发明内容

本发明人针对上述问题及技术需求，提出了一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法，将对数量化器与编码解码机制相结合设计了量化编码解码器，以迭代的方式实现信号精确传输，采用范数优化算法框架设计量化迭代学习控制算法，根据压缩映射法得到系统的鲁棒有界收敛条件。

本发明的技术方案如下：

一种永磁直线电机有限级量化迭代学习控制方法，包括如下步骤：

第一步、建立永磁直线电机的动态模型：

动态模型采用下述动力学方程表示：

其中，R表示定子电阻，m表示电机动子部分的总质量，ψ_f表示定子永磁体励磁磁链，k₁＝π/τ，k₂＝1.5π/τ，τ表示极距，u(t)表示动子电压，p(t)表示电机位置，ω(t)表示电机动子速度；

第二步、构建永磁直线电机的离散状态空间方程：

选取满足香农采样定理采样周期T_s，使用欧拉法对连续系统模型式(1)进行离散化，得到永磁直线电机的离散系统模型如下：

将永磁直线电机的位置、动子速度定义为状态变量：x＝[p ω]^T，定义输入变量为动子电压u，输出为电机转速ω，则式(1)所示的永磁直线电机的动态模型描述为：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；u_k(t)，y_k(t)和x_k(t)分别是该系统第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散系统各个参数矩阵，且满足CB≠0；并且假设系统每个批次的初始状态一致，即x_k(0)＝x₀；

第三步、建立轨迹跟踪模型：

针对式(3)形式的线性离散系统，将其状态空间表达式转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_k＝Gu_k+d_k (4)

其中：

d_k＝[CA CA² CA³ … CA^N]^Tx_k(0)

u_k＝[u_k(0),u_k(1),...,u_k(N-1)]^T

y_k＝[y_k(1),y_k(2),...,y_k(N)]^T

G是时间序列上的输入输出传递矩阵；d_k是系统初始状态对输出的影响，假设x_k(0)＝0,则d_k＝0；

第四步、设计量化编码解码器：

在采用网络传输信号的系统中，由于网络带宽有限，需要在减少传输的信息量条件下实现精确跟踪轨迹的目标，因此可对信号进行量化处理，设计输入端量化编码解码器如下：

其中，0表示与系统输入具有相同维度的零向量，u_k(t)、和分别为编码器E₁的输入、输出和内部状态；是解码器D₁的输出，即控制器输出u_k(t)的估计值；q(·)是由式(7)定义的有限级对数量化器：

其中，v表示有限级对数量化器的输入；μ为所选择的量化密度，量化水平如下：

Z＝{±z_i|z_i＝μⁱz₀,i＝0,1,2,…,L-1}∪{0},0<μ<1,z₀>0

其中，L表示正量化级数，z₀>0表示最大允许级别，实际应用中可选择足够大的z₀使得避免量化器饱和以简化控制器设计；

设计输出端量化编码解码器如下：

其中，0表示与系统输出具有相同维度的零向量，y_k(t)、和分别为编码器E₂的输入、输出和内部状态；是解码器D₂的输出，即系统输出y_k(t)的估计值；q(·)是由式(7)定义的有限级对数量化器，输入端有限级对数量化器的参数设置与输出端有限级对数量化器的参数设置可以不同；

第五步、建立量化前后信号的关系表达式：

有限级对数量化器输入v与输出q(v)存在量化误差Δv，为了便于控制器的设计，需要给出输入v与输出q(v)之间的关系；当时，根据扇形有界得到q(v)＝v+η·v＝(1+η)v,|η|≤δ；当时可得因此得到有限级对数量化器输入v与输出q(v)的关系式如下：

q(v)＝(1+η)v+d (10)

其中，η表示相对量化误差，满足|η|≤δ；d表示传输误差，满足

对于k批次t时刻的信号有：

q(v_k(t))＝(1+η_k(t))v_k(t)+d_k(t) (11)

其中，η_k(t)表示k批次t时刻信号的相对量化误差，d_k(t)表示k批次t时刻信号的传输误差；

根据输入端量化编码解码器的定义与式(11)，得到：

根据数学归纳法有成立，于是与u_k+1(t)的关系式为：

将式(13)提升为向量形式，得到与u_k+1的向量关系式为：

其中：

根据输出端量化编码解码器的定义得到与y_k+1的向量关系式为：

其中：

相对量化误差独立于量化器输入，因此对于任意的k批次t时刻有E[v_k(t)η_k(t)]＝0；不同量化器产生的相对量化误差也是相互独立的，即i≠j且i,j∈{1,2}；而在相同的量化器中，相对量化误差η_k(t)在区间[-δ，δ]内均匀分布且对于任意k₁，k₂和t₁，t₂满足：

