一种基于l-m算法的数字全通滤波器设计方法
阅读说明：本技术 一种基于l-m算法的数字全通滤波器设计方法 (Digital all-pass filter design method based on L-M algorithm ) 是由 赵禹 孟婕 叶芃 杨扩军 张沁川 黄武煌 于 2021-06-22 设计创作，主要内容包括：本发明公开了一种基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法,先根据设计要求设置数字全通滤波器的目标群时延,再通过计算目标群时延和GD-(sum),进而设置数字全通滤波器的阶数L；然后计算增加固定偏置后的数字全通滤波器的时延设计目标通过将划分成L个频率区间FB-(l),确定各个FB-(l)的边界值接着,通过每个FB-(l)区间对应数字全通滤波器二阶节的极点模值及相角构造向量,进而计算出数字全通滤波器的群时延最后以最小均方误差E(U)准则,利用Levenberg-Marquardt算法对A-(l)和θ-(l)的参数进行优化,完成数字全通滤波器设计。(The invention discloses a digital all-pass filter design method based on an L-M algorithm, which comprises the steps of firstly setting a target group delay of a digital all-pass filter according to design requirements, and then calculating the target group delay and GD sum Further setting the order L of the digital all-pass filter; then calculating the time delay design target of the digital all-pass filter after adding the fixed offset By mixing Divided into L frequency intervals FB l Determining each FB l Boundary value of Then, through each FB l The interval corresponds to the pole module value and the phase angle construction vector of the second order section of the digital all-pass filter, and then the group delay of the digital all-pass filter is calculated Finally, using Levenberg-Marquardt algorithm to pair A according to the minimum mean square error E (U) criterion l And theta l The parameters are optimized to complete the design of the digital all-pass filter.)
技术领域
本发明属于数字滤波器技术领域，更为具体地讲，涉及一种基于L-M(Levenberg-Marquardt，列文伯格马夸尔特)算法的数字全通滤波器设计方法。
背景技术
在模拟数字混合电子系统中，电信号在系统中传输时由于信道或模拟电路非理想特性会引入一定的非线性相位失真，会对不同频率的信号附加不同的相移，这对系统的输出会有较大的影响，严重时信号会发生失真。因此对于相位要求严格线性的系统，诸如相控阵列雷达，数字示波器等系统，对相位的非线性补偿是至关重要的。
数字全通滤波器可以改变数字信号的相位特性，进而有效解决电子系统相位非线性失真的问题。数字全通滤波器对输入的全部频率分量的增益均为0dB，因此不衰减任何频率的信号，只会改变输入信号的相位特性。这使得数字全通滤波器在相位补偿、群时延均衡等应用场合都有重要作用，来满足系统对线性相频响应的要求。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法，通过调节每个级联二阶节的极点分布来实现具有特定群时延特性的全通滤波器系数设计。
