发明内容

本发明针对基于低维整数阶混沌系统的图像压缩加密方案安全性不足的问题，提出了一种基于压缩感知和分数阶混沌的图像压缩加密方法。该方案构建了新的三维分数阶混沌系统作为加密算法的中间密钥，提供了图像压缩加密算法所需的随机序列，极大地扩展了该算法的复杂性和密钥空间。采用了压缩感知算法对图像进行压缩，并根据随机序列构建了一个新型测量矩阵。同时该方案遵循经典的混淆和扩散结构，利用Josephus问题原理和环形扩散分别作为算法的置乱与扩散操作。设计的基于二维图像的Josephus置乱可以同时混淆全局像素的行列位置，而环形扩散技术可以实现原始图像的全局扩散。实验结果表明，该系统具有良好的统计特性，能够抵抗安全攻击。

本发明的设计包括四个方面，分别是分数阶混沌系统的设计、测量矩阵的构建、基于二维图像的Josephus置乱和环形扩散算法。

1.分数阶混沌系统

Zhang^[7]等人分析了一个三维混沌系统的动力学行为，该系统可表示为：

Eshaghi^[8]等人用分数阶微分算子代替了原混沌系统中的标准微分，描述该分数阶混沌系统。本文根据以上系统，构建了一个新的三维分数阶混沌系统如下：

其中q是分数阶，a、b、c、d和e是系统参数。当分数阶混沌系统的参数设置为a＝-1，b＝1，c＝-80，d＝-1，e＝18，q＝0.8时，系统处于混沌状态，产生3个混沌序列。

2.测量矩阵的构建

由分数阶混沌系统产生伪随机序列。为增强随机序列的随机性，抛弃3个序列x、y、z的前1000个值，并等间隔采样。对每个序列取N/4位并进行归一化处理，并保证测量矩阵中x、y、z数值的比例各占1/3。利用混沌序列构成块循环矩阵z_l，再如下构造总测量矩阵为C。

其中，块循环矩阵z_l大小为N/4×N/4。从矩阵C中抽取m行，组成大小为m×N的测量矩阵Φ。在测量矩阵的优化方面，选择了QR分解法。

3.基于二维图像的Josephus置乱算法

置乱是为了去除图像像素间的相关性。Hua^[9]等人设计了一种二维Josephus置乱算法，这里对该方法进行了改进。首先，根据混沌序列生成初始参数。然后，利用这些参数生成多个二维Josephus序列来对行和列排序。

(1)初始参数的生成

假设要加密的原始图像的尺寸为M×N。我们从混沌密钥X中生成以下4个参数，

其中MI和NI分别表示起始行和起始列的位置，MIstep和NIstep分别表示每次行和列移动的步数。

(2)根据产生的参数，Josephus置乱的步骤如下，

步骤1：生成长度为M的Josephus行序列rs如下：1)初始化向量a＝1:M；2)设置rs(1)＝MI，并移除rs(1)；3)从之前移除的位置开始，在首尾相连的a中移动MIstep步并将下一个值分配给rs(2)；4)MIstep＝MIstep+k，其中k为此次循环的轮数；5)重复3)和4)M次，直到a中的所有值已分配给rs。

步骤2：设置行索引i＝1。

步骤3：生成长度为N的Josephus列序列cs如下：1)初始化向量b＝1:N；2)设置cs(1)＝NI，并移除cs(1)；3)从之前移除的位置开始，在首尾相连的b中移动NIstep步将下一个值分配给cs(2)；4)NIstep＝NIstep+k，k为此次循环的轮数；5)重复操作3)和4)共N次，直到b中的所有值已分配给cs。

步骤4：对图像第i行的像素，按照{(rs(cs(1))+i，cs(1))}，{(rs(cs(2))+i，cs(2))}，…，{(rs(cs(N))+i，cs(N))}的顺序依次替换。如果rs(cs(k))+i(k＝1～N)大于M，则使用rs(cs(k))+i对M取模的值作为结果。

步骤5：i＝2～M，重复步骤2到步骤4。

4.环形扩散算法

环形扩散的主要思想是结合混沌序列中的随机值和前一个加密的像素值来改变明文数值^[10]。假设图像的总长度为L，混沌序列由分数阶混沌映射S＝{x₁，x₂，…，x_L}构成。然后将每个像素的替换过程定义为，

其中F是图像深度。例如，如果图像表示为8位数据，则F＝256。指四舍五入操作。

5.安全性分析

本节的安全性分析是作为本发明实际效果的体现，通过实际的数据分析，可以直观的看到本发明的有益效果。

5.1原图像和解密后的图像

本发明采用USC-SIPI数据库中的标准图像和Lena图像进行测试。原图像、加密图像和解密后的图像如图1所示。由图1可知，本发明提出的分数阶混沌系统图像压缩加密算法可以正确的完成对图像的加密和解密。

