具体实施方式

图1A至图1C示意性地示出了本文所公开的测量组件的示例。具体地，用于本说明书的目的，图1A示出了测量组件的示意性框图，图1B示出了测量组件的换能器的示意图，以及图1C示出了坐标系的示例。

测量组件包括测量系统110和附接到目标物体120并通信地耦接到测量系统110的多个三轴加速度计100。

三轴加速度计100例如可以包括类型为4524、4524-B或4504的三轴压电加速度计，其全部由丹麦Naerum的Briiel和Kjaer声音和振动测量公司制造。技术人员将理解，在可选实施方式中可以使用其他类型的换能器，例如其他类型的加速度计。例如，来自许多其他制造商的其他类型的单轴或多轴加速度计当然可以可选地用于实现本发明。取决于加速度计的某些结构细节，一个或多个压电换能器元件101可以安装在换能器壳体107内部，一个或多个换能器元件通过产生传感器信号(例如与该特定方向上的加速度成比例的电压或电流)对相对于加速度计的三个正交空间方向(出于本说明书的目的，指定为i、j、k方向)的特定方向上的加速度作出响应。因此，方向i、j、k定义了加速度计的测量坐标系。各种类型的电子信号调节电路和/或存储装置同样可以安装在换能器壳体107内部的合适载体上，诸如低噪声前置放大器、滤波器、A/D转换器、电源等。电子信号调节电路可以耦接到一个或多个压电换能器元件的相应输出端子，以为每个灵敏度方向提供加速度计100的低阻抗和可能的频率整形输出信号。加速度计壳体107可以包括金属组合物或材料(诸如钛)以保护换能器元件免受各种有害环境污染物(例如湿度、机械冲击、灰尘、光和热等)的影响。金属加速度计壳体107也可以用于EMI屏蔽目的。加速度计壳体107包括多个可选的槽109a、109b，该可选的槽109a、109b支撑用于将加速度计100附接或装配到多个不同的目标物体上的安装夹。加速度计壳体107的下部大致平面的外部壳体表面(从示图中隐藏-与外部壳体表面101相对布置)直接或间接地(例如，经由合适的粘合剂或粘合剂层)与目标物体物理接触。因此，加速度计壳体107的下部大致平面的外部壳体表面起到与目标物体的接合或耦接表面的作用。

三轴加速度计100进一步包括电连接器102，该电连接器102可以包括4引脚连接器，该4引脚连接器包括公共接地端子和分别承载加速度计i、j、k分量输出信号的三个单独的输出信号端子，该加速度计i、j、k分量输出信号表示三轴加速度计100的换能器元件的灵敏度的对应第一正交轴、第二正交轴和第三正交轴。

i分量输出信号指示加速度计100在垂直地通过第一平面外部壳体表面101突出的加速度计的预定i方向上的加速度。这同样适用于分别指示沿j轴和k轴的加速度的j和k分量输出信号，以提供有关目标物体的振动的真实三轴加速度测量。目标物体120可以例如包括汽车车身、飞机结构、火车结构、风力涡轮机叶片、卫星结构、发动机、变速器等或其部件。电连接器102可以用于经由合适的电缆(例如低噪声屏蔽电缆)将i、j和k分量输出信号耦接到测量系统110。技术人员将理解，实际的测量设置可以包括经由合适的电缆耦接到测量系统的多个(例如大于20个或者甚至大于100个)的单独的三轴加速度计100。

测量系统110可以包括结合在个人计算机或其他计算硬件平台上执行的各种类型的数据获取软件的合适的加速度计仪器系统。具体地，测量系统可以包括数据获取接口113、数据处理单元111、存储器112或其他数据存储装置以及用户界面114。

数据获取接口113可以包括连接器，以允许多个三轴加速度计中的每一个耦接至测量系统的具体测量通道。

数据处理单元111可以例如是计算机或其他数据处理系统的适当编程的中央处理单元。数据处理单元111还可以被配置为执行结构分析软件应用程序，该结构分析软件应用程序相对于目标物体并基于从加速度计100接收的传感器信号执行结构分析计算。

用户界面114可以包括显示器，该显示器被配置为例如通过序列号以图形方式描绘每个测量通道的状态和标识符以及每个加速度计的标识和状态信息。显示器还可以允许显示目标物体的数字3D模型，该数字3D模型指示所确定的加速度计的位置和取向。

测量系统将每个三轴加速度计100的所确定的空间6维位置和取向数据以及可选地它们的序列号和/或与关于相应加速度计的其他信息与具体测量通道相关联或链接，该具体测量通道连接到相应加速度计的i、j、k输出信号的相应输出信号(通过4引脚连接器102)，该加速度计i、j、k输出信号分别表示三轴加速度计100在目标物体上的加速度的i、j、k分量。应当理解，测量系统可以包括多个单独的组件。组件可以彼此通信地耦接以允许数据传输。例如，测量系统可以包括被配置为记录来自换能器的传感器信号的数据获取系统和被配置为分析所记录的传感器信号的数据处理系统。

出于以下描述用于确定换能器相对于目标物体的空间配置的过程的一些实施方式的目的，目标物体120可以被认为是可以在3D空间中不受限制地移动的刚体Ω。在惯性全局坐标系(GCS)中定义了主体的位置和取向。让我们定义固定在主体上的局部坐标系(LCS)。让我们考虑在点P_n处附接到主体的N个三轴加速度计100，并且它们在LCS中的坐标为为了便于说明，在图1C中仅明确示出了单个加速度计；应当理解，加速度计的数量N通常将大于1，尤其是大于3，并且通常大于10或甚至大于100。

每个加速度计100测量相对于(惯性)GCS的适当加速度；经由沿加速度计的测量轴测量的三个标量分量提供加速度向量。然后让我们定义与每个加速度计的测量轴相关联的N个测量坐标系(MCS)。MCS的位置和取向在LCS中固定。

由于LCS固定在目标物体上，因此当目标物体表现为刚体时，LCS的位置和取向完全可以表征目标物体的位置和取向。在任何时间t，GCS中给定的向量{C(t)}_G∈R^6×1，

完整描述了LCS在GCS中的位置和取向，即，该向量描述了与目标物体相关联的局部坐标系的空间配置。这里是LCS的原点的半径向量，θ₁(t)；θ₂(t)；θ₃(t)是三个欧拉角，其定义了将GCS带到LCS的连续旋转。