为实现上述发明目的，本发明一种基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)、设置数字全通滤波器的目标群时延GDgoal(ω)或GDgoal(ωk)，其中，ω表示均匀分布在[0,π]内的连续数字角频率，ωk表示均匀分布在[0,π]内的K个离散数字角频率；
(2)、计算目标群时延和GDsum；
或
其中，Δω为离散数字角频率的频率间隔；
(3)、设置数字全通滤波器的阶数L，且L的选择满足：GDsum≤2πL；
(4)、根据数字全通滤波器的阶数L计算群时延和GDsum的固定偏置值GDextra；
(5)、计算增加固定偏置后的数字全通滤波器的时延设计目标
(6)、利用单个二阶数字全通滤波器群时延在[0,π]内积分恒为2π的特性，将划分成L个频率区间FBl，每个频率区间内群时延的积分或求和为2π，并确定各个FBl的边界值
(7)、计算每个FBl区间对应数字全通滤波器二阶节的极点模值以及相角其中以及β为设定阈值；
(8)、定义向量U＝[A1,…,Al,…,AL,θ1,…,θl,…,θL]，使用F(Al)代替极点模值Ml，Al表示映射后的第l个二阶节的极点模值的自变量，F(Al)∈(0,1)，-∞<Al＜∞；
将数字全通滤波器的每个二阶节的极点模值Ml利用下式进行映射转换；
其中，F(·)表示映射函数；
(9)、通过上式的映射后，数字全通滤波器二阶节的稳定区间由Ml<1转换至-∞<Al<∞，从而计算出数字全通滤波器的群时延
(10)、构造非线性最小均方误差方程E(U)；
(11)、以最小均方误差E(U)准则，利用Levenberg-Marquardt算法对Al和θl的参数进行优化；
(11.1)、设置最大迭代次数P，初始化当前迭代次数p＝1，令Levenberg-Marquardt算法初始迭代起点为步骤(7)中求解的变量U，即令U1＝U；
(11.2)、计算第p次迭代时的更新向量Δp＝(Hp+λpDp)-1JpWRp，其中，矩阵λp为Levenberg-Marquardt算法的迭代控制参数；Jp为E(Up)的雅各比矩，W＝diag{W(ω1),W(ω2),…,W(ωK)}为加权矩阵，Dp＝diag{Hp}为对角阵；
(11.3)、更新第p次迭代后的向量Up+1＝Up+Δp；
(11.4)、计算第p次迭代后的最小均方误差E(Up+1)，并与E(Up)比较大小，如果E(Up+1)≤E(Up)，则接受向量Up+1，且更新λp+1＝λp/10；否则，保持向量Up不变，并作为第p次迭代后的向量Up+1，更新λp+1＝λp×10；
(11.5)、判断当前迭代次数p是否达到最大迭代次数P，如果未达到，则令p＝p+1，再返回步骤(11.2)；否则，进入步骤(11.6)；
(11.6)、输出向量UP，读取向量UP中对应的Al和θl，再利用公式(4)将Al转换为Ml，从而构建出数字全通滤波器二阶节级联的形式H(z)；
其中，z表示Z域，为第l个二阶节的极点，al1、al2即为求得的全通滤波器第l个二阶节的滤波器系数；
至此，完成数字全通滤波器的设计。
本发明的发明目的是这样实现的：
本发明基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法，先根据设计要求设置数字全通滤波器的目标群时延，再通过计算目标群时延和GDsum，进而设置数字全通滤波器的阶数L；然后计算增加固定偏置后的数字全通滤波器的时延设计目标通过将划分成L个频率区间FBl，确定各个FBl的边界值接着，通过每个FBl区间对应数字全通滤波器二阶节的极点模值及相角构造向量，进而计算出数字全通滤波器的群时延最后以最小均方误差E(U)准则，利用Levenberg-Marquardt算法对Al和θl的参数进行优化，完成数字全通滤波器设计。
同时，本发明基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法还具有以下有益效果：
(1)、利用全通滤波器二阶节群时延在[0,π]内积分恒为2π的特性，将全通滤波器目标群时延切割成若干个频带，并以此为基础通过简单计算获得全通滤波器极点的模值以及相角值，简化了全通滤波的设计难度。
(2)、引入的映射机制将极点模值Ml映射为Al，从而将数字全通滤波器二阶节的稳定区间由Ml<1转换至-∞<Al<∞，继而可以在保证全通滤波器稳定的情况下使用无约束最优化算法设计全通滤波器。
(3)、LM这类无约束最优化算法的引入极大地提高了全通滤波器的设计精度，使得数字全通滤波器在相同的阶数下可以获得更高的补偿精度；加权函数的引入又使得该算法可以针对关心的频率范围进行精确的优化过程，增加了算法的灵活度。
附图说明
图1是本发明基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法流程图；
图2是目标群时延的频率切分示意图；