5.2直方图

直方图是评估图像加密算法的安全性能的重要标准之一。图2展示了测试图像及其相应的加密解密后的直方图。从图2中可以发现密文图像的直方图与原图的直方图明显不同，这使得攻击者无法通过分析密文图像的直方图来获得关于原图的统计信息。因此，所提出的图像加密算法可以抵抗统计分析攻击。

5.3相邻像素的相关性分析

图像的相邻像素往往具有很强的相关性，一个良好的图像加密系统应该尽可能降低这种相关性。表1展示了图像的相邻像素与各自密图之间的相关系数。

表1相邻像素相关系数

从表1可知，原图像的相邻像素在水平、垂直和对角线方向上的相关性较强，相邻像素之间的相关系数约为0.9。而经过图像加密后，图像的相关系数大大降低。结果表明，该方案可以减少相邻像素的相关性。

5.4密钥空间分析

本发明中的密钥由256位的初始密钥K和256位的原图像的哈希值共同组成^[12]。根据IEEE 754-2008标准，采用双精度(binary64)类型存储，八个字节表示一个双精度数。因此，该加密算法的密钥空间为2⁵¹²。在目前的计算能力下，该密钥空间足够大，可以抵抗穷举攻击。

5.5密钥敏感性

算法应该对其安全密钥敏感。这表现为加密密钥的轻微变化将使得算法产生完全不同的密文，并且只有使用正确的密钥才能恢复原始图像。为了测试密钥灵敏度，我们通过在原密钥上随机更改1个bit来获得另外1个密钥K2。密钥K1和K2如下：

K1＝'Fc608C8B2fBb1B85c093Cc19236a65b564A98daA7ADA8FC8ad85Fb5eb9E2b1d8'

K2＝'Fc608C8B2fBb1B85c093Cc19236a65b564A98daA7ADA8FC8ad85Fb5eb9E2b1d7'

用正确的密钥和修改后的密钥对Lena图像加密和解密的结果如图3所示。

从图3(b)(c)(d)中可看出，使用只有1-bit差异的K1和K2加密原图，可以得到了2个完全不同的加密结果，并且它们之间有较大的差异。同时，如图3(e)所示，使用和正确密钥只差1-bit密钥解密，不能正确地重建原始明文。因此，所提出的算法在加密和解密过程中对其安全密钥敏感。

5.6信息熵

在一定程度上，信息熵反映了信息源的随机性和不可预测性。H(m)为m的信息熵，可计算为，

其中，P(m_i)表示m_i发生的概率，N表示m_i的总数。信息熵H(m)的理想值为8。本文对4种图像的信息熵进行了计算和比较，如表2所示。

表2信息熵

从表2中可以看出我们的算法得到的熵大于引用[11]的熵，这表明我们的算法随机性良好。

5.7差异性攻击分析

差分攻击是一种有效且常用的安全攻击。它通过比较分析特定明文在加密后的变化，使用已建立的连接在没有密钥的情况下来破解明文。为了测试算法对差分攻击的防御能力，我们计算了不同图像的像素变化率(NPCR)和统一平均变化强度(UACI)。如果对明文像素值的略微变化，在加密后能造成密文像素值的较大变化，则意味着加密方案效果良好。NPCR和UACI的计算方法如下：

其中W和H分别表示图像的宽度和高度，d₁和d₂是明文图像改变1个像素值前后的2个密文图像。如果d₁(i，j)＝d₂(i，j)，则D(i，j)＝0，否则，D(i，j)＝1。表3是与其他算法的比较结果。

表3 NPCR和UACI

已知NPCR和UACI的理想期望值为NPCR＝99.6094％和UACI＝33.4635％，从表3中可以看出，提出的加密方案的NPCR和UACI优于引用[11]。

5.8压缩性能

PSNR(峰值信噪比)是评估图像的一个客观标准。这里使用PSNR值评价压缩解密后的图像和原图像之间的质量。PSNR值的公式为：

表4列出了4张测试图片的不同压缩比的PSNR值。

表4在不同压缩比条件下的PSNR值

从表中4，可以看出该算法具有良好的压缩性能，可以降低在网络中传输的图像的负载。

本发明提出了一种新的混沌图像压缩加密算法。该算法的主要思想是先利用压缩感知对图像进行压缩，再使用Josephus置乱来快速混淆图像像素，最后利用环形扩散算法实现全局像素值的改变。分数阶混沌系统用于提供压缩加密算法所需的混沌序列，使算法具有更大的密钥空间。仿真结果表明，该算法在信息熵，密钥空间，密钥敏感性和差分攻击等方面具有有效性和良好的统计特性。因此，该图像压缩加密方案能够达到良好的加密压缩效果，对图像文件信息内容安全的保证具有重要意义。