阅读说明：本技术 适用于磁悬浮球形电机的分数阶pid滑模观测器设计方法 (Design method of fractional order PID sliding-mode observer suitable for magnetic suspension spherical motor ) 是由 杨东升 熊浩杰 马占超 肖军 周博文 孙维东 高筱婷 王昕� 于 2019-09-24 设计创作，主要内容包括：本发明提供一种适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法,涉及无位置传感器技术领域。该方法首先采集磁悬浮球形电机三相电流值和三相电压值,进而构建滑模观测器的数学模型；利用构建的滑模观测器数学模型计算磁悬浮球形电机在两相静止坐标系下的反电动势和定子电流估计值；同时以定子电流估计值的误差作为滑模面,构造滑模观测器的切换函数,并采用Prelu函数作为滑模观测器开关函数；然后利用分数阶PID对滑模观测器的切换函数中的滑模增益进行参数调节和整定；并由计算得到的反电动势得到真实转子电角度和电角速度的估计值。本发明方法有效的抑制了磁悬浮球形电机滑模观测器的抖振,能够设计出稳定的滑模观测器。(The invention provides a design method of a fractional order PID sliding mode observer suitable for a magnetic suspension spherical motor, and relates to the technical field of no position sensor. Firstly, acquiring three-phase current values and three-phase voltage values of a magnetic suspension spherical motor, and further constructing a mathematical model of a sliding mode observer; calculating the back electromotive force and the stator current estimated value of the magnetic suspension spherical motor under a two-phase static coordinate system by utilizing the constructed mathematical model of the sliding-mode observer; meanwhile, taking the error of the estimated value of the stator current as a sliding mode surface, constructing a switching function of a sliding mode observer, and taking a Prelu function as a switching function of the sliding mode observer; then, parameter adjustment and setting are carried out on the sliding mode gain in the switching function of the sliding mode observer by utilizing the fractional order PID; and obtaining estimated values of the true rotor electrical angle and the electrical angular velocity from the calculated back electromotive force. The method effectively inhibits buffeting of the sliding mode observer of the magnetic suspension spherical motor, and can design a stable sliding mode observer.)

适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法

技术领域

本发明涉及无位置传感器技术领域，尤其涉及一种适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法。

背景技术

近几年，随着科学技术的发展，社会工业化程度越来越高，电机作为一种在机械能和电能之间相互转换的支撑型机械，受到越来越严格的要求。传统的机械轴承电机，在一些高转速高精度低损耗要求的场合下，已经不再适用。传统电机在高速运行时，其机械式轴承与轴的摩擦会有较大阻力出现，这将引起振动、磨损以及噪音，从而导致电机发烫，寿命大大减小，同时会增加维护费用。

磁悬浮轴承技术通过产生悬浮磁力支承电机转子悬浮，使电机与轴承分离。磁轴承具备不需要润滑、没有摩擦、使用寿命长等优点，在航空航天、机械人和机械加工等领域得以应用。其与传统的机械轴承相比有一定的优势，但是也有一些问题。在电机里使用磁轴承来进行悬浮需要三个轴承，两个径向轴承和一个轴向轴承，对于电机的空间使用进行了一定的限制，并影响了电机的临界转速。针对这个问题，在电机的转矩绕组上加上径向轴承的绕组，实现电机同时旋转和悬浮的功能，这种电机又可称为无轴承电机。

长期以来，人们对单自由度电动机进行了广泛的研究，随着机械臂等多自由度复杂运动精密装置的发展，多自由度电机系统越来越受到人们的重视。磁悬浮球形电机是基于磁悬浮技术和电机技术，使其产生悬浮磁力支承电机转子悬浮，并产生磁转矩直接驱动转子转动。由于转子是球形的，磁悬浮球形电机将转矩绕组和悬浮绕组结合，也称为无轴承电机。

为了对磁悬浮球形电机进行高精度的控制，通常用位置传感器对转子的位置进行检测，加大了系统的体积和转子的转动惯量，增加了系统成本，降低了系统可靠性。因此有必要对无位置传感器技术进行研究。

目前应用于电机的转子位置和速度估计方法大致有两种，一是利用反电动势或者磁链估算转子位置，常用的有龙贝格观测器、滑模观测器和扩展卡尔曼滤波观测器。二是利用电机凸极效应的高频信号注入法。滑模观测器法(SMO)以其强鲁棒性，计算简单，便于工程应用和数字实现而备受青睐，但是存在低速抖振问题。