确实存在不同的欧拉角公式，在该文献中，我们使用泰特布赖恩(Tait-Bryan)z-y’-x”约定(也称为航海角或卡登角(Cardan angles)：偏航、俯仰和横滚)。令GCS中的点P的坐标为{r}_G，LCS中的点P的坐标为{r_L}，并且GCS和LCS的原点重合。然后，坐标{r_L}可以作为三个连续的旋转获得，首先围绕GCS的z轴旋转θ₁，然后围绕新的y轴旋转θ₂，并且最后围绕新的x轴旋转θ₃：

其中，每个旋转由半径向量与旋转矩阵的预乘来表示。三个旋转矩阵组合产生一个旋转矩阵[R_GL]。从LCS到GCS的后向坐标变换可以表示为{r}_G＝[R_LG]{r}_L，其中，

[R_LG]＝[R_GL]^-1＝[R_GL]^T (3)

这里的第二个等式是因为旋转矩阵是正交矩阵。利用旋转矩阵，位于GCS中的点P_n中的加速度计的坐标可以表示为其在GCS中的平移和旋转的和，两者都是时间相关的，

{r_n(t)}_G＝{r₀(t)}_G+[R_LG(t)]{r_n}_L (4)

此时测量的加速度向量将为

附接到点P_n的三轴加速度计提供三个信号a_n，i(t)、a_n，j(t)和a_n，k(t)，它们对应于投影到与加速度计相关联的MCS轴的加速度向量(5)

其中，{i_n(t)}_G、{j_n(t)}_G和{k_n(t)}_G是在GCS中呈现的MCS的位置(orts)。

可以通过MCS首先到LCS并且然后到GCS的一系列连续旋转来获得GCS中的位置坐标：

其中，[R_ML，n]＝[R_LM，n]^-1＝[R_LM，n]^T，并且[R_LM，n]是表示与安装在点P_n处的加速度计相关联的LCS到MCS的旋转的矩阵。

可以使用一组欧拉角φ_n，1、φ_n，2和φ_n3以与(2)类似的方式来配置它：

其中，c_l，n＝cosφ_l，n，并且s_l，n＝sinφ_l，n，l＝1...3。

将(5)和(7)代入(6)并以矩阵形式重写，

在不失一般性的前提下，我们可以假设最初，当主体静止时，LCS与GCS重合(否则可以应用额外的平移和旋转以将GCS移动到LCS的初始位置，并且然后应用结果的后向变换)：[R_LG(0)]＝[E]。现在，让我们假设主体的运动w.r.t.，其初始位置很小：

这里，ε用作簿记装置(book-keeping device)，以指示所附加项的数量级。

将(2)代入(9)并进行两次微分，结果可以扩展为泰勒级数，从而得到

忽略数量级大于或等于∈²的项并重新排列

(12)中的两个矩阵可以组合成时不变的3×6矩阵[β_n]＝[β_n(r_n，x，r_n，y，r_n，z，φ_n，1，φ_n，2，φ_n，3)]，其元素是使用提供从LCS到MCS的旋转的三个欧拉角呈现的LCS中给定的点P_n的坐标和加速度计的取向的非线性函数。

注意，假设这些参数都不是很小。

总之，在小运动的情况下，由第n个三轴加速度计测量的信号可以近似为矩阵[β_n]与向量{C(t)}的乘积，用w.r.t.时间微分两次：

为了简化表示，让我们引入向量{a_n(t)}＝{a_n，i(t)，a_n，j(t)，a_n，k(t)}^T，因此将表达式(14)压缩为：

因此，通常，由加速器测量的加速度可以根据与所述换能器相关联的换能器传递矩阵并且根据目标物体的局部坐标系的空间配置(相对于时间微分两次)来计算。换能器传递矩阵表示所述加速度计的测量坐标系相对于目标物体的局部坐标系的空间配置。

图2示出了本文公开的测量过程的示例的流程图。可以例如使用结合图1A至图1C所描述的组件来执行测量过程。

在初始步骤S10中，将在其上执行结构分析的目标物体(例如图1A和图1C所示的物体120)安装在测试现场。应当理解，安装的类型可以取决于目标物体的特性(诸如其体积、质量和结构完整性)，并且取决于要进行的测量的目的，例如要执行的结构分析的类型。例如，当将目标物体安装在橡皮筋和/或气垫上时，其在任何方向上的刚体运动基本上保持不受限制。然而，将理解的是，在一些实施方式中，可能期望部分限制目标物体的刚体运动的安装。

在随后的步骤S20中，将多个换能器(诸如加速度计，例如图1B所示的三轴加速度计)安装到目标物体上，使得它们可以记录目标物体的运动。例如，换能器可以例如通过合适的安装元件、粘合剂等分布并附接在目标物体的表面上。将换能器安装成使得换能器的第一子集相对于目标物体的空间配置(即位置和取向)是已知的或手动确定的，例如被测量的。例如，第一子集的换能器可以被定位在目标物体的容易识别的位置处，并且与目标物体的容易识别的方向特征对准，例如在相应的边缘、拐角或类似的表面特征处。可以将参考换能器的位置提供为其坐标w.r.t.LCS。参考换能器相对于LCS的取向可以使用用于定义取向的任何合适的约定来提供。例如，它们可以按照z-y’-x”约定被提供为三个泰特布赖恩角。该角对应于从参考换能器的LCS到MCS的连续旋转。通常，可能优选地将参考换能器定位为使得由参考换能器围绕的区域覆盖大部分目标物体。如下面将更详细描述的，在一些实施方式中，仅需要输入关于参考换能器之间的空间关系的信息(例如，它们彼此之间的相互距离)，而不是它们的完整空间配置。

当换能器包括三轴加速度计时，第一子集优选地包括至少三个不沿直线定位的三轴加速度计。出于本说明书的目的，第一子集的加速度计也将被称为参考加速度计。

在步骤S30中，初始化测量系统，例如图1的实施方式的测量系统110。为此，换能器通信地连接到测量系统的数据获取接口。此外，参考换能器的已知空间配置(或至少关于它们的空间关系的信息)可以输入到测量系统中。而且，目标物体的数字模型(例如CAD模型和FE模型等)可以被加载到测量系统的存储器中。最后，可以设置要由测量系统执行的信号处理的一个或多个操作参数，例如可调衰减、滤波器参数等。例如，可以首先将要应用于所获取的传感器信号的高通滤波器的值设置为较小的值，例如小于1Hz，诸如0.7Hz。应当理解，合适的值可以取决于具体的数据获取系统和/或要测试的目标物体的特性。