图3是二阶节群时延边界值示意图；
图4是增加固定群时延后的目标群时延频率切分示意图；
图5是全通滤波器极点模值Ml映射过程示意图；
图6是全通滤波器的二阶节级联结构示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。
实施例
图1是本发明基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法流程图。
在本实施例中，如图1所示，本发明一种基于L-M算法的数字全通滤波器设计方法，包括以下步骤：
S1、首先根据实际设计的数字全通滤波器，需要设置数字全通滤波器的目标群时延GDgoal(ω)或GDgoal(ωk)，其中，ω表示均匀分布在[0,π]内的连续数字角频率，ωk表示均匀分布在[0,π]内的K个离散数字角频率；
S2、计算目标群时延和GDsum；
或
其中，Δω为离散数字角频率的频率间隔；
S3、设置数字全通滤波器的阶数L，且L的选择满足：GDsum≤2πL；
S4、为了获取更高的全通滤波器群时延设计精度，我们可以根据数字全通滤波器的阶数L计算群时延和GDsum的固定偏置值GDextra；
在本实施例中，如图4所示，由于增加的固定群时延偏置GDextra为一常数，即引入了额外的线性相位差，这样并不改变系统的非线性相位特性。
S5、计算增加固定偏置后的数字全通滤波器的时延设计目标
S6、如图2所示，利用单个二阶数字全通滤波器群时延在[0,π]内积分恒为2π的特性，将划分成L个频率区间FBl，参照公式(1)，每个频率区间内群时延的积分或求和为2π，并确定各个FBl的边界值，如图2所示，记第l个频率区间FBl的范围为
S7、令每个频率区间对应一个全通滤波器二阶节，则可以计算出每个FBl区间对应数字全通滤波器二阶节的极点模值以及相角其中以及β为形状参数，其取值决定了第l个全通二阶节群时延峰值点τl(θl)与频率区间边界对应的群时延以及的比例关系，如图3所示，根据经验，β的取值范围为[0.75,0.95]；
S8、定义向量U＝[A1,L,Al,L,AL,θ1,L,θl,L,θL]，使用F(Al)代替极点模值Ml，Al表示映射后的第l个二阶节的极点模值的自变量，F(Al)∈(0,1)，-∞<Al＜∞；
如图5所示，将数字全通滤波器的每个二阶节的极点模值Ml利用下式进行映射转换；
其中，F(·)表示映射函数；
S9、通过上式的映射后，数字全通滤波器二阶节的稳定区间由Ml<1转换至-∞<Al<∞，从而计算出数字全通滤波器的群时延
此时，无论Al以及θl取何值，均可以保证数字全通滤波器的稳定性。
S10、构造非线性最小均方误差方程E(U)；
S11、由于公式(5)中cos等非线性函数的原因，其表现为自变量为U的非线性方程组，因此可以借助最小均方误差准则，使用Levenberg-Marquardt(L-M)算法对U进行进一步的优化求解，也就是对Al和θl的参数进行优化，具体优化过程如下：
S11.1、设置最大迭代次数P，初始化当前迭代次数p＝1，令L-M算法初始迭代起点为步骤(7)中求解的变量U，即令U1＝U；
S11.2、计算第p次迭代时的更新向量Δp＝(Hp+λpDp)-1JpWRp，其中，矩阵λp为L-M算法的迭代控制参数，λp较大时，L-M算法接近梯度下降算法，具有较高的全局搜索能力，λp较小时，L-M算法接近高斯牛顿迭代法，具有较高的局部搜索能力；Jp为E(Up)的雅各比矩；Rp为残差向量，具体满足：Rp＝[Rp(ω1),Rp(ω2),…,Rp(ωK)]T，Dp＝diag{Hp}为对角阵；W＝diag{W(ω1),W(ω2),…,W(ωK)}为加权矩阵，；
S11.3、更新第p次迭代后的向量Up+1＝Up+Δp；
S11.4、计算第p次迭代后的最小均方误差E(Up+1)，并与E(Up)比较大小，如果E(Up+1)≤E(Up)，则接受向量Up+1，且更新λp+1＝λp/10；否则，保持向量Up不变，并作为第p次迭代后的向量Up+1，更新λp+1＝λp×10；
S11.5、判断当前迭代次数p是否达到最大迭代次数P，如果未达到，则令p＝p+1，再返回步骤S11.2；否则，进入步骤S11.6；
S11.6、输出向量UP，读取向量UP中对应的Al和θl，再利用公式S4将Al转换为Ml，从而构建出数字全通滤波器二阶节级联的形式H(z)；
其中，z表示Z域，为第l个二阶节的极点，al1、al2即为求得的全通滤波器第l个二阶节的滤波器系数；将数字全通滤波器的Z域表达式展开为图6所示的二阶节级联的形式。
至此，完成数字全通滤波器的设计。
尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。