发明内容

本发明要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法，消除了磁悬浮球形电机系统的低速抖振，增强了系统的鲁棒性，使传统控制系统的抗干扰能力和动态性能得到了改善。

为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是：适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法，包括以下步骤：

步骤1：采集磁悬浮球形电机三相电流值i_α、i_b、i_c和三相电压值u_α、u_b、u_c，对三相电压值和电流值进行Clark变换得到两相静止坐标系下的电压u_α、u_β和电流i_α和i_β；构造在两相静止坐标系下的电压方程，并对电压方程进行变形得到电流i_α和i_β的平衡方程，由此得到滑模观测器的数学模型；

所述对三相电压值和电流值进行Clark变换得到两相静止坐标系下的电压u_α、u_β和电流i_α和i_β，如下公式所示：

所述构造的两相静止坐标系下的电压方程，如下公式所示：

其中，R_s为定子电阻，L_s为定子电感，p为微分算子，ω为转子的电角速度，ψ_f为永磁体与定子交链的磁链，θ为转子电角度；

对电压方程进行变形得到两相坐标系下电流i_α和i_β的平衡方程，如下公式所示：

对平衡方程进行简化得：

pi_s＝A·i_s+B·v_s+ψ_f·v_i

其中，i_s为

a为

B为

v_s为

v_i为

E为2×2的单位矩阵；

进一步简化得到滑模观测器的数学模型，如下公式所示：

其中，

为微分定子电流估计值，

为定子电流估计值，k_sw为滑模增益，

为开关函数；

步骤2：利用步骤1构建的滑模观测器数学模型计算磁悬浮球形电机在两相静止坐标系下的反电动势和定子电流估计值

同时以定子电流估计值的误差作为滑模面，构造滑模观测器的切换函数，并采用Prelu函数作为滑模观测器开关函数；

利用两相坐标系下电流i_α和i_β的平衡方程得到在两相静止坐标系下的反电动势如下公式所示：

其中，t为时间；

利用滑模观测器的数学模型构造滑模观测器的切换函数，如下公式所示：

其中，

为转子电角度估计值，Prelu是参数化修正线性单元，其公式为

其中，a_i是(1，+∞)的固定参数；

步骤3：构造分数阶PID的传递函数，利用改进Oustaloup近似法将分数阶PID控制器近似成连续的高阶整数阶PID控制器，再构造分数阶微分积分算子模型，并对步骤2中得到的滑模观测器的切换函数中的滑模增益k_sw进行参数调节和整定；

步骤3.1：构造分数阶PID控制器的传递函数，如下公式所示：

其中，G₁(s)为分数阶PID控制器的传递函数，k_p、k_i、k_d为分数阶PID控制器的比例、积分、微分环节，λ、μ为积分阶次和微分阶次，s为频域变量；

步骤3.2：构造分数阶PID控制器的微分方程，如下公式所示：

u(t)＝k_p·e(t)+k_i·D^-λ·e(t)+k_d·D^μ·e(t)

其中，u(t)为分数阶PID控制器的输出，e(t)为分数阶PID控制器的误差输入，D为微积分算子；

步骤3.3：利用改进Oustaloup近似法作为滤波器，将分数阶PID控制器近似为连续的高阶整数阶PID控制器；

构造改进Oustaloup近似法的传递函数如下公式所示：

其中，α、d、b为常数，ω_b、ω_h分别为滤波器上限截止频率和下限截止频率；

将k(s)泰勒展开，舍去高阶项，化简构造的改进Oustaloup近似法连续滤波器的传递函数，如下公式所示：

其中，G₂(s)为改进Oustaloup近似法连续滤波器的传递函数，

N为滤波器阶次；

步骤3.4：将改进Oustaloup近似法拟合出的传递函数与一个新的低通滤波器

封装为分数阶微分积分算子模型；

步骤3.5：在数值仿真软件Matlab/simulink中搭建步骤3.4中的分数阶微分积分算子模型，将滑模观测器的切换函数中的滑模增益k_sw作为分数阶微分积分算子模型的输入，对其进行参数整定；