在一些实施方式中，可以基于初始测量来设置一些参数。具体地，出于确定除了参考换能器之外的换能器的空间配置的目的，可能期望对传感器信号进行滤波，以便抑制与目标物体的运动的弯曲模式相关联的频率，同时保持与目标物体的运动的刚体模式相关联的频率。

为此，可以例如使用模态锤、锤状物体或以另一合适的方式来激励目标物体。测量系统可以响应于激励(例如响应于模态锤或锤状物体的冲击)从换能器获取传感器信号。可以针对例如在相应激励点处的多个激励重复该步骤。该过程可以为所有换能器计算频谱或频率响应函数，并估计最低弯曲模式的固有频率和最高刚体模式的固有频率。然后，出于确定换能器的空间配置的目的，该过程可以估计要应用于随后的传感器信号的低通滤波器的截止频率。具体地，可以选择截止频率，使得低通滤波器将保留关于刚体运动的信息，但不包括目标物体的弯曲运动。此外，测量系统的数据获取部分然后可以被配置为以大于预定阈值的采样频率进行记录。可以根据所确定的低通滤波器的截止频率(例如，低通滤波器的截止频率的2.56倍)来选择阈值。

在步骤S40中，该过程从换能器获取传感器信号。为此，可以诱导目标物体的运动(尤其是刚体运动)，并且可以获取响应于诱导运动的传感器信号。

具体地，可以启动数据获取并且可以使目标物体以其经历所有6个自由度(3个平移自由度和3个旋转自由度)的方式摆动。这可以例如通过用手摆动悬挂的物体或通过使用具有非常软尖端的重锤手动地完成。由于刚体模式的谐振频率通常非常低，因此可能难以激励刚体模式以在加速度信号中具有足够的信噪比。因此，基于6个自由度中的每个自由度的多次摆动(例如基于6个方向中的每个方向上的至少20至40次摆动)来记录足够的数据可能是有利的。所获取的传感器信号可以表示为测量的时间序列。在一些实施方式中，在最初仅输入第一子集的换能器的空间关系的情况下，该步骤之后可以计算第一组换能器的完整空间配置。

在随后的步骤S50中，该过程根据参考换能器的已知空间配置并且根据所获取的传感器信号来计算除了参考换能器之外的换能器的空间配置。下面将参考图3详细描述用于计算换能器的空间配置的计算过程的示例。从下面的描述中将显而易见的是，作为计算的一部分，该过程可以检测所获取的数据在多大程度上适合于或足以以期望的精度计算所有换能器的空间配置。如果这样的计算是不可能的，则该过程可以警告用户。然后，用户可以重复数据获取，例如通过获取更多数据以改进信噪比，通过重新调整某些参数(例如低通滤波器的截止频率)或通过将加速度计移动至其他位置(将参考加速度计保持在适当的位置)并重复测量。

一旦确定了所有换能器的空间配置，该过程就可以继续进行实际数据获取以进行期望的结构分析。为此，可以在步骤S60中获取附加数据。具体地，可以移动目标物体以激励弯曲模式和刚体模式，并且可以获取来自所有换能器的进一步的传感器信号。在该步骤期间，可以省略先前用于抑制弯曲模式的低通滤波。

在步骤S70中，该过程可以基于所获取的附加数据并且基于所有换能器的已知和所确定的空间配置来执行期望的结构分析计算。通常，术语结构分析旨在涵盖基于所记录的换能器信号的任何计算方法，该换能器信号产生关于当目标物体在经受力时并且尤其是经受动态负载时的行为的信息。结构分析的示例可以包括动态位移、时间历程和模态分析、振动分析等的分析。在一些实施方式中，结构分析可以包括有限元分析，例如以便计算模式形状和频率。

图3示出了如本文所公开的用于确定换能器(尤其是三轴加速度计)的空间配置的计算机实现的过程的示例的流程图。该过程可以例如由结合图1A所描述的测量系统110执行。

在初始步骤S51中，该过程接收输入数据。具体地，该过程接收相应参考加速度计的位置和取向。例如，可以接收位置作为参考加速度计w.r.t.LCS的坐标。可以接收每个参考加速度计的取向作为遵循z-y’-x”约定的三个泰特布赖恩角。角对应于参考加速度计的从LCS到MCS的连续旋转。位置和取向可以已经手动输入、通过另一自动过程确定或者基于参考换能器之间的空间关系的输入信息和基于传感器信号来计算。

该过程还接收已经响应于目标物体的诱导运动而记录的所有加速度计的传感器信号，例如，在图2的过程的步骤S40中获取的记录。该过程还可以接收在测量期间加速度计连接到的数据获取接口的通道表，以及关于哪些通道对应于参考加速度计的指示，即哪些通道对应于第一子集的加速度计以及哪些通道对应到第二子集的加速度计。

该过程还可以接收附加信息，诸如结合图2的过程的步骤S30所描述的低通滤波器的截止频率。

在随后的步骤中，该过程计算第二子集的加速度计的空间配置。在讨论各个步骤之前，将更详细地描述计算第二子集的加速度计的位置和取向的总体方法：

让我们假设换能器的第一子集包括来自集合的R个参考加速度计，我们称集合为参考集合。参考集合的所有加速度计的位置和取向都是已知的。针对集合中的所有加速度计叠加表达式(15)

其中，矩阵[β_r]，r＝1..R也称为换能器传递矩阵；参考加速度计的换能器传递矩阵从(13)已知。每个换能器传递矩阵将对应换能器的传感器信号与表示目标物体(即，与目标物体相关联的局部坐标系LCS)的刚体的位置和取向(即加速度)的二阶导数向量相关联。加速度计信号{a_r(t)}可用于参考加速度计。然后可以将向量估计为所测量的加速度的最小二乘平均值：

这里，符号表示矩阵伪逆。

矩阵由参考加速度计的换能器传递矩阵构成；它具有3个R行和6列。为了使等式(17)可解，矩阵应该是满秩的，因此它应具有至少6行。但是，两个三轴参考加速度计(R＝2)不足以构成满秩矩阵，并且需要至少三个参考加速度计(R＝3)(并且它们不应放置在直线上)。

