具体实施方式

包括下列步骤：

(一)、3维体阵模型：

为不失一般性，直接考虑一3维体阵，该体阵是由M×N×L个各向同性传感器阵元组成，平行于X、Y和Z轴方向的传感器阵元数目分别为M、N和L，空间K个远场窄带平稳信源入射到该3维体阵，其入射方位角和仰角分别为(φ_k，θ_k)，k＝1,…,K，把位于体阵坐标原点上的传感器阵元设定为零相位阵元后，第k个信源传播到达3维体阵第(m,n,l)个阵元的相移为：

其中m取1,…,M；n取1,…,N；l取1,…,L。和分别表示平行于X、Y和Z轴方向的分量相位，不涉及到ULA,则我们把和定义为组成相位的参数项。式(1)表明，入射到达多维阵列中任一传感器阵元上的外部信源相位是3个参数项的线性组合。

式(1)中3个参数项为：

其中比例因子f和c表示载频和传播速度，Δd_x、Δd_y和Δd_z为平行于X、Y和Z轴方向的传感器阵元间隔。

式(2)中u_k、v_k和w_k具体为：

u_k＝cos(φ_k)sin(θ_k)，v_k＝sin(φ_k)sin(θ_k)，w_k＝cos(θ_k). (3)

其中θ_k和φ_k是第k个信源的仰角和方位角，分别定义为信源入射方向与Z轴之间的夹角和入射方向在X―Y面阵上的投影与X轴之间的夹角。在上述方位角的定义下，除了位于Z轴上的传感器阵元数据只包含仰角θ外，多维阵列中其他传感器阵元数据同时包含仰角θ和方位角φ，且两个角度相互耦合(为方便以下讨论，参数项Δφ_x和Δφ_y也被称为信源仰角θ和方位角φ的耦合项。这里由于对所有K个信源都成立，为简洁，常数项和θ_k和φ_k中把指标k删去)；

信源方位角在实际中有两种常用定义，除了定义φ外，还有另外一个定义φ′，即：信源入射方向与X轴之间的夹角，在方位角φ′的定义下，式(3)中的u_k和v_k的具体函数形式需要作相应改动，方位角两种定义φ和φ′之间的变换关系满足：

cos(φ′_k)＝cos(φ_k)sin(θ_k), (4)

多维阵列中的任一ULA都是一维的，这表明，入射到任一ULA上的信源相位公式中只有一个传感器阵元空间位置角标有序变化。因此，信源相位可统一表示为：

式(5)中和为对应的信源相差和常数相位，由于相位对k个信源都适用，本发明中只保留下标m，用以强调相位对角标m的依赖；

根据式(1)和(5)，多维阵列中的任一ULA按照传感器阵元空间位置角标变动情况主要划分为以下两种类型：

类型1：3个传感器阵元空间位置角标中只有1个有序变化，类型1主要指多维阵列中位于和平行于X、Y和Z等3个坐标轴的ULA；

例如，设一ULA其平行于Z轴的阵元空间位置角标l从l₀递增到L，l₀为一常数整数满足l₀<L,平行于X和Y轴的角标用常数整数m₀和n₀表示，则入射到该ULA上的信源相位(为了简化符号，省略的上标k，若以下需要，也会恢复角标k，这里不再赘述)可表示为：

其中为信源相差，定义为信源相位的常数相位；

更为具体的是，设m₀＝1,n₀＝1和l₀＝1，常数相位则信源相位 该信源相位所对应的ULA即为位于多维阵列Z轴上并始自于坐标原点的Elevation-only ULA，Elevation-only ULA数据只含有仰角θ，分析表明，任何一个位于或平行于Z轴的ULA都具有式(6)中的函数形式，其相差为常数相位中的角标m₀和n₀实际上描述了该ULA在多维阵列中的空间位置,其起始阵元则由角标l₀描述；

同理，位于或平行于X轴的任一ULA，其相位可表示为：

式(7)中m为变化角标，为信源相差，常数相位 角标n₀和l₀描述了对应ULA的空间位置，m₀指示了ULA起始阵元；

当m₀＝1,、n₀＝1和l₀＝1时，常数相位信源相位变为对应的ULA位于X轴上并始自于多维阵列坐标原点，同样，任何位于或平行于X轴的ULA都具有式(7)中相位的函数形式，其相差为

