是按照以下公式建立：

其中，

△i表示刀轴矢量数据x坐标误差；

△j表示刀轴矢量数据y坐标误差；

△k表示刀轴矢量数据z坐标误差；

△z表示刀尖位置数据z坐标误差；

△y表示刀尖位置数据y坐标误差；

△x表示刀尖位置数据x坐标误差；

Q′_w表示实际刀轴矢量数据；

P′_w表示实际刀尖位置数据；

Q_w表示理想刀轴矢量数据；

P_w表示理想刀尖位置数据；

表示TCS(刀具坐标系)到WCS(工件坐标系)的实际变换矩阵；

表示TCS(刀具坐标系)到WCS(工件坐标系)的理想变换矩阵；

Q_t表示TCS中的刀轴矢量；

P_t表示TCS中的刀尖位置。

进一步，所述几何误差-齿面位姿误差模型是通过以下公式建立的：

建立砂轮轴向廓形参数方程：

其中，

r^wap表示砂轮轴向廓形；

表示砂轮轴向廓形x坐标；

表示砂轮轴向廓形y坐标；

η表示砂轮轴向廓形参数，

φ表示砂轮轴向廓形的回转角度，

r^wt表示TCS中的砂轮廓形，其中第一个上标指代砂轮，第二个上标表示TCS；

建立TCS中的砂轮曲面双参数方程：

其中，

表示TCS中的砂轮廓形x坐标；

表示TCS中的砂轮廓形y坐标；

表示TCS中的砂轮廓形z坐标；

r^wt表示TCS中的砂轮廓形；

按照以下公式计算TCS中的砂轮曲面的单位法矢：

n^wt表示TCS中的砂轮单位法矢；

表示r^wt对η的偏导；

表示r^wt对φ的偏导；

按照以下公式计算WCS中砂轮曲面参数方程：

其中，

r^wwi表示WCS中的砂轮理想廓形；

n^wwi表示WCS中的砂轮理想单位法矢；

表示TCS(刀具坐标系)到WCS(工件坐标系)的理想变换矩阵；

r^wt表示TCS中的砂轮廓形；

n^wt表示TCS中的砂轮单位法矢；

r^wwa表示WCS中的砂轮实际廓形；

n^wwa表示WCS中的砂轮实际单位法矢；

表示TCS(刀具坐标系)到WCS(工件坐标系)的实际变换矩阵；

r^wt表示TCS中的砂轮廓形；

n^wt表示TCS中的砂轮单位法矢；

r和n的第一个上标指代砂轮，第二个上标表示WCS，第三个上标表示理想状态i或实际状态a；

按照以下公式计算磨削接触点：

f＝(k^gw×r^ww+pk^gw)·n^ww＝0

其中，

k^gw表示WCS中的齿轮轴线；

r^ww表示从WCS原点到砂轮曲面上一点的径矢；

p表示螺旋参数；

n^ww表示WCS中砂轮曲面上的一点的单位法矢；

按照以下公式计算齿面数值模型：

其中，

r^gw表示齿面坐标向量；

n^gw表示齿面单位法矢；

表示第k条接触线上第j个离散点的坐标向量；

表示第k条接触线上第j个离散点的单位法矢；

λ表示磨削形成的齿面的接触线构成条数；

N表示接触线上的离散接触点构成个数；

按照以下公式建立齿面位姿误差模型：

其中，

δ_TS表示齿面位置误差；

ε_TS表示齿面姿态误差；

δ_x,δ_y,δ_z表示齿面位置x,y,z向误差；

ε_x,ε_y,ε_z表示齿面姿态x,y,z向误差；

r^gwa表示实际齿面坐标向量；

n^gwa表示实际齿面单位法矢；

r^gwi表示理想齿面坐标向量；

n^gwi表示理想齿面单位法矢。

按照以下公式建立齿面法向误差模型：

δn＝dot(δ_TS,n^gwi)＝dot(r^gwa-r^gwi,n^gwi)