让我们假设满足上述条件，并且可以使用(17)获得让我们考虑另一组加速度计其附接到同一主体上并与来自集合的加速度计同步测量。加速度计读数是可用的；但是，它们的位置和取向是未知的。对于每个加速度计其读数与cf.(15)线性相关

从(12)可知，矩阵[β_q]是r_q，x，r_q，y，r_q，z，φ_q，1，φ_q，2，φ_q，3的函数，并且解析(非线性)表达式可用于该3×6矩阵的每个元素。

通过求解(18)中的未知数r_q，x，r_q，y，r_q，z，φ_q，1，φ_q，2，φ_q，3，可以从集合中获得任何加速度计的位置和取向。

解决该(非线性)问题的方法是可能的。在下面公开了用于解决非线性问题的方法的两个示例：

方法1：

如上所述，可以将(18)中的矩阵[β_q]视为传递矩阵；可以使用从多输入多输出(MIMO)模态分析已知的估计器中的一个(即H₁、H_v或H_s)(例如，参见J.S.Bendat，A.G.Piersol，“Engineering applications of correlation and spectral analysis”，John Wiley&Sons，Inc.，1980)，根据所测量的{a_q(t)}和所估计的来估计。对于在t_i，i＝1...M采样的信号，让我们呈现加速度计读数并将作为矩阵：

因此(17)变为

遵循最简单的H₁估算器，

等同于元素

可以求解6个未知数的18个非线性方程。由于加速度计读数被噪声污染，因此这可以被表述为找到产生矩阵方程(22)中的元素的最佳拟合的这样的r_q，x，r_q，y，r_q，z，φ_q，1，φ_q，2，φ_q，3的优化问题，从而使以下[ε]的元素或其一些范数最小化。

方法二：

代替拟合传递矩阵的18个元素，可以拟合所测量的时间历程。让我们考虑：

其中，是针对变量的向量{v_q}＝{r_q，x，r_q，y，r_q，z，φ_q，1，φ_q，2，φ_q，3}^T计算的加速度计q的估计读数。测量信号与估计之间的差异为

并且左侧矩阵的行可以视为加速度计的x、y和z测量轴的预测误差。每个测量轴的标量拟合误差可以表示为均方：

其中，表达式(26)的左侧是变量的向量{v}的正标量函数，可以将其组合为正标量函数：

E({v_q})²＝E_x({v_q})²+E_y({v_q})²+E_z({v_q})². (27)

那么最小化问题可以表述为：

服从

{v}_min≤{v_q}≤{v}_max

后者提出了可能的约束，例如，加速度计的位置不应在目标物体之外，并且欧拉角通常服从

以上两种方法中的每一种都可以单独用作独立方法。可选地，两种方法可以组合使用。尽管以上方法1可以收敛的更快，但是方法2可能导致更准确的估计。因此，在一些实施方式中，方法1可以用于计算初始估计，而方法2可以用于完善方法1的输出。

通常，以上方法做出许多假设。具体地，以上方法假设目标物体作为刚体运动、诱导运动的位移很小以及目标物体在所有六个自由度上运动。

本文公开的方法的实施方式的精度取决于在实际测量情况下满足以上假设的程度。

下面将对此进行更详细的讨论。

在典型的测量情况下，目标物体不作为理想的不受限制的刚体移动。然而，当目标物体由例如柔软的橡皮筋和/或气垫支撑以便在自由条件下模拟物体的动力学时，存在许多测量场景。这是用于验证/调整物体的FE模型的实验模态分析(EMA)的典型场景。支撑件的刚度的选择可以基于刚体模式的频率(由物体的惯性和支撑件的刚度定义)和柔性模式共振(取决于物体的刚度)的最佳分离；采样频率响应函数(FRF)或加速度计自动频谱可以用于对此进行检查，例如，如图4A至图4B所示。图4A示出了在0Hz至900Hz之间的频率范围内的目标物体的FRF，而图4B示出了在0Hz至50Hz的频率范围内的FRF的放大图。如从图4A至图4B可以看出的，最低弯曲模式发生在约462HZ，而最高刚体模式发生在约6.5HZ。因此，弯曲模式与刚性模式之间的良好分离确实是可能的。因此，通过应用低通滤波器并将其截止频率设置在最高刚体模式以上和最低弯曲模式以下，可以显著地衰减响应的柔性分量并满足对刚体运动的假设。

关于目标物体在所有六个自由度上的运动，为了找到求解(18)的所有六个未知数，矩阵应为满秩(即其秩应等于六)。针对采样的加速度计的信号重写表达式(17)，如(19)

根据西尔维斯特不等式(参考矩阵食谱(Matrix Cookbook))

已经讨论了的秩：通过以适当地方式定位参考加速度计，可以容易实现该矩阵的满秩(回想一下，其应该是三个或更多参考加速度计，不是沿直线安装的)。并且如果为满秩，则其伪逆也为满秩：

因此，是满秩的必要条件。为此，在数据获取期间，目标物体应在所有六个自由度上经历运动，并且应特别注意激励目标物体使得其在所有六个方向上经历运动。

通过检查应用低通滤波器之后的奇异值可以检查如何满足该假设，这将在下面讨论。

为了获得表达式(11)，我们假设平移位移和旋转位移很小。实际上，已经发现，当旋转位移θ足够小以满足sinθ≈θ，cosθ≈1时，满足该假设；最多两个小数，如果|θ|≤10⁰，则满足该情形。为了具有相同的幅度，平移位移d应该在|d/l|≤0.17的范围内，其中，l是目标物体的某些特征长度。

另一方面，应注意，应激励一些合理的位移，以确保加速度计信号的良好信噪比，这可能难以在非常低的频率下实现。

发明人已经发现，当用手在所有六个方向上移动目标物体时，或者用具有软尖端的相对重的锤子来激励目标物体时，足以激励目标物体。已经发现，当使用锤子时，在随机方向的许多点上撞击物体是有帮助的。这样，结构将经历围绕其初始位置的振荡，这被认为是实现该假设的非常有用的方式。

再次参考图3，在步骤S52中，该过程使用所确定的截止频率对所接收的传感器信号执行低通滤波。

在步骤S53中，该过程验证目标物体的诱导运动是否可以表示为刚体运动，以及运动是否在所有六个自由度中发生。为此，该过程可以计算关于所有加速度计信号的奇异值[a(t_i)]，并确定奇异值#6和#7之间的差和/或比率是否大于预定阈值。图5示出了针对目标物体的示例运动确定的归一化奇异值的示例。奇异值#6和#7之间的空隙由箭头551指示。