步骤4：由步骤2计算得到的反电动势

构造反电动势模型，由反电动势模型计算得到转子电角度的估计值

再对转子的电角度进行补偿，得到真实转子电角度θ；并由反电动势模型得到转子磁链

步骤4.1：由步骤2计算得到的反电动势

构造反电动势模型，如下公式所示：

由反电动势模型计算得到的转子电角度的估计值如下公式所示：

步骤4.2：对步骤4.1得到的转子电角度进行补偿并变形，得到真实转子电角度，如下公式所示：

其中，θ_ef为采集磁悬浮球形电机的三相电流和电压经过低通滤波器时产生的相位延迟误差；

步骤4.3：由反电动势模型得到转子磁链

如下公式所示：

步骤5：通过对步骤4中得到的反电动势

和转子磁链

计算得到转子的电角速度的估计值

如下公式所示：

步骤6：利用步骤2中磁悬浮球形电机的电流估计值

和电流实际值构造Lyapunov函数，对所设计的滑模观测器进行稳定性分析；

构造Lyapunov函数，如下公式所示：

其中，

ω分别为转子电角速度的估计值和实际值；

根据Lyapunov稳定性定理，当

时，判定滑模观测器是稳定的。

采用上述技术方案所产生的有益效果在于：本发明提供的适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法：

(1)采用了参数化修正线性单元Prelu代替了符号函数，减弱抖振现象，其计算速度和收敛速度相比于常用的sigmod函数和tanh函数更快，具有更强的鲁棒性。

(2)采用改进Oustaloup近似法，将分数阶控制器近似成连续的高阶整数阶系统，克服了Oustaloup近似法在频段端点处的边界拟合效果不理想的缺点。利用分数阶PID对滑模观测器的切换函数中的滑模增益进行整定，有效的抑制了磁悬浮球形电机滑模观测器的抖振。

(3)利用前馈控制对转子电角度进行相位补偿，减小了系统误差对观测结果所造成的影响。

附图说明

图1为本发明实施例提供的适用的磁悬浮球形电机示意图；

图2为本发明实施例提供的适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法的流程图；

图3为本发明实施例提供的设计滑模观测器的系统图；

图4为本发明实施例提供的分数阶PID控制器的原理框图；

图5为本发明实施例提供的分数阶微分积分算子模型的示意图；

图6为本发明实施例提供的分数阶PID控制器的实现图；

图7为本发明实施例提供的将本采用本发明方法设计的滑模观测器对磁悬浮球形电机进行整体控制的系统图。

图中：1、转子转轴；2、永磁体；3、球形转子；4、定子；5、转矩绕组；6、径向绕组；7、托片；8、轴向绕组；9、底座。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

磁悬浮球形电机如图1所示，其中，1为转子转轴，由球形转子3带动，径向绕组6和转矩绕组5共同镶嵌在定子上，同时提供转矩和径向悬浮力，定子底部增加有保护装置托片7当电机停转时，托片有缓冲转子掉落的作用。轴向绕组8提供轴向悬浮力，使转子与定子4之间没有接触，没有摩擦。

本实施例中，采集磁悬浮球形电机三相电流电压构造滑模观测器数学模型，利用电流偏差作为滑模面，构造切换函数，同时用分数阶PID整定滑模观测器的滑模增益，同时对转子位置进行补偿，得到转子的电角度和电角速度，实现适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器的设计。适用于磁悬浮球形电机的分数阶PID滑模观测器设计方法，如图2和3所示，包括以下步骤：

步骤1：采集磁悬浮球形电机三相电流值i_α、i_b、i_c和三相电压值u_α、u_b、u_c，对三相电压值和电流值进行Clark变换得到两相静止坐标系下的电压u_α、u_β和电流i_α和i_β；构造在两相静止坐标系下的电压方程，并对电压方程进行变形得到电流i_α和i_β的平衡方程，由此得到滑模观测器的数学模型；