其中，

δn表示齿面法向误差；

n^gwi表示理想齿面单位法矢；

dot()表示点积运算；

r^gwa表示实际齿面坐标向量；

n^gwi表示理想齿面单位法矢。

进一步，所述齿廓偏差的关键误差源的识别分析具体步骤如下：

1)基于采样序列生成随机采样矩阵H_N×2m；

其中，N表示每项误差的采样数，m表示误差数量；

2)根据随机采样矩阵H_N×2m构建几何误差输入矩阵A_N×m、B_N×m和A_B ⁱ _N×m；

将H_N×2m的前m列作为矩阵A，后m列作为矩阵B，并构建m个衍生矩阵A_B ⁱ；

3)将输入矩阵的每一行作为一组几何误差参数，共有N(m+2)组；

并将由A、B和A_B ⁱ拆解出的每一组误差分别带入齿廓偏差模型F_α＝f(G)中，

其中，G表示几何误差集合，

计算N(m+2)次，得到相应的齿廓偏差f(A)、f(B)、f(A_B ⁱ)；

最后，利用蒙特卡洛估计式计算几何误差元素的敏感指数，包括一阶敏感指数S_i和全局敏感指数S_Ti：

其中，

S_i表示第i个误差元素的一阶敏感指数；

S_Ti表示第i个误差元素的全局敏感指数；

V表示误差模型输出总方差；

f(B)_j表示矩阵B第j行输入误差对应的齿廓偏差；

表示矩阵第j行输入误差对应的齿廓偏差；

f(A)_j表示矩阵A第j行输入误差对应的齿廓偏差；

N表示每项误差的采样数。

本发明的有益效果在于：

本发明提供了一种磨齿关键误差高效补偿方法，首先基于成形磨齿机床几何误差分布及机床实际运动链，构建磨齿加工实际前向运动学模型，反映几何误差影响下刀具坐标系中的刀具位姿与工件坐标系中的刀位数据间的函数关系；然后，基于实际逆向运动学补偿原理，推导误差补偿后的运动轴实际运动指令的解析表达式，揭示几何误差、理想刀位数据与实际运动指令间的映射规律；最后，根据共轭磨削原理，建立几何误差-齿面误差模型，计算评价实际齿廓、齿向精度，并针对齿廓偏差的关键误差源进行识别，对实际逆向运动学补偿方法进行简化，实现面向齿廓偏差消减的高效误差补偿。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为成形磨齿机结构简图。

图2为机床全运动链及41项几何误差示意图。

图3为关键误差识别流程图。

图4为齿廓偏差的误差源敏感指数示意图。

图5为磨齿关键误差高效补偿方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

如图5所示，本实施例提供的一种磨齿关键误差高效补偿方法，包括以下步骤：

步骤一：成形磨削系统几何误差建模；

(1)成形磨削系统几何误差分析

如图1所示的tYAZXRCw型五轴成形磨齿机床基本结构，包括X、Y、Z三直线运动轴和两旋转轴，R表示机床基座，t表示刀具，也即砂轮，w表示工件齿轮。

机床全运动链由从RCS(参考坐标系)到WCS(工件坐标系)的工件链RCw，从RCS到TCS(刀具坐标系)的刀具链RXZAYt构成。

将X轴设为无安装误差的基本轴，Z设为副轴，机床坐标系(参考坐标系)的原点设为各运动轴处于零位时，A和C旋转轴的中心线交点。在对五个运动轴、机座、工件、刀具都配置相应子坐标系的基础上，考虑如表1所示的位置无关几何误差(PIGEs)和位置相关几何误差(PDGEs)，机床实际全运动链如图2所示，图2为机床全运动链及41项几何误差。