如果诱导运动满足以上标准，则该过程进入步骤S54。否则，该过程返回适当的错误消息，例如指示用户重复诱导运动的步骤(例如返回到图2的过程的步骤S40)。

在步骤S54，该过程去除对应于大于6的奇异值的数据(例如，通过执行奇异值分解，然后截断)、缩放坐标，使得参考之间的最大距离为1，并使用表达式(16)计算矩阵

在步骤S55，该过程将所计算的矩阵的条件数与预定阈值进行比较。如果条件数大于阈值，则该过程返回适当的消息，指示用户选择参考加速度计的不同位置，即，与直线间隔更大的位置(例如，返回到图2的过程的步骤S20)，并重复数据获取。否则，该过程进入步骤S56。

在步骤S56，该过程使用表达式(17)计算目标物体的局部坐标系的加速度，即过程计算如上所述，该步骤可以包括计算线性方程组的最小二乘解。

在步骤S57，该过程计算第二子集的每个加速度计的空间配置，即，每个非参考加速度计的位置和取向。下面将参考图7更详细地描述用于计算第二子集的加速度计的空间配置的方法的示例。

当已经计算了所有参考加速度的空间配置时，该过程进入步骤S58，在该步骤S58中，将所有坐标重新缩放回到原始缩放。

在步骤S59，该过程存储所确定的空间配置以在随后的测量期间使用。例如，如图6A至图6B所示，该过程还可以例如经由图形用户界面将结果呈现给用户。图6A示意性地示出了指示相应加速度计的所确定的空间配置的目标物体的所显示的3D数字模型。图6B示出了所显示的3D数字模型的一部分的放大图。

图7示出了如本文所公开的用于确定第二子集的换能器(尤其是三轴加速度计)的空间配置的计算机实现的过程的示例的流程图。该过程可以例如由结合图1A所描述的测量系统110执行。

在初始步骤S571中，该过程使用表达式(21)计算传递矩阵

在步骤S572中，该过程计算起点，例如作为参考加速度计的位置的平均值。

在步骤S573中，该过程例如使用牛顿法来计算未知位置和取向的初始估计。

如果牛顿法收敛，则该过程进入步骤S575；否则，如果该方法不收敛，则该过程进入步骤S574，在该步骤S574中，该过程将随机位移添加到起点，并且返回到步骤S573。如果算法在预定次数的尝试之后(例如，在5至10次尝试之后)没有收敛，则该过程将当前加速器标记为错误，并前进至下一个加速度计。标记有错误的加速度计可能必须重新定位，或者必须手动确定其位置。

在步骤S575，该过程存储当前加速度计的所计算的位置和取向。

可选地，已经发现，当该过程执行附加的最小化步骤S576时，可以进一步改进结果的精度。具体地，附加的最小化步骤可以使用牛顿法的结果作为起点，例如使用表达式(29)生成一组约束，并且运行使合适的目标函数最小化的最小化算法，例如，如表达式(28)所定义的。最优化问题(28)试图使函数E({v_q})²最小化，该函数是6个变量{v_q}＝{r_q，x，r_q，y，r_q，z，φ_q，1，φ_q，2，φ_q，3}^T的强非线性函数，并且在后三个变量上是周期性的。最小化受到线性约束。最小化可以通过任何合适的例程(例如使用MATLAB的FMINCON)来执行。该例程根据函数的类型和约束自动选择优化方法。对于这个具体的优化问题，不需要提供雅可比矩阵(Jacobian)和海森矩阵(Hessian)(一阶导数w.r.t.变量和二阶导数w.r.t.变量)。但是，在使用需要灵敏度的另一种优化算法的情况下，可以很容易地获得它们。如果目标函数的值在最小化后变得更小，则该过程可以将优化结果存储为位置和取向的最终估计。该过程可以进一步存储结果的质量指标，例如拟合的相对误差。

应当理解，以上方法的许多变化是可能的。在下文中，将讨论用于确定换能器的空间配置的过程的可选实施方式。以上实施方式依赖于参考加速度计的位置和取向的知识：至少三个加速度计必须被安装在具有已知坐标的位置并且例如与GCS仔细地对准。参考加速度计的位置/取向的精度直接影响其他加速度计的最终位置/取向。在下面呈现的过程的实施方式中，显著地放宽了确定参考加速度计的位置和取向的要求，以它们之间的距离代替对精确参考加速度计的位置和取向的需要。因此，在该实施方式中，在图2的过程的步骤S20中，仅确定安装在目标物体上的参考加速度计之间的相对距离。该实施方式也将被称为无参考实施方式。应当理解，替代相对距离，换能器之间的其他空间关系可以用作其他无参考实施方式的输入。

假设三个参考加速度计之间的距离，则该方法在附接到三个参考加速度计中的一个的LCS中输出三个参考加速度计的位置和取向。该方法的输出可以被视为先前描述的方法的输入，因此可以基于同一数据集获得所有其他加速度计的位置和取向。

为此，考虑将三个三轴加速度计安装在不可变形的目标物体上，该目标物体可以在3D空间中不受限制地移动。让我们假设目标物体在所有六个自由度上都经历小位移。让我们进一步用字母和标记加速度计。使用与以前相同的约定，让我们使用其在LCS中的坐标和三个泰特布赖恩角(使用z-y’-x”约定)来定义每个加速度计的位置和取向，这会将加速度计的LCS旋转为MCS。为了方便起见，让我们使用向量其中，是或现在让我们选择加速度计的初始位置作为LCS的原点，并且让我们选择加速度计在其初始取向的MCS作为LCS的取向，因此

加速度计的读数是可用的：{a(t)}∈R^9×1，并且我们可以将这九个信号的集合分成两个集合：

其中，{a_r(t)}∈R^6×1和{a_q(t)}∈R^3×1，出于本说明书的目的，我们将第一集合称为参考集合，并且将第二集合称为测试结合。

根据(29)，可以根据向量估计两个集合中的加速度：

将从第二个方程中分离并代入第一个方程得到

{a_q(t)}＝[β_q][β_r]^-1{a_r(t)}. (34)