同理，对于任何位于或平行于Y轴的ULA，有：

式(8)中n为变化角标，为信源相差,常数相位

当m₀＝1,、n₀＝1和l₀＝1时，信源相位对应的ULA位于Y轴上并始自于多维阵列坐标原点。同样，多维阵列中任何位于或平行于Y轴的ULA都具有式(8)中相位的函数形式，相差为

由公式(6)、(7)和(8)看出，起始于多维阵列坐标原点并位于坐标轴上的ULA与起始于非坐标原点并位于坐标轴上或平行于坐标轴的ULA的主要差别在于零和非零常数相位，起始于多维阵列坐标原点的ULA其信源相位相对于后者因为常数相位为零，函数形式变得较为简单，易于处理，特别是位于Z轴上的Elevation-only ULA；

类型2：信源相位公式(1)中，有两个或三个传感器阵元空间位置角标同步变化；

类型2主要指位于和平行于面阵或体阵上的各种对角线上的ULA；

多维阵列能够提供大量的位于和平行于各种对角线上的ULA，本发明主要以位于X―Y、Y―Z和X―Z面阵反对角线上并起始于面阵坐标原点的ULA为例说明。

设ULA的传感器阵元空间位置角标m和n从X―Y面阵坐标原点m₀＝n₀＝1开始同步增加，则相位可表示为：

式(9)中信源相差因为该ULA在X―Y面阵内，角标l₀＝1，又起始于面阵坐标原点，所以该ULA相位中的常数相位等于零，式(9)中信源相位对应X―Y面阵反对角线上并始自于坐标原点的ULA，分析表明，多维阵列内平行于X―Y面阵反对角线上的ULA的信源相差都为同样，平行于X―Y面阵对角线上的ULA的相差都为相差和是和的两种线性组合；

位于Y―Z面阵反对角线上并起始于坐标原点的ULA，其信源相位为：

其中信源相差为同样分析，多维阵列内平行于Y―Z面阵反对角线上的ULA的信源相差都为类似，平行于Y―Z面阵对角线上的ULA的相差都为

位于X―Z面阵反对角线上并起始于坐标原点的ULA，其信源相位为：

其中信源相差为同样，多维阵列内平行于Y―Z面阵反对角线上的ULA的信源相差都为类似，平行于X―Z面阵对角线上的ULA的相差都为

对于3维体阵，同样具有各种位于或平行于体对角线上的ULA,所对应的信源相差函数形式中3个传感器阵元空间位置角标同步变化，因此，信源相差是和的线性组合，其组合系数为+1或-1，例如：

等等，这里不一一列出。

本发明能够对多维阵列中的任一ULA及其数据进行处理，估计其外部入射信源相差，这是解决二维信源测向问题的基础和前提，也是本发明不同于已有二维信源测向方法的一个鲜明特点,而这个特点能够充分利用和发挥多维阵列数据丰富的优势。

在外部入射信源信号和传感器噪声为平稳的假设前提下，入射到多维阵列中任一ULA上的信源其信号模型是一个退化的空间ARMA(Autoregressive moving-average)模型，该退化的空间ARMA模型自有MYW(Modified Yule–Walker)线性方程组和求根多项式；

(二)、多维阵列中任一ULA的信源相差估计：针对多维阵列中的任一ULA，在信源信号与传感器噪声不相关的前提条件下，利用ULA数据的相关函数，通过顺次构建和求解MYW线性方程组和多项式求根，可计算得到各个信源相差，以下是本发明给出的处理多维阵列中任一ULA数据的具体实施方案：

对于多维阵列中的任一ULA,利用其传感器阵列数据的相关函数，构建MYW线性方程组如下：

Hb＝r， (13)式(13)中，H为I×K维系数矩阵，b和r分别为K×1维和I×1维的待求参数和常数项列向量。H、b和r具体形式如下：

其中(·)^T为转置算符，行矢量h_m＝[h_m,…,h_(m+K―1)],m＝1,…,N。h_m和r中的阵元 E{·}是数学期望，(·)^H是共轭转置，x_i(t)和n_i(t)是所选ULA的第i个传感器阵元数据和噪声，x_n(t)称为参考数据；