表1成形磨齿机几何误差元素

其中，

δ_x(X),δ_y(X),δ_z(X)表示X轴运动x,y,z向线性误差；

δ_x(Y),δ_y(Y),δ_z(Y)表示Y轴运动x,y,z向线性误差；

δ_x(Z),δ_y(Z),δ_z(Z)表示Z轴运动x,y,z向线性误差；

δ_x(A),δ_y(A),δ_z(A)表示A轴运动x,y,z向线性误差；

δ_x(C),δ_y(C),δ_z(C)表示C轴运动x,y,z向线性误差；

ε_x(X),ε_y(X),ε_z(X)表示X轴运动x,y,z向角度误差；

ε_x(Y),ε_y(Y),ε_z(Y)表示Y轴运动x,y,z向角度误差；

ε_x(Z),ε_y(Z),ε_z(Z)表示Z轴运动x,y,z向角度误差；

ε_x(A),ε_y(A),ε_z(A)表示A轴运动x,y,z向角度误差；

ε_x(C),ε_y(C),ε_z(C)表示C轴运动x,y,z向角度误差；

S_YX,S_YZ表示Y、X轴间垂直度误差和Y、Z轴间垂直度误差；

S_ZX表示Z、X轴间垂直度误差；

δ_Ay,δ_Az,β_AZ,γ_AY表示A轴安装y,z向线性误差和C轴安装y,z向角度误差；

δ_Cx,δ_Cy,α_CY,β_CX表示C轴安装x,y向线性误差和C轴安装x,y向角度误差；

(2)构建实际前向运动学模型

若相邻部件坐标系间(例N到Q坐标系)的理想位姿变换矩阵可由顺序连乘安装矩阵T_pQN、运动矩阵T_mQN得到。

实际位姿变换矩阵可由顺序连乘安装矩阵T_pQN、安装误差矩阵T_peQN、运动矩阵T_mQN、运动误差矩阵T_meQN获得。

则针对工件链(RCw)而言，WCS相对于RCS的实际变换矩阵，也即工件链的实际前向运动学模型为：

同理，可以建立刀具链的实际前向运动学模型，也即TCS相对于RCS的实际变换矩阵：

其中，

对刀具链和工具链的实际前向运动学模型进行整合，可以建立磨齿机床全运动链的实际前向运动学模型，也即TCS相对于WCS的实际变换矩阵：

由此，可知TCS相对于WCS的实际变换矩阵实质上是一个以运动轴理想运动指令和几何误差为自变量的矩阵函数。

若将其与TCS中的刀尖位置P_t和刀轴矢量Q_t相乘，即可得到几何误差影响下的刀位数据：

其中，P′_w＝[x′,y′,z′]^T和Q′_w＝[i′,j′,k′]^T分别表示实际刀尖位置和实际刀轴矢量。

步骤二：基于实际逆向运动学的几何误差补偿方法

(1)实际逆向运动学补偿原理

步骤一实际提供了一种考虑几何误差影响的实际刀位数据显式计算方法，可以通过已知的运动轴理想运动指令和测量标定的几何误差求解实际刀位数据。

后续的误差补偿策略通常为：先计算实际刀位数据和理想刀位数据间的误差矢量，然后在不改变理想加工代码的基础上，添加一个与该矢量大小相等、方向相反的补偿矢量，并反向求解出相应的补偿加工代码，从而实现误差补偿，提升加工精度。

为简化误差补偿的计算流程，提高补偿效率，本实施例中以保证理想刀位数据不变为目标，运动轴运动指令会受几何误差影响而发生改变，误差补偿后的实际运动指令值可以根据上式反向求解得到，从而求得实际加工代码，实现误差补偿。

因此，理想刀位数据被先行给定，包括刀具位置数据和刀轴矢量数据，也即刀尖位置P_w＝[x,y,z]^T和刀轴矢量Q_w＝[i,j,k]^T。同时，TCS中的刀尖位置和刀轴矢量分别为P_t＝[0,0,0]^T和Q_t＝[0,0,1]^T，则两者间的映射关系可表示为：

也即，

(2)旋转轴实际运动指令解析表达式推导

考虑到刀轴矢量数据不受直线轴运动影响，先利用理想刀轴矢量数据与机床几何误差间的映射关系，分离求解旋转轴的实际运动指令A和C，

也即，

其中，

表示WCS(工件坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

表示TCS(刀具坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

若将C轴运动矩阵函数分离转换到等式左边，化简可得

其中，

T_mCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的运动矩阵；

T_meCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的运动误差矩阵；

T_peCW表示WCS(工件坐标系)到C轴坐标系的安装误差矩阵；

因此，可得：

(T_mCWT_meCW)[i,j,k,0]^T＝[b₁₃-b₃₃β_CX,b₂₃+b₃₃α_CY,b₃₃+b₁₃β_CX-b₂₃α_CY,0]^T

由于等式左边是只与C轴旋转运动相关的矩阵函数，根据旋转不变理论，可知刀轴矢量的z向数据不受C轴旋转运动影响。

因此，可将式中z向刀轴矢量的计算公式单独提取出来，并省略二阶及以上高阶项，得到只与运动指令A相关的等式，

-ε_y(C)i+ε_x(C)j+k＝cosA-(ε_x(X)+ε_x(Y)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)sinA

根据辅助角公式及三角反函数可得，实际A轴运动指令的解析表达式为：

其中，

同理，若将A轴运动矩阵函数分离转换到等式右边，化简可得：

其中，

T_peZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动矩阵；

T_meZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动误差矩阵；

表示TCS(刀具坐标系)到A轴坐标系的实际变换矩阵；

表示WCS(工件坐标系)到RCS(参考坐标系)的实际变换矩阵；

由于等式右边是只与A轴旋转运动相关的矩阵函数，根据旋转不变理论，可知刀轴矢量的x向数据不受A轴旋转运动影响。因此，可将式中x向刀轴矢量的计算公式单独提取出来，并省略二阶及以上高阶项，得到只与运动指令C相关的等式，