矩阵[β_r]和[β_q]的元素取决于加速度计(13)的位置和取向，并且可以写为和[β_q]＝[β_q({v_b}，{v_c})]。对于任意{v_b}和{v_c}，测试集合信号可以根据参考集合信号估计为：

其中，矩阵

可以解释为来自参考集合的信号与来自测试集合的信号之间的传递矩阵。

来自测试集合的第j个预测信号与对应的测量信号之间的差为

在采样形式中，其中，时间采样t_i＝(i-1)Δt，i＝1..M。然后，可以通过其均方差来表征差：

并且对于所有三个测试通道，

现在可以将最小化问题表述为

服从

(40)中的约束是几何约束-不允许在目标物体尺寸之外寻找加速度计位置以及欧拉角的约束(29)。

发明人认为，乘积对于线性标度是不变的，即，如果和中的所有线性尺寸都乘以相同的标量，则所得矩阵乘积是相同的。直观地，可以理解为在测量线性距离(例如英寸或毫米)时使用不同的线性单位。这意味着解决方案将包含多达乘数的距离；在使用最小化的情况下，最小化例程将难以收敛。避免这种情况的一种方法是引入额外的约束，例如，为优化例程提供三个加速度计和之间的距离。这些约束将是：

其中，是加速度计与之间的估计距离，针对和计算的是允许的线性公差。

注意，参考集合由来自所有三个加速度计的六个信号组成。一种方便的(但不是强制性的)方法是由加速度计的所有三个信号、来自的一个或两个信号以及来自的其余信号组成，例如，可能的参考集合可以为其中，下标指示给定加速度计的测量方向。然后，测试集合应包括其余信号，即选择优选信号的策略将在后面讨论。

构造如下[β_r]和[β_q]矩阵是方便的：首先构造满9×6矩阵

并且然后提取对应于参考集合和测试集合的行：

时间历程也是如此。如果是来自三个加速度计的所有时间历程的集合，则

由于表达式(35)涉及[β_r]的逆，因此可能优选的是{a_r(t)}中的六个时间历程尽可能独立。如果以采样形式编写{a_r(t)}→[a_r(t_i)]，i＝1..M，则可能优选的是以矩阵[a_r(t_i)]的条件值最小的方式选择集合R的内容。由于R中信号的可能组合数为6！/(3！(6-3)！)＝20，并且SVD运算非常快，因此可以迭代所有可能的组合并选择给定最小条件数的组合。

总之，用由(41)扩展的约束集合来解决最小化问题(40)将提供加速度计和 以及在由加速度计的MCS所定义的LCS中的位置和取向。

(40)中的目标函数是其12个参数的强非线性函数，其中，优化问题受到非线性约束(41)的影响。在某些情况下，优化问题的收敛性可能对选择好的起点很敏感。

为了解决该问题，寻求优化问题的松弛公式(relaxed formulation)可能是有益的。重要的是要注意，这种松弛公式仍应是实用的。

下面，我们建议一种可能的松弛公式，其中，变量的数量从12减少到8。这可以通过以其XOY平面为水平的方式定义LCS来实现。由于LCS是由加速度计的MCS定义的，因此实际上意味着其Z轴应垂直。加速度计和也应同样要求。如果满足该要求，则后两个加速度计从LCS到MCS的旋转仅包含一个旋转，即围绕LCS的Z轴旋转角度和并将其他四个角度设置为0：

该要求的实际实现方式并不特别难以实现：使用水平仪，相对容易地将三个加速度计对准，使得其XOY平面(或MCS的另一平面)是水平的。注意，对于加速度计在XOY平面上的取向(即，它们的方向和角度)没有特殊要求，但是实际上，了解加速度计的近似方向、将这些值用作最小化例程的起点是有利的。

实际上，非松弛优化可以遵循松弛优化，如下所述：

1.根据松弛公式安装三个参考加速度计

2.使用参考加速度计的近似位置及其方向和作为起点来执行松弛优化。

3.在松弛公式收敛后，所得值可以用作非松弛优化的起点，以获得精确的位置和取向。

4.最后，基于同一数据集，参考加速度计的坐标和取向用于获得所有其他加速度计的坐标和取向。

这样，例如在加速度计未与重力方向完美对准的情况下，可以提高结果的精度。

最优化问题(40)寻求实标量正目标函数的最小值，该函数是12个变量(松弛情况下为8个变量)的强非线性函数，并且在其中一些变量上是周期性的。最小化受到一组非线性约束(41)。

作为MATLAB的优化工具箱的一部分的MATLAB FMINCON是解决最小化问题的便捷程序。在该具体公式中，FMINCON要求提供目标函数和约束w.r.t.变量的灵敏度。它需要目标函数和约束的一阶导数(雅克比矩阵)和二阶敏感度(海森矩阵)两者。FMINCON可以使用有限差分自动计算导数。

但是，在可能的情况下，可以优选地提供分析(精确)灵敏度。灵敏度的推导在下面进行解释。

目标函数(39)是8个或12个变量的函数，取决于是否考虑松弛或非松弛公式。如果将所有变量组合成单个向量则目标函数的雅可比矩阵为向量其第i个元素为

根据目标函数(39)的定义，

利用(35)至(38)得出，

其中，预测信号与测量信号之间的差为

使用信号的采样表示：{a_r(t)}→[a_r(t_i)]，和[a_r(t_i)]∈R^6×M。注意，在{}或[]括号后的下标j分别表示向量的第j个元素或矩阵的第j行。在此，预测信号与测量信号之间的差为

微分

代入(48)，

并利用(36)，我们得到

虽然矩阵的导数相当简单，但逆的导数更多地涉及：

结合以上所有内容并代入(45)，就可以得到雅可比矩阵的解析表达式(矩阵逆除外，这更便于使用数值方法计算)。

海森矩阵是一个方阵，其元素为

可以使用与雅可比矩阵相同的考虑因素来计算海森矩阵的元素。

约束的灵敏度：

按照优化问题的标准约束表示，约束(41)可以重新表述为

其中，给定变量值的平方距离的估计为

并且约束(54)的梯度非常简单。约束梯度是3×8或3×12矩阵；作为示例，下面提供的元素很少。

导数w.r.t.欧拉角为零。

上述方法的实施方式假定目标物体是刚性的并且其运动不受约束。在下面，将描述可以应用于其运动可以被约束的柔性目标物体的实施方式。在许多应用中，这样的物体表示目标物体的显著部分，其中，所提出的方法可能是有帮助的。示例包括安装在测试台上的风力涡轮机叶片、类似桥梁、塔、烟囱等的土木结构。

