一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统
阅读说明：本技术 一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统 (Fractional order new complex hyper-chaotic system with parameter attractor ) 是由 张芳芳 李正峰 孙凯 张雪 纪鹏 于 2021-07-12 设计创作，主要内容包括：本发明涉及混沌系统领域,具体地涉及一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统,建立的具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统并给出了其建立过程,本发明随着某个参数的不断增大或减小,会经历多个混沌和周期状态,然后直到发散,系统的吸引子也会呈现出不同的形式。此外,本发明的新复超混沌系统不仅具有蝴蝶吸引子形式,而且还具有类蝴蝶吸引子。随着参数的变化,系统至少经历两种吸引子形式,称之为参数吸引子；本发明的新复超混沌系统具有更高的维数和更多的参数,可以提高保密通信的安全性。(The invention relates to the field of chaotic systems, in particular to a fractional order new hyperchaotic system with a parameter attractor, which is established and gives an establishing process. In addition, the novel complex hyper-chaotic system not only has a butterfly attractor form, but also has a butterfly-like attractor. As the parameter changes, the system undergoes at least two attractor forms, referred to as parametric attractors; the new complex hyper-chaotic system has higher dimension and more parameters, and can improve the security of secret communication.)
技术领域
本发明涉及混沌系统领域，具体地涉及一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统。
背景技术
1963年，Lorenz通过简化流体对流模型得到了一套完整的三阶常微分方程，并由此提出了Lorenz混沌系统。1999年，新的混沌系统出现，它与Lorenz混沌系统相似，但拓扑结构不同，称为Chen混沌系统。2002年，从Lorenz混沌系统到Chen混沌系统过渡，出现Lü混沌系统。以上混沌系统都是实数域的混沌系统。1982年，Gibbon等学者在流体力学中研究热对流现象和失谐激光时，发现了一个类似于实Lorenz系统的系统，但主要变量在复数域，称为复Lorenz系统。然后在2009年，Gamal M.Mahmoud等人在实Lü混沌系统和实Chen混沌系统的基础上提出了复Lü混沌系统和复Chen混沌系统，并实现了两个系统的同步。
超混沌系统具有更高的维数和更多的可控参数，可以增强混沌保密通信的安全性。而且，超混沌系统可以表现出更独特的混沌特性。与实数域的超混沌系统相比，复超混沌系统具有更简单的系统形式，但可以代表更高维度。当应用于通信时，可以使用双变量来增加信息传输的安全性。许多学者提出了各种复超混沌系统。
随着对复混沌系统研究的深入，分数阶复混沌系统已成为当前的研究热点之一。分数阶复混沌系统具有分数阶系统和复混沌系统的特点，因此，其动力学行为更加丰富，在保密通信领域具有更广阔的应用前景。
对于复混沌系统的构造，研究这个问题的学者较少。因此，有必要提出了一个新的分数阶复超混沌系统。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术存在的缺点，提出设计一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统，当参数改变时，至少会出现两种混沌吸引子。
本发明解决其技术问题所采取的技术方案是：