[(i(ε_z(X)+ε_z(Z)+γ_AY-ε_z(C))-j+kε_x(C))]sinC+

[i+j(ε_z(X)+ε_z(Z)+γ_AY-ε_z(C))+kε_y(C)]cosC

＝ε_y(Y)+ε_y(A)-k(β_CX-ε_y(X)-ε_y(Z)-S_ZX-β_AZ)

根据辅助角公式及三角反函数可得，

sin(C+φ)＝ε_y(Y)+ε_y(A)-k(β_CX-ε_y(X)-ε_y(Z)-S_ZX-β_AZ)

其中，

从而，可得实际C轴运动指令解析表达式为：

(3)直线轴实际运动指令解析表达式推导

基于已经求得旋转轴的实际运动指令，利用理想刀具位置数据与机床几何误差间的映射关系，求解直线轴的实际运动指令：

也即，

其中，

T_pRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的安装矩阵；

T_peRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的安装误差矩阵；

T_mRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动矩阵；

T_meRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动误差矩阵；

T_pXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的安装矩阵；

T_peXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的运动矩阵；

T_meXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的运动误差矩阵；

T_pZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的安装矩阵；

T_peZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动矩阵；

T_meZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动误差矩阵；

T_pAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的安装矩阵；

T_peAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的运动矩阵；

T_meAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的运动误差矩阵；

T_pYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的安装矩阵；

T_peYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的运动矩阵；

T_meYT表示TCS(刀具坐标系)到Y轴坐标系的运动误差矩阵。

基于分块计算的平移特征分离理论，可将其化为：

T_meRX表示X轴坐标系到RCS(参考坐标系)的运动误差矩阵；

T_peXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的安装误差矩阵；

T_meXZ表示Z轴坐标系到X轴坐标系的运动误差矩阵；

T_peZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的安装误差矩阵；

T_mZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动矩阵；

T_meZA表示A轴坐标系到Z轴坐标系的运动误差矩阵；

T_peAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的安装误差矩阵；

T_meAY表示Y轴坐标系到A轴坐标系的运动误差矩阵；

若设

其中，

f₁₁～f₃₄表示T_meRXT_peXZ矩阵运算后，各矩阵元素的值；

g₁₁～g₃₄表示表示T_meRXT_peXZT_meXZT_peZAT_mZAT_meZAT_peAY矩阵运算后，各矩阵元素的值；

h₁₁～h₃₄表示表示上述矩阵连乘后，得到的各矩阵元素的值；

可得，

将其展开为多项式方程组，可得：

根据上式，可以得出含误差的直线轴运动指令(X、Y、Z)的解析表达式。

由于f₃₃＝1,f₂₃＝-ε_x(X)，则③×f₂₃-②，并省略二阶以上高阶项，可得：

x(f₂₃a₃₁-a₂₁)+y(f₂₃a₃₂-a₂₂)+z(f₂₃a₃₃-a₂₃)+(f₂₃a₃₄-a₂₄)-f₂₃h₃₄+h₂₄＝Y(f₂₃g₃₂-g₂₂)

因此，Y轴实际运动指令的解析表达式为：

Y＝{-sinC(x+zε_y(C)-yε_z(C)+δ_x(C))-cosC(y+xε_z(C)-zε_x(C)+δ_y(C))

-(δ_z(A)+δ_z(Y))sinA+(δ_y(A)+δ_y(Y))cosA+δ_y(X)+δ_y(Z)+δ_Ay-zε_x(X)

+zα_CY-δ_Cy}/((ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ)sinA-cosA)

由③×g₂₂-②×g₃₂，并省略二阶以上高阶项，可得：

x(-cosA(ε_y(C)+β_CXcosC+(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)sinC)-sinA(sinC+ε_z(C)cosC))

+y(cosA(ε_x(C)+β_CXsinC-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)cosC)-sinA(cosC-ε_z(C)sinC))

+z(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY-ε_x(C)cosC+ε_y(C)sinC)sinA)

-cosA((δ_y(A)+δ_y(Y))sinA+(δ_z(A)+δ_z(Y))cosA+δ_z(X)+δ_z(Z)+δ_Az-δ_z(C))