图8示出了其运动受到约束的可变形目标物体的示例，后者通过一些边界条件来描述。在目标物体810的非变形状态下，目标物体的每个点P具有由半径向量描述的坐标，该半径向量在GCS中是{r}_G∈Ω，其中，Ω是定义目标物体的域。在任何时间t，点P的位移都由向量{d({r}_G，t)}_G定义，然后其加速度为

这里且进一步地，在本文中，省略了表示GCS的下标。

考虑处于非变形状态810的目标物体。双轴加速度计811安装在物体上坐标为GCS{r_n}∈Ω的点处，并且其取向使得可以通过旋转矩阵[R_GM，n]从GCS获得其MCS。

当目标物体振动时，由加速度计感测到的三个(标量)信号为

其中，{i_n(t)}，{j_n(t)}和{k_n(t)}是GCS中显示的MCS的位置。

可以通过以下方式获得GCS中的位置坐标：

其中，

[R_MG，n(t)]＝[R_GM，n(t)]^-1＝[R_GM，n(t)]^T (60)

是从MCS到GCS的旋转矩阵。利用(59)、(60)并将(58)中的标量组合到向量{a_n(t)}＝{a_n，i(t)，a_n，j(t)，a_n，k(t)}^T中，可以获得

{a_n(t)}＝[R_GM，n(t)]{a({r_n}，t)}. (61)

使用加勒金方法，可以扩展

其中，{Ψ_k({r})}，k＝1..∞是一组满足边界条件(所谓的基本边界条件)并且相互正交的时间相关的向量。D_k(t)是时间相关的标量。{Ψ_k({r})}的一种方便(但不是必需)的选择是物体的模式形状，则D_k(t)是所谓的模态坐标。

在任何给定的有限频率范围内，(62)可以表示为

其中，第一总和显著地促进目标物体的整体位移，而后者却没有，并且可以被忽略。对w.r.t.时间微分两次，

其中，

将(64)代入(61)得到

时间相关的旋转矩阵[R_GM，n(t)]可以表示为非变形状态的旋转矩阵[R_GM，n]和旋转矩阵[R_MM′，n(t)]的组合，其中，下标M′表示物体变形状态下的MCS：

[R_GM，n(t)]＝[R_GM，n][R_MM，n(t)]. (66)

后者取决于三个欧拉角θ₁(t)，θ₂(t)和θ₃(t)，它们定义了从非变形状态的MCS到变形状态的MCS的旋转顺序。

让我们假设振动幅度很小，并利用∈作为簿记员标记方程中的小项，

A_k(t)＝∈A_k(t)， (67)

并且θ₁(t)＝∈θ₁(t)，θ₂(t)＝∈θ₂(t)和θ₃(t)＝∈θ₃(t)。旋转矩阵的构造类似于(8)；对于较小的欧拉角cos(∈θ(t))＝1+O(∈²)和sin(∈θ(t))＝O(∈)，矩阵变为

[R_MM′，n(t)]＝[E]+[O(∈)]. (68)

将(68)代入(66)，并且然后与(67)一起代入(65)，得到

省略数量级∈²及更高的项并去除簿记员，我们获得

后一个总和可以重写为乘积

其中，k是集合中的索引，并且是其大小。因此，

现在让我们假设来自集合的R加速度计的位置和取向是已知的，我们称集合为参考集合。因此对于的和[R_GM，n]是已知的。将参考集合中所有加速度计的表达式堆叠在一起，

我们还假定这些加速度计的读数(时间历程)在任何时间t都可用。因此，可以将(73)右侧的时间相关系数估计为

(74)有解的必要条件是(73)中的矩阵是正方形或垂直的，即其行数大于或等于列数，或K≤3R。

所描述的用于获得系数A_k(t)的过程类似于计算模态坐标的过程，该过程在例如(D.J.Ewins，“Modal testing：Theory，practice and applications”，Research StudiesPress Ltd.，2000)中详细给出。在这种情况下，向量{Ψ_i({r})}是目标物体的模式形状。

根据所计算的系数A_k(t)，现在可以如下确定不在参考集合中的加速度计(即第二子集的加速度计)的位置和取向：

为了方便起见，在下面重写的表达式(72)指出，在某个频率范围内，位于点{r_n}并这样取向且其旋转矩阵为[R_GM，n]的第n个加速度计的读数可以估计为

这里，如上一节所述，我们认为加速度计读数{a_n(t)}(三个时间历程)是可用的，向量{Ψ_k({r})}在任何点{r}∈Ω都是已知的(或可以近似的)，并且可以找到时间相关的权重A_k(t)。

对于在t_i，i＝1...M处采样的信号，加速度计读数{a_n(t)}和{A₁(t)，...，A_K(t)}^T可以表示为矩阵：

因此(75)变为

表达式(77)与(20)相似，后者是为无约束的刚体情况制定的，并且示出了这两种情况之间的相似性。

有六个未知数：由三个欧拉角φ_n，1，φ_n，2，φ_n，3描述为旋转矩阵的加速度计坐标{r_n}及其取向是欧拉角[R_GM，n]＝[R_GM(φ_n，1，φ_n，2，φ_n，3)]的函数。将所有六个未知数组合为一个向量{v_n}＝{r_n，x，r_n，y，r_n，z，φ_n，1，φ_n，2，φ_n，3}^T很方便。

在以向量{v_q}为特征的试验位置/取向上，所估计的加速度为

并且在每次采样时，所测量的加速度和所估计的加速度之间的误差为

每个测量轴的误差可以用均方根来表示：

其中，表达式(80)的左侧是变量向量{v_q}的正标量函数，可以将其组合为正标量函数

E({v_q})²＝E_x({v_q})²+E_y({v_q})²+E_z({v_q})². (81)

然后，最小化问题可以表述为：

[R_GM，n]＝[R_GM(φ_n，1，φ_n，2，φ_n，3)]，_q})². (82)

