具体实施方式

需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互结合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本发明。

为了使本领域技术人员更好地理解本发明方案，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。

需要说明的是，本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本发明的实施例。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包括，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。

在本实施例中提供了一种基于Euler-Bernoulli梁的边界抗饱和振动抑制方法，图1是根据本发明实施例提供的基于Euler-Bernoulli梁的边界抗饱和振动抑制方法的流程图，如图1所示，包括：

S110、获取Euler-Bernoulli梁的边界状态信息；

S120、根据所述Euler-Bernoulli梁的边界状态信息构建边界抗饱和控制器，所述边界抗饱和控制器能够输出执行器控制值；

S130、根据所述边界抗饱和控制器的输出判断所述执行器控制值是否达到执行器饱和上限；

S140、若达到，则根据所述Euler-Bernoulli梁的边界状态信息以及超过执行器饱和上限的部分设计辅助系统，所述辅助系统用于消除执行器的饱和非线性影响；

S150、在确定所述Euler-Bernoulli梁稳定时，获取所述边界抗饱和控制器的增益取值范围。

本发明实施例提供的基于Euler-Bernoulli梁的边界抗饱和振动抑制方法，采用边界抗饱和控制消除执行器饱和限制对Euler-Bernoulli梁稳定性产生的影响，防止梁长时间处于弹性振动造成的损耗，使Euler-Bernoulli梁在实际工程应用中获得较高的精度，从而实现系统的稳定性保证实际操作顺利进行。

具体地，所述基于Euler-Bernoulli梁的边界抗饱和振动抑制方法包括在所述采集Euler-Bernoulli梁的边界状态信息的步骤前进行的：

根据拉格朗日方程和Hamilton原理得到Euler-Bernoulli梁的系统方程和边界条件。

应当理解的是，如图2所示，根据拉格朗日方程和哈密尔顿(Hamilton)原理得到Euler-Bernoulli梁的系统方程和边界条件；获取所述梁系统的边界状态信息；考虑在实际工程中硬件条件限制导致执行机构饱和，影响梁的振动与精准作业，设计辅助系统；利用所获得的边界状态信息构建相应的边界抗饱和控制器；在保证系统稳定的情况下得到控制器增益的取值范围；判断控制值是否达到执行器饱和上限，若达到，则结合所设计的辅助系统来补偿饱和非线性。

应当理解的是，获得边界抗饱和控制器的增益取值范围后，只要保证边界抗饱和控制器的增益在取值范围内，则可以实现振动抑制。

进一步具体地，所述Euler-Bernoulli梁的系统方程的表达式为：

ρω_tt(x,t)+E_Iω_xxxx(x,t)-Tω_xx(x,t)＝0，

所述边界条件的表达式为：

其中，ω(x,t):[0,L]×[0,+∞)→R表示梁在空间坐标x和时间坐标t上的横向位移，ρ,T,E_I,M和L分别表示梁的单位长度的单位质量、张力、弯曲刚度、尖端荷载的质量和梁系统的长度，ω_x(x,t)和ω_t(x,t)分别表示杆的横向位移ω(x,t)对空间x 和对时间t的导数，u(t)表示边界控制器；sat(u(t))表示饱和控制器，表示为：

其中，u_max和u_min分别表示执行器的上界和下界。

具体地，所述获取Euler-Bernoulli梁的边界状态信息，包括：

获取所述Euler-Bernoulli梁的系统方程中的边界速度ω_t(L,t)、边界位移ω_x(L,t)和边界弯曲的速度ω_xt(L,t)。

所述辅助系统的表达式为：

其中，z(t)表示辅助系统的状态，k_z,α,β,ε均表示大于0的常数，sgn(z(t))表示符号函数；Δu(t)表示饱和死区函数，表示为Δu(t)＝sat(u(t))-u(t)。

具体地，所述边界抗饱和控制器的表达式为：

u(t)＝-k_aω_t(L,t)+k_bω_x(L,t)-k_cω_xt(L,t)+k_dz(t)，

其中，k_a,k_b,k_c,k_d均表示大于0的边界抗饱和控制器的增益。

具体地，所述在确定所述Euler-Bernoulli梁稳定时，获取所述边界抗饱和控制器的增益取值范围，包括：

选取李雅普诺夫(Lyapunov)函数，表达式为：

V(t)＝V₁(t)+V₂(t)+V₃(t)+V₄(t)，

其中，α，β均大于0，V₁(t)表示由动能和势能组成的能量项，V₂(t)表示交叉项，V₃(t)表示与辅助系统状态相关的能量项，V₄(t)表示辅助项；

验证所述Lyapunov函数的正定性，得到：

0<α₃(V₁(t)+V₃(t)+V₄(t))≤V(t)≤α₄(V₁(t)+V₃(t)+V₄(t))，

其中，α₃＝min{(1-υ),1}，α₄＝max{(1+υ),1}，

结合所述边界状态信息和所述边界抗饱和控制器验证所述Lyapunov函数对时间t的一阶导数负定性，同时得到所述边界抗饱和控制器的增益取值范围。

应当理解的是，通过验证Lyapunov函数对时间t的一阶导数负定性，同时得到所述边界抗饱和控制器的增益取值范围，可以保证Euler-Bernoulli梁的系统状态也就是Euler-Bernoulli梁的振动得到抑制。

下面结合具体参数来说明所提出方法的有效性。

第一步，选取Euler-Bernoulli梁的系统参数如下：L＝1m,M＝0.1kg,E_I＝7N·m²，ρ＝0.1kg/m,T＝10N。系统的初始值选取为ω_t(x,0)＝0。

第二步，考虑执行器饱和限制为u_max＝5,u_min＝-5，控制器采用边界抗饱和控制器，所选取的控制器增益如下：k_a＝6,k_b＝1,k_c＝0.04,k_d＝0.1。

图3给出了在执行器饱和情况下采用边界抗饱和控制器柔性杆振动位移图。

作为本发明的另一实施例，提供一种基于Euler-Bernoulli梁的边界抗饱和振动抑制系统，其中，如图4所示，包括：

传感器，用于获取Euler-Bernoulli梁的边界状态信息；

边界抗饱和控制器，用于根据Euler-Bernoulli梁的边界状态信息输出执行器的控制值；

辅助系统，用于根据Euler-Bernoulli梁的边界状态信息消除执行器的饱和非线性影响；

执行器，用于接收所述边界抗饱和控制器的控制值，并作用于Euler-Bernoulli梁。

本发明实施例提供的基于Euler-Bernoulli梁的边界抗饱和振动抑制系统，采用边界抗饱和控制消除执行器饱和限制对Euler-Bernoulli梁稳定性产生的影响，防止梁长时间处于弹性振动造成的损耗，使Euler-Bernoulli梁在实际工程应用中获得较高的精度，从而实现系统的稳定性保证实际操作顺利进行。

具体地，所述传感器用于测量梁的边界状态信息，包括激光位移传感器、测斜仪、压力应变片等；

所述执行器用于接收控制器传输的控制信号，作用于Euler-Bernoulli梁；

所述辅助系统用于消除执行器输入饱和非线性对系统产生的影响，通过判断控制输入是否在饱和范围内来决定辅助系统的输出；

所述边界抗饱和控制器，针对执行器饱和情况，结合所设计的辅助系统来消除执行器饱和对系统的影响

可以理解的是，以上实施方式仅仅是为了说明本发明的原理而采用的示例性实施方式，然而本发明并不局限于此。对于本领域内的普通技术人员而言，在不脱离本发明的精神和实质的情况下，可以做出各种变型和改进，这些变型和改进也视为本发明的保护范围。