在信源信号和噪声为平稳的条件下，对ULA数据取相关函数，能够保证R_i和同样平稳；且当传感器噪声与信源信号不相关时，可通过合理选择x_n(t)，使式(13)中的MYW线性方程组不再含有未知的给求解方程带来便利；

待求参数是K个入射信源传播子的初等幂和对称函数，其具体函数形式为：

求解式(14)中的MYW线性方程组，可得到K个待求参数这要求MYW线性方程组的方程数目I至少应满足I≥K；

构建求根多项式:根据式(15)中待求参数的具体函数形式，构建如下一元首一多项式：

f(v)＝v^K+b₁v^K―1+…+b_kv^K―k+…+b_K, (16)

容易证明，信源传播子是一元首一多项式f(v)的根；

对f(v)求根，得到则第k个信源相差利用以下公式求出：

因此，利用多维阵列中的任一ULA数据，首先通过构建和求解MYW线性方程组估计方程未知参数其次利用已估计的构建并对一元首一多项式f(v)求根，得到信源传播子最后由已知的计算出所有信源相差，以上就是本发明所提出的任一ULA信源相差估计方法步骤；

(三)、多维阵列中的ULA分类准则：本发明能够处理多维阵列任一ULA数据，依据信源相差函数形式，确定了多维阵列中ULA分类准则，由ULA分类准则，提出了多种信源相差估计方式，为最终解决二维信源测向中的角度自动配对问题找到了解决方案；

在多维阵列中，各种ULA的起始阵元、所处空间位置以及所具有的信源相位函数形式可能不同，但是依据信源相差的函数形式，可对各种ULA有效分类，信源相差函数形式相同的所有ULA属于一类；相应的，对属于一类的ULA数据进行处理，可估计同一函数形式的信源相差；

例如，在多维阵列中，所有平行于X轴的ULA属于一类，能够用于估计相差同样，所有平行于Y轴的ULA能够估计所有平行于Z轴的ULA能够估计

(四)、多维阵列中信源相差或角度配对方案：在多维阵列中，信源相差在函数形式上可以表达为多个分量相差的线性组合，其中的每一个分量相差可通过寻找对应的ULA数据直接估计出来。所以，基于相差自身的显式函数形式以及其线性组合形式，信源相差具有以下两种估计方式：

①基于相差自身的显式函数形式，通过寻找和利用对应的ULA数据直接估计；②首先估计分量相差，利用线性组合公式由估计出的分量相差以间接方式计算得到；

例如，信源相差一种方式是直接估计，由X-Y面阵内位于或平行于反对角线上的ULA直接估计得到；间接估计是把看成是分量相差和的线性组合，分量相差和可分别由位于或平行于X轴和Y轴的ULA估计出来，信源相差则可由估计的和利用线性组合公式计算得到；

值得注意的是，利用ULA数据估计出的各种信源相差都是解耦和无序的，这表明，在间接估计方式中，只有在其分量相差配好对的前提条件下，才能由线性组合形式计算并给出信源相差。反之，两种估计方式得到的同一信源相差结果一定相等，对两种估计方式得出的结果进行一一对比，能够实现信源相差(或角度)自动配对。因此，本发明提出了基于多维阵列多ULA数据的相差(或角度)自动配对方案；

本发明把信源相差或角度自动配对转化为一种约束参数，并把这种约束参数具体化为两个待配对相差的线性组合，通过对两种估计方式得出的信源相差结果进行一一对照实现自动配对。因此，本发明提出：实现信源相差或角度自动配对至少寻找和使用3个相差，其中两个为待配对相差，另外一个用于配对；

针对以上所提出的信源相差(或角度)自动配对方案，本发明提出实现信源相差或角度自动配对的ULA选取原则，即：在多维阵列中至少选取3个具体ULA，3个ULA应该具有不同函数形式的信源相差，为方便计算和对比，3个信源相差最好满足线性组合关系；

(五)、多维阵列中信源仰角和方位角的计算：在多维阵列中，每个具体信源相差是其仰角和(或)方位角的一个显式函数，信源相差函数形式只随ULA类别改变。因此，在完成信源相差(或角度)自动配对后，二维信源测向实际上变为一个由两个配好对的相差计算信源仰角和方位角的问题；