所述对三相电压值和电流值进行Clark变换得到两相静止坐标系下的电压u_α、u_β和电流i_α和i_β，如下公式所示：

所述构造的两相静止坐标系下的电压方程，如下公式所示：

其中，R_s为定子电阻，L_s为定子电感，p为微分算子，ω为转子的电角速度，ψ_f为永磁体与定子交链的磁链，θ为转子电角度；

对电压方程进行变形得到两相坐标系下电流i_α和i_β的平衡方程，如下公式所示：

对平衡方程进行简化得：

pi_s＝A·i_s+B·v_s+ψ_f·v_i

其中，i_s为

A为

B为

v_s为

v_i为E为2×2的单位矩阵；

进一步简化得到滑模观测器的数学模型，如下公式所示：

其中，为微分定子电流估计值，

为定子电流估计值，k_sw为滑模增益，

为开关函数；

步骤2：利用步骤1构建的滑模观测器数学模型计算磁悬浮球形电机在两相静止坐标系下的反电动势

和定子电流估计值

同时以定子电流估计值的误差作为滑模面，构造滑模观测器的切换函数，并采用Prelu函数作为滑模观测器开关函数；

利用两相坐标系下电流i_α和i_β的平衡方程得到在两相静止坐标系下的反电动势

如下公式所示：

其中，t为时间；

利用滑模观测器的数学模型构造滑模观测器的切换函数，如下公式所示：

其中，

为转子电角度估计值，Prelu是参数化修正线性单元，其公式为

其中，a_i是(1，+∞)的固定参数；

步骤3：构造分数阶PID的传递函数，如图4所示，利用改进Oustaloup近似法将分数阶PID控制器近似成连续的高阶整数阶PID控制器，再构造分数阶微分积分算子模型，并对步骤2中得到的滑模观测器的切换函数中的滑模增益k_sw进行参数调节和整定；

步骤3.1：构造分数阶PID控制器的传递函数，如下公式所示：

其中，G₁(s)为分数阶PID控制器的传递函数，k_p、k_i、k_d为分数阶PID控制器的比例、积分、微分环节，λ、μ为积分阶次和微分阶次，s为频域变量；

步骤3.2：构造分数阶PID控制器的微分方程，如下公式所示：

u(t)＝k_p·e(t)+k_i·D^-λ·e(t)+k_d·D^μ·e(t)

其中，u(t)为分数阶PID控制器的输出，e(t)为分数阶PID控制器的误差输入，D为微积分算子；

步骤3.3：利用改进Oustaloup近似法作为滤波器，将分数阶PID控制器近似为连续的高阶整数阶PID控制器；

构造改进Oustaloup近似法的传递函数如下公式所示：

其中，α、d、b为常数，ω_b、ω_h分别为滤波器上限截止频率和下限截止频率；

将k(s)泰勒展开，舍去高阶项，化简构造的改进Oustaloup近似法连续滤波器的传递函数，如下公式所示：

其中，G₂(s)为改进Oustaloup近似法连续滤波器的传递函数，

N为滤波器阶次；

步骤3.4：将改进Oustaloup近似法拟合出的传递函数与一个新的低通滤波器

封装为分数阶微分积分算子模型，如图5所示；

步骤3.5：在数值仿真软件Matlab/simulink中搭建步骤3.4中的分数阶微分积分算子模型，如图6所示，将滑模观测器的切换函数中的滑模增益k_sw作为分数阶微分积分算子模型的输入，对其进行参数整定；

步骤4：由步骤2计算得到的反电动势

构造反电动势模型，由反电动势模型计算得到转子电角度的估计值

再对转子的电角度进行补偿，得到真实转子电角度θ；并由反电动势模型得到转子磁链

步骤4.1：由步骤2计算得到的反电动势

构造反电动势模型，如下公式所示：

由反电动势模型计算得到的转子电角度的估计值

如下公式所示：

步骤4.2：对步骤4.1得到的转子电角度进行补偿并变形，得到真实转子电角度，如下公式所示：

其中，θ_ef为采集磁悬浮球形电机的三相电流和电压经过低通滤波器时产生的相位延迟误差；

步骤4.3：由反电动势模型得到转子磁链

如下公式所示：

步骤5：通过对步骤4中得到的反电动势

和转子磁链

计算得到转子的电角速度的估计值

如下公式所示：

步骤6：利用步骤2中磁悬浮球形电机的电流估计值

和电流实际值构造Lyapunov函数，对所设计的滑模观测器进行稳定性分析；

构造Lyapunov函数，如下公式所示：

其中，

ω分别为转子电角速度的估计值和实际值；

根据Lyapunov稳定性定理，当

时，判定滑模观测器是稳定的。

本实施例中，将构造的稳定的滑模观测器加入磁悬浮球形电机控制系统中，如图7所示，将两相静止坐标系下的电流i_α、i_β和电压u_α、u_β作为滑模观测器的输入，输出位置角给Park变换器，转速

给PI控制，将PI控制后的输出送给SVPWM控制器，输出脉冲波给三相逆变器，进而实现控制磁悬浮球形电机。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。