满足

{v}_min≤{v_q}≤{v}_max

后者提出了可能的约束，例如，加速度计的位置不应位于目标物体({r_n，x，r_n，y，r_n，z}^T∈Ω)之外，并且欧拉角通常满足

以上呈现的实施方式说明了如何将用于查找加速度计的位置/取向的方法应用于可变形目标物体，该可变形目标物体的运动受到一些(足够刚性的)支撑件的约束。这种目标物体的示例包括许多“原位(in situ)”测试的物体，它们通常是大型的土木结构，例如风力涡轮机、塔、桥梁等。

该方法假设可以找到一组空间函数{Ψ_k({r})}，r∈Ω，该空间函数(i)满足目标物体的基本边界条件，并且(ii)相互正交。这种功能的优选集合例如是根据目标物体的FE分析已知一组模式形状。满足上述条件的任何其他集合都是有效的，但是它们可能需要考虑更多的形状，并且因此，需要更多的参考加速度计。

该方法包括：

-计算时间相关系数A_k(t)，k＝1..K。该过程类似于例如在模态分解中获取模态坐标。

-通过使拟合误差最小化来计算加速度计的位置和取向。

示例：

图9示出了其上安装有换能器的目标物体的示例的不同示图。如图9所示，变速器壳体901由橡皮筋902支撑。选择了可从丹麦Naerum的Briiel&Kjaer声音和振动测量A/S获得的三个加速度计903型4506B作为参考加速度计，并如图9所示安装。使用均可从丹麦Naerum的Briiel&Kjaer声音和振动测量A/S获得的水平仪UA-140和旋转基座UA-1473，将加速度计对准，使其Y轴垂直并指向上方。参考加速度计的坐标是使用可从美国科罗拉多州博尔德市的Boulder Innovation Group，Inc.获得的BIG FP5500 3D Creator测量的，其亚毫米精度为：

·参考(红色)：227.7；248.5；665.8毫米

·参考(蓝色)：179.2；380.6；22.9毫米

·参考(绿色)：376.9；86.4；59.8毫米

坐标以GCS给出，当变速器垂直站立时测量，其中，GCS的Z轴指向上方。每个传感器的八个拐角被数字化，并且所提供的坐标对应于八个拐角的几何中心。

结构的主要特征(最明显的边缘和肋骨)是由BIG FP5500 3D Creator使用提供高精度线框模型的ATC软件逐点数字化的。为了提高可视化效果，还使用在索尼Xperia XZ1手机上运行的索尼3D Creator应用程序将变速器壳体数字化，该应用程序经由WavefrontOBJ文件导出到MATLAB。后者由节点和三角形面组成。

更具体地，采用了以下过程：

1.如上所述安装和对准参考加速度计。

2.使用BIG FP5500将结构数字化

a.获得参考加速度计中心的坐标(基于其拐角)

b.31个点在结构上选择，用十字表示，编号，并用BIG FP5500获得的十字坐标表示。

c.选择31个点中的12个点用于检查取向精度：即，放置在结构的特征附近(如拐角)以允许加速度计与结构视觉对准。

3.完成六个设置的测量(名为Setup[1，2，4，5，6，7])

a.每个设置包括三个参考加速度计，以及

b.另外五个加速度计904，其在已知位置处附接到变速器壳体。

c.设置##4、5、6是专门为测量取向精度而设计的4.对于每个设置，

a.使用本文所述的“无参考”实施方式计算所有8个加速度计的位置和取向。

b.将所获得的加速度计的位置与其已知坐标进行比较。这是使用垂直于表面的表示测量轴，将加速度计的中心“投影”到结构的表面来完成的。

c.对于设置##4、5、6，获得MCS的位置，并计算位置之间的角度。这允许进行关于位置的散布的统计，从而允许得出关于定向误差的结论。

5.基于35个估计，平均定位误差为11.2mm(σ＝4.8)

图10A示出了定位误差的直方图。直方图基于非参考加速度计。由于参考加速度计也可以被认为属于测试加速度计，因此它们的位置也可以与已知位置进行比较，但是它们导致更小的误差。因此，它们未包括在统计信息中。在图6A至图6B中示出传感器定位的示例。具体地，图6A示出了变速器壳体901的数字化3D模型的示图，其中，示出了例如设置#2的加速度计的所确定的位置和取向。在图6B中，示出了变速器壳体的放大部分和两个加速度计位置，包括由黑点表示的加速度计的已知位置。如图6B中的红色箭头所示，定位误差被估计为黑点(用3D Creator获得)与第二点之间的距离，该第二点是所估计的加速度计中心到安装表面的投影。

图10B示出了取向误差的直方图。对于每个设置，有5个测试加速度计，因此每个方向5个位置。对于每对位置，计算它们之间的角度(以位置的标量积的反余弦表示)；这导致每个方向有10个角度，即三个方向有30个角度。对于三个设置(#4、5、6)，统计信息为：

i.设置#4：均值4.3°，σ＝2.3°

ii.设置#5：均值4.4°，σ＝2.0°

iii.设置#6：均值6.0°，σ＝2.5°

对于设置#4，在图10B中示出直方图。

基于以上内容，因此可以得出结论，本文公开的方法提供了合理的估计质量，该估计质量可与当前技术可实现的估计质量相比较，并且足以用于典型应用。

可以在测试设置期间采用本文描述的方法的实施方式，尤其是用于确定换能器在目标物体上的位置和取向。

还可以采用本文描述的方法的实施方式，以验证加速度计的安装，例如以便验证加速度计的位置/取向在测试期间没有改变。

类似地，还可以采用本文描述的方法的实施方式，以便创建目标物体的简化几何形状的数字表示，例如数字3D模型。在一些测量场景中，方便地制作目标物体的简化几何形状，例如以便将所获得的频率响应函数或模式形状可视化。由于所提出的技术允许确定加速度计的位置，因此通过将放置加速度计的所获得的节点与线连接起来，该技术可以用于目标物体的快速且粗略的“数字化”。

本文描述的方法的实施方式可以通过包括几个不同元件的硬件来实现，和/或至少部分地通过适当编程的微处理器来实现。在列举几个装置的设备权利要求中，这些装置中的几个装置可以由一个且相同的硬件的元件、组件或项目来体现。在互不相同的从属权利要求中叙述或在不同的实施方式中描述某些措施的唯一事实并不指示不能有利地使用这些措施的组合。

应当强调的是，当在本说明书中使用时，术语“包括(comprises)/包括(comprising)”用于指定所述特征、元件、步骤或组件的存在，但不排除一个或多个其他特征、元件、步骤、组件或其组合的存在或添加。