其中，因此，通过取数学期望的方式化简含有和的表达式；

系统中存在实际跟踪误差e_k+1＝y_d-y_k+1与辅助校正误差真正体现系统跟踪性能的是实际跟踪误差，控制器使用辅助校正误差修正当前批次输入信号；根据得到：

因此，建立当前实际跟踪误差序列与前一批次辅助校正误差序列的关系式：

其中，定义为传输误差，β的取值与两侧量化器的参数选择有关，若输入输出端量化器选择的参数相同，则简化为

第六步、设计量化迭代学习控制轨迹跟踪优化算法：

考虑范数最优迭代学习控制框架，每批次的控制输入通过优化一个性能指标函数得到，性能指标函数的一般形式为：

性能指标函数包括实际跟踪误差和控制振荡，在优化过程中，分别用对称正定权重矩阵Q和R来表示其优先级，即Q＝Q^T>0，R＝R^T>0；

取权重矩阵Q＝qI，R＝rI，并且诱导范数被定义为如下形式：

中不包含随机变量，因而其期望等于其本身；

定义Ξ＝σ²diag(γ₁₁,γ₂₂,…,γ_NN)，根据式(18)得到：

其中Ξ与σ²I都是对称正定矩阵；将式(20)代入性能指标函数式(19)得到：

有限级量化迭代学习控制更新律通过求解一个具有混合参数的优化问题得到，具体形式为：

为了解决式(22)的最小-最大化问题，利用拉格朗日对偶函数将最小-最大化问题转化为最小-最小化问题；因此，将最小-最大化问题重新表述为一个凸优化问题，从而保证全局最优解；

首先考虑关于传输误差w_k+1的最大化问题，因为性能指标函数(21)只有第一项与w_k+1有关，因此优化式(22)内部的最大化问题表示为：

最大化问题具有很强的对偶性；由于式(23)是带有约束的最大化问题，引入拉格朗日乘子λ_k+1，得到如下拉格朗日函数：

其中，拉格朗日乘子λ_k+1≥0，根据KKT条件，通过对w_k+1和λ_k+1进行微分从而得到最优解，并用和表示最优解得到：

为了保证原性能指标函数的凸优化要求，拉格朗日函数(24)的海森矩阵应是负半定的，即因此可逆，用表示其伪逆，则有：

是下列方程的解：

由式(26)和式(27)可以看出，最优解和的取值均依赖于u_k+1，得到L(w_k+1,λ_k+1)的对偶函数为：

将最大化问题(23)转化成对偶函数g(λ_k+1)的最小化问题，即：

其中g(λ_k+1)的具体表达式为：

将原始优化问题(22)外部的最小化问题与最小化问题(29)相结合，得到新的对偶函数，即原始优化问题(22)的最小化-最大化问题转化如下最小化-最小化问题：

其中J_dual(u_k+1,λ_k+1)表示新的对偶性能指标函数且为凸函数，且有：

由于式(32)是凸函数，因此存在有效的数值算法来计算式(31)的全局最优解；其中最小化问题是关于λ_k+1的凸优化问题，因此最优解由对偶函数通过对λ_k+1微分得到，得到：

其中，当时，Q_k+1是正定矩阵；

对u_k+1进行微分得到：

由于(G^TQ_k+1G+Ξ+R)可逆，将式(34)整理后得到有限级量化迭代学习控制更新律为：

其中：

增益矩阵Q_k+1随批次改变，其值取决于优化问题(31)的解

第七步、分析量化迭代学习轨迹跟踪优化算法的收敛性：

对于期望跟踪轨迹y_d，存在一个理想的输入u_d满足y_d＝Gu_d，定义则对于k+1批次有：

将控制更新律(35)代入式(37)，得到：

根据输入端信号的关系式，得到辅助校正误差的等价形式为：

由于是可逆矩阵，根据有：

将式(39)、式(40)代入式(38)整理得到：

对式(41)两边取期望得到：

根据式(36)得到I-K_u-K_ζ＝0，令对式(42)两边取范数，得到E(Δu_k+1)的不等式为：

||E(Δu_k+1)||≤||K_u-K_eG+K_ζ||||E(Δu_k)||+b (43)

系统经过k次迭代后，E(Δu_k+1)的不等式转化为：

若选择的权重矩阵与量化密度使得约束条件成立：

||K_u-K_eG+K_ζ||≤ρ<1 (45)

根据压缩映射引理得到因此式(43)简化为：

记||G||＝c，根据E(e_k)＝GE(Δu_k)得到：

即期望意义下的误差范数||E(e_k)||收敛至一个有界值；

第八步、利用量化编码解码器的量化信号实现永磁直线电机的轨迹跟踪：

根据有限级量化迭代学习控制律确定永磁直线电机每一迭代批次的生成输入矢量，经量化编码解码器作用得到实际输入矢量，以实际输入矢量对永磁直线电机进行轨迹跟踪控制，永磁直线电机在实际输入矢量的控制作用下跟踪期望输出。

本发明的有益技术效果是：

本申请公开了针对永磁直线电机此类具有重复运动特征的线性系统，将永磁直线电机作为被控对象，针对网络传输信号带宽有限的情况，设计量化编码解码器，将对数量化器与信号编码机制相结合，从而在迭代的过程中逐步减轻量化误差对跟踪性能的影响，以提高传输信号精度。本方法基于范数优化迭代学习框架，设计了一种量化迭代学习控制算法，保证了系统跟踪误差在数学期望意义下的收敛性。