+sinA((δ_y(A)+δ_y(Y))cosA-(δ_z(A)+δ_z(Y))sinA+δ_y(X)+δ_y(Z)+δ_Ay-δ_Cy-δ_y(C)cosC-δ_x(C)sinC)

＝Z(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-ε_x(X))sinA)

因此，Z轴实际运动指令的解析表达式为：

Z＝{x(-cosA(ε_y(C)+β_CXcosC+(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)sinC)-sinA(sinC+ε_z(C)cosC))

+y(cosA(ε_x(C)+β_CXsinC-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY)cosC)-sinA(cosC-ε_z(C)sinC))

+z(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-α_CY-ε_x(C)cosC+ε_y(C)sinC)sinA)

-cosA((δ_y(A)+δ_y(Y))sinA+(δ_z(A)+δ_z(Y))cosA+δ_z(X)+δ_z(Z)+δ_Az-δ_z(C))

+sinA((δ_y(A)+δ_y(Y))cosA-(δ_z(A)+δ_z(Y))sinA+δ_y(X)+δ_y(Z)+δ_Ay-δ_Cy-δ_y(C)cosC-δ_x(C)sinC)}

/(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)+S_YZ-ε_x(X))sinA)

基于已求得的Y、Z轴实际运动指令，根据式①可得：

X＝xa₁₁+ya₁₂+za₁₃+a₁₄-h₁₄-Zf₁₃-Yg₁₂

因此，X轴实际运动指令的解析表达式为：

X＝x(cosC-ε_z(C)sinC)+y(-sinC-ε_z(C)cosC)+z(β_CX+ε_y(C)cosC+ε_x(C)sinC)

-Z(ε_y(X)+S_ZX)-Y((ε_y(X)+ε_y(Z)+S_ZX+β_AZ)sinA-(ε_z(X)+ε_z(Z)+γ_AY)cosA-S_YX-ε_z(A))

-(δ_x(X)+δ_x(Y)+δ_x(Z)+δ_x(A)-δ_Cx)+δ_x(C)cosC-δ_y(C)sinC

至此，数控成形磨齿机床五个运动轴的实际运动指令与几何误差及理想刀位数据的映射规律均已清楚表示。在理想刀位数据被给定且机床几何误差被有效标定的前提下，可根据上述解析表达式直接求得带误差补偿的实际数控加工指令，从而实现误差补偿。

步骤三：关键误差识别及补偿模型简化

(1)几何误差-齿面误差模型

数控成形磨齿前向运动学模型描述的是齿轮与砂轮坐标系间的位置、姿态间的变换关系。若将考虑几何误差的实际情形与忽略误差影响的理想状态进行作差比较，再与TCS中的砂轮中心位置和姿态的齐次坐标作乘积，即可建立磨齿机床的几何误差-刀具空间位姿误差模型，也即WCS中砂轮与齿坯间的相对位姿误差：

考虑到几何误差-刀具空间误差模型忽略了刀具与工件曲面间的切削运动干涉对加工效果的影响，需要基于实际磨削过程中的材料去除机理，进一步构建从刀具空间误差到齿面位姿误差的映射模型，从而建立更能直接反应几何误差对齿面位姿误差影响的几何误差-齿面位姿误差模型。

根据共轭磨削原理，以η表示砂轮轴向廓形参数，建立砂轮轴向廓形参数方程：

以φ表示砂轮轴向廓形的回转角度，r^wt表示砂轮廓形参数方程，其中第一个上标指代砂轮，第二个上标表示TCS，则可建立TCS中的砂轮曲面双参数方程：

其中，

由此可得，TCS中的砂轮曲面的单位法矢为：

基于前向运动学模型所建立的齿轮与砂轮坐标系间的变换关系，可以得到理想情况下和实际状态下，WCS中砂轮曲面参数方程为：

其中，r和n的第一个上标指代砂轮，第二个上标表示WCS，第三个上标表示理想状态i或实际状态a。

在砂轮已知时，砂轮和齿轮的共轭磨削接触条件可表示为：从WCS原点向砂轮回转面上的一点作径矢r^ww，如果这一点绕齿轮轴线k^gw作螺旋运动时的线速度矢量与其在砂轮曲面上的法线n^ww垂直，则该点就是磨削接触点。

f＝(k^gw×r^ww+pk^gw)·n^ww＝0

分别将理想和实际状态下的r^ww和n^ww带入上式，可以通过将磨削轨迹离散化，并采用二分法求得磨削接触线的数值解。若磨削形成的齿面由λ条接触线构成，而每条接触线由n个离散接触点构成，则齿面数值模型可表示为：