一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统，所述混沌系统形式如下：
其中为αl阶Caputo算子，αl是对应状态变量xl(l＝1，2，3，4)的阶次； 为复变量，x3,x4为实变量，a，b，c，d为系统参数，当系统参数a＝40,b＝25.5,c＝10,d＝12,阶数α∈[0.9,1.01]时，系统处于混沌状态。
所述混沌系统的建立步骤如下：
(1)、定义1.Caputo定义又称为右定义，其具体表达式为：
其中α＝[m]+1，[m]是m的整数部分，Γ(*)是gamma函数且被称为α阶微分算子。在本文中，用表示且0＜α＜1。
(2)、构建具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统，形式如下：
其中为αl阶Caputo算子，αl是对应状态变量xl(l＝1，2，3，4)的阶次。为复变量，x3，x4为实变量，a，b，c，d为系统参数。
根据分数阶微分线性运算法则，可得
则系统(4)可转变为下列实数表示形式：
(3)、分数阶吸引子相图：
选取系统(6)的初始值为x3＝1，x4＝1，固定参数a＝40，b＝25.5，c＝10，d＝12。选取系统(4)的阶数相同且al＝0.95(l＝1，2，3，4)；在该阶次和参数下，系统的吸引子相图呈现蝴蝶吸引子。
(4)、系统阶数α对类蝴蝶吸引子的影响：
当α＜0.83时，系统(6)发散，因此控制阶数α从0.83开始增大。
当α∈(0.83，0.9)区间时，系统(6)逐渐收敛到一稳定点；
当α＝0.9时，系统由固定点演变为混沌状态；
当α∈[0.9,1.01]，系统处于混沌状态；
当α＝1.02时，系统(6)进入周期状态；
当α>1.11时，系统(6)发散。
当阶数α＝1.01时，系统会呈现类蝴蝶吸引子形态。
保持参数b,c,d不变，控制参数a变化，系统(6)从极限环状态a＝37逐渐演化为蝴蝶状吸引子形状a＝39.5，然后蝴蝶状吸引子的中心环不断扩散a＝40，最后演化为蝴蝶状吸引子形状a＝42。
保持参数a,c,d不变，控制参数b变化，系统(6)从类蝴蝶吸引子形状b＝23.5逐渐演化为蝴蝶吸引子b＝24，然后蝴蝶吸引子的中心环不断收缩b＝25.5，最后演化为极限环b＝30.9。
保持参数a,b,d不变，控制参数c变化，本节中我们选取参数c的值与整数阶的取值相同，来观察系统的演变，系统(6)从类蝴蝶吸引子形状c＝5逐渐演化为蝴蝶吸引子c＝9.3，最后演化为散度c＝2785。
保持参数a,b,c不变，控制参数d变化，系统(6)从蝴蝶吸引子形状d＝4.5逐渐演化为蝴蝶状吸引子d＝12，最后演化为散度d＝2785。
本发明超混沌复杂系统的分数阶随着参数的变化至少产生两种吸引子，即存在参数吸引子。
本发明的技术效果：
与现有技术相比，本发明的一种具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统，随着某个参数的不断增大或减小，会经历多个混沌和周期状态，然后直到发散，系统的吸引子也会呈现出不同的形式。此外，本发明的新复超混沌系统不仅具有蝴蝶吸引子形式，而且还具有类蝴蝶吸引子。随着参数的变化，系统至少经历两种吸引子形式，称之为参数吸引子；本发明的新复超混沌系统具有更高的维数和更多的参数，可以提高保密通信的安全性。
附图说明
图1为本发明分数阶吸引子相图；
图2为本发明系统(5)的吸引子随阶数的变化；
图3为本发明随参数a变化的吸引子相图；
图4为本发明随参数b变化的吸引子相图；
图5为本发明随参数c变化的吸引子相图；
图6为本发明随参数d变化的吸引子相图。
具体实施方式
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面结合说明书附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。
实施例1：
目前为止，分数阶微积分主要有三种定义：Grunwald-Letnikov定义，Riemann-Liouvill定义和Caputo定义。由于传统的初始条件和常数表达式包含在Caputo定义中，且考虑到Caputo微积分的工程应用性，因此在本发明中，使用Caputo定义。
本实施例涉及的具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统，形式如下：
其中为αl阶Caputo算子，αl是对应状态变量xl(l＝1，2，3，4)的阶次。为复变量，x3，x4为实变量，a，b，c，d为系统参数，当系统参数a＝40，b＝25.5，c＝10，d＝12，阶数α∈[0.9，1.01]时，系统处于混沌状态；该混沌系统的建立步骤如下：