可将实际状态和理想状态下齿面进行作差比较，建立齿面位姿误差模型，

基于几何误差-齿面位姿误差模型，可将齿面位置误差与理想齿面法矢进行点积运算，从而建立齿面法向误差模型，也即

δn＝dot(δ_TS,n^gwi)＝(r^gwa-r^gwi,n^gwi)

由于磨削齿面由含n个离散点的λ条接触线共同构成，若将第k条接触线的法向误差旋转变换到齿轮端截面上，便可获得相应的齿廓偏差曲线，进一步分析可得到齿廓总偏差(F_α)、齿廓形状偏差(f_fα)和齿廓斜率偏差(f_Hα)等评价指标；若将λ条接触线上的所有第j点的法向误差单独提取出来，便可获得相应的螺旋线偏差曲线，进一步分析可得到螺旋线总偏差(F_β)、螺旋线形状偏差(f_fβ)和螺旋线斜率偏差(f_Hβ)等评价指标。

(2)关键误差源识别流程

如图3所示，图3为关键误差识别流程，根据Sobol法，可针对齿廓偏差、螺旋线偏差分别进行关键误差源的识别分析，以齿廓偏差的关键误差源分析为例。

1)基于采样序列生成随机采样矩阵H_N×2m，该矩阵是考虑输入误差几何项的概率分布构造的。其中，N表示每项误差的采样数，m表示误差数量。

2)根据随机采样矩阵H_N×2m构建几何误差输入矩阵A_N×m、B_N×m和A_B ⁱ _N×m。将H_N×2m的前m列作为矩阵A，后m列作为矩阵B，并构建m个衍生矩阵A_B ⁱ，它除了第i列等于B的第i列外，其余的列来自于A。

3)将输入矩阵的每一行作为一组几何误差参数，共有N(m+2)组。并将由A、B和A_B ⁱ拆解出的每一组误差分别带入齿廓偏差模型F_α＝f(G)中，G表示几何误差集合，计算N(m+2)次，得到相应的齿廓偏差f(A)、f(B)、f(A_B ⁱ)。最后，利用蒙特卡洛估计式计算几何误差元素的敏感指数，包括一阶敏感指数S_i和全局敏感指数S_Ti。

比较齿廓偏差的几何误差元素的全局敏感指数大小，即可判断齿廓总偏差的关键误差源。

(3)关键误差高效补偿方法

如图4所示，基图4为齿廓偏差的误差源敏感指数，于识别出的关键误差源，忽略其他几何误差影响，对误差补偿模型进行简化。例如，齿廓偏差的几何误差源敏感指数。该图横坐标表示误差序号，但不计Y轴几何误差；纵坐标表示误差敏感指数。

若以0.05为敏感阈值，初步判断出齿廓偏差的关键误差序号为：4、10、17、27、28、29、32、33，也即几何误差项ε_x(X)、ε_x(Z)、ε_x(A)、ε_x(C)、ε_y(C)、ε_z(C)、α_CY、β_CX。

由此，可将步骤二(2)、(3)中的旋转轴、直线轴的实际运动指令解析表达式简化为：

其中，

其中，

Y＝{-sinC(x+zε_y(C)-yε_z(C))-cosC(y+xε_z(C)-zε_x(C))-zε_x(X)+zα_CY}

/((ε_x(Z)+ε_x(A))sinA-cosA)

Z＝{x(-cosA(ε_y(C)+β_CXcosC+(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)-α_CY)sinC)-sinA(sinC+ε_z(C)cosC))

+y(cosA(ε_x(C)+β_CXsinC-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)-α_CY)cosC)-sinA(cosC-ε_z(C)sinC))

+z(cosA-(ε_x(X)+ε_x(Z)+ε_x(A)-α_CY-ε_x(C)cosC+ε_y(C)sinC)sinA)}

/(cosA-(ε_x(Z)+ε_x(A))sinA)

X＝x(cosC-ε_z(C)sinC)+y(-sinC-ε_z(C)cosC)+z(β_CX+ε_y(C)cosC+ε_x(C)sinC)

根据上述简化后的运动轴的实际运动指令解析表达式，可以求得相应关键误差补偿后的数控代码，替代原代码运行，即可实现针对齿廓偏差消减的高效误差补偿。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。