1、定义1.Caputo定义又称为右定义，其具体表达式为：
其中α＝[m]+1，[m]是m的整数部分，Γ(*)是gamma函数且被称为α阶微分算子。在本文中，用表示且0＜α＜1。
2、构建具有参数吸引子的分数阶新复超混沌系统，形式如下：
其中为αl阶Caputo算子，αl是对应状态变量xl(l＝1，2，3，4)的阶次。为复变量，x3，x4为实变量，a，b，c，d为系统参数。
根据分数阶微分线性运算法则，可得
则系统(4)可转变为下列实数表示形式：
3、分数阶吸引子相图
选取系统(6)的初始值为x3＝1,x4＝1,固定参数a＝40,b＝25.5,c＝10,d＝12。选取系统(4)的阶数相同且al＝0.95(l＝1，2，3，4)。在Caputo定义基础上，借助Matlab对系统(4)进行仿真，得到其吸引子相图如图1所示，可以看出，在该阶次和参数下，系统的吸引子相图呈现明显的蝴蝶吸引子。
4、系统阶数α对类蝴蝶吸引子的影响
当α<0.83时，系统(6)发散，因此控制阶数α从0.83开始增大。
当α∈(0.83,0.9)区间时，系统(6)逐渐收敛到一稳定点；
当α＝0.9时，系统由固定点演变为混沌状态；
当α∈[0.9,1.01]，系统处于混沌状态；
当α＝1.02时，系统(6)进入周期状态
当α>1.11时，系统(6)发散。图2给出了阶数α取不同值时的系统相图。
5、系统参数对分数阶类蝴蝶吸引子的影响
当阶数α＝1.01时，系统会呈现类蝴蝶吸引子形态，选取阶数α＝1.01，分别控制参数a,b,c,d变化，进一步观察系统的吸引子变化。
(1)参数a的影响
保持参数b,c,d不变，控制参数a变化，本节中我们选取参数a的值与2.1节的取值相同，来观察系统的演变。如图3所示，可以看出系统(6)从极限环状态(a＝37)逐渐演化为蝴蝶状吸引子形状(a＝39.5)，然后蝴蝶状吸引子的中心环不断扩散(a＝40)，最后演化为蝴蝶状吸引子形状(a＝42)。
(2)参数b的影响
保持参数a,c,d不变，控制参数b变化，本节中我们选取参数b的值与整数阶的取值相同，来观察系统的演变。如图4所示，可以看出系统(6)从类蝴蝶吸引子形状(b＝23.5)逐渐演化为蝴蝶吸引子(b＝24)，然后蝴蝶吸引子的中心环不断收缩(b＝25.5)，最后演化为极限环(b＝30.9)。
(3)参数c的影响
我们保持参数a,b,d不变，控制参数c变化，本节中我们选取参数c的值与整数阶的取值相同，来观察系统的演变。如图5所示，可以看到系统(6)从类蝴蝶吸引子形状(c＝5)逐渐演化为蝴蝶吸引子(c＝9.3)，最后演化为散度(c＝2785)。
(4)参数d的影响
我们保持参数a,b,c不变，控制参数d变化，本节中我们选取参数d的值与整数阶的取值相同，来观察系统的演变。如图6所示，可以看出系统(6)从蝴蝶吸引子形状(d＝4.5)逐渐演化为蝴蝶状吸引子(d＝12)，最后演化为散度(d＝2785)。
通过观察分数阶新复超混沌系统的吸引子形状随参数的变化，可以看出分数阶也存在参数吸引子现象。
新的超混沌复杂系统的分数阶随着参数的变化至少产生两种吸引子，即存在参数吸引子。
基于对新超混沌复杂系统分数阶演化过程的分析和观察，得到了它们在四种情况下参数变化对分数阶系统影响的对照表，如表1-4所示。在表1-4中Fks.i，(k＝a，b，c，d)(i＝1，2，3，..，n)是指参数为a，b，c，d变化产生的不同形状吸引子。
表1.a变化，b＝2.5，c＝10，d＝12，(I(F)as.i，(i＝1，2，3)＝吸引子的形状i(i＝1，2，3，..，n))。
表2.b变化，a＝40，c＝10，d＝12，(I(F)bs.i，(i＝1，2)＝吸引子的形状i(i＝1，2，3，..，n))。
表3.c变化，a＝40，b＝25.5，d＝12，(I(F)cs.i，(i＝1，2，3)＝吸引子的形状i(i＝1，2，3，..，n))。
表4.d变化，a＝40，b＝25.5，c＝10，(I(F)ds.i，(i＝1，2，3，4)＝吸引子的形状i(i＝1，2，3，..，n))。
可以看出，新的超混沌复杂系统的分数阶随着参数的变化至少产生两种吸引子，即存在参数吸引子。
上述具体实施方式仅是本发明的具体个案，本发明的专利保护范围包括但不限于上述具体实施方式的产品形态和式样，任何符合本发明权利要求书且任何所属技术领域的普通技术人员对其所做的适当变化或修饰，皆应落入本发明的专利保护范围。
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