在实现信源相差或角度自动配对后，从3个所选取的ULA中任取其中的两个ULA，由相应的信源传播子和相差估计值，直接计算信源仰角和方位角；

例如：在X-Y面阵内，选择平行于X和Y轴的ULA，利用相应的ULA数据估计得到第k个信源传播子对的估计值为其对应的相差对估计值为 利用传播子和分别与相差和的显式关系式和 可得下列公式：

则第k个信源方位角估计值的计算公式为：

利用式(19)把第k个方位角计算出来后，将代入(17)或(18)可得：

或

又如：在X-Z面阵内，由平行于X和Z轴的ULA数据估计得到第k个信源传播子对的估计值为其对应的相差对估计值为利用传播子和分别与相差和的显式关系式和则：

第k个信源仰角估计值的计算公式为：

利用式(24)把第k个仰角计算出来后，将代入(22)可得：

同样，由式(25)可计算出第k个信源方位角估计值

本发明所提出的信源相差估计方法同样可以处理方位角另外一种坐标定义φ′下的ULA数据，方位角φ′的定义：信源入射方向与多维阵列X轴的夹角。信源相差估计方法以及二维信源测向方法的原理、步骤与前面所提完全相同。

本发明所提出的信源相差估计方法和二维信源测向方法同样适用于各种二维传感器面阵，提出的基于目标源传播相移差分技术的阵列测向方法预先需要给定目标源数目。

下边通过以下二维信源测向算例验证本发明所提方法的有效性。

基于3维阵列的二维信源测向算例，这里采用等传感器阵元间距的三维正方体阵，为简化计算，假设沿X、Y和Z轴等3个方向的传感器阵元数目为8，有3个远场窄带信源入射到该正方体阵，等传感器阵元间距采用两种：0.30λ和0.45λ，λ是信号波长，信噪比SNR＝5dB，信源信号与传感器噪声均采用零均值的复高斯白噪声模拟，各个传感器阵元噪声具有相同的方差，3个信源的方位角φ_k和仰角θ_k(k＝1,2,3)分别为(φ₁,θ₁)＝(95°,45°)，(φ₂,θ₂)＝(63°,12°)和(φ₃,θ₃)＝(150°,71°)。

这里把每个ULA的第一个传感器数据作为参考数据，由于信号与噪声不相关，选用的传感器阵列数据相关函数序列{h₂,h₃,┄,h_M}不含未知的噪声方差，可用于构建MYW线性方程组，这样求解方程时不需要考虑噪声方差。

1.信源相差估计

多维阵列能够为二维信源测向提供丰富多样的ULA，所提方法能够处理任一ULA数据，这是本发明的一个鲜明特点和优势。算例中特地选取3组有代表性的ULA，这3组ULA分别取自图1中的X-Y、X-Z和Y-Z等3个面阵，其中在每个面阵内选取3个ULA:平行于该面阵坐标轴的两个非轴ULA以及位于该面阵反对角线上的ULA。

由于算例中选取的ULA较多，为避免混淆和以下阐述和分析方便，对每一个选取的ULA进行命名，具体结合X-Y面阵上所选取的3个ULA，说明ULA命名规则，如图1所示，在X-Y面阵内我们选取平行于X和Y轴的非轴ULA，分别用X^n＝2和Y^m＝2命名，X^n＝2的上标n＝2指示了该ULA在X-Y面阵上的Y轴坐标；同样，如图1所示，m＝2指示了ULAY^m＝2在X-Y面阵上的X轴坐标，X-Y面阵反对角线上的ULA,这里用D_XY命名；采取类似的命名，在X-Z面阵上所选取的3个ULA，分别用X^l＝2、Z^m＝2和D_XZ表示，其中平行于Z轴的非轴ULA为Z^m＝2，其X轴坐标为m＝2，平行于X轴的非轴ULAX^l＝2的Z轴坐标为l＝2，X-Z面阵上反对角线上的ULA为D_XZ；在Y-Z面阵上所选取的3个ULA分别用Y^l＝2、Z^n＝2和D_YZ表示，其命名规则和ULA位置这里不在赘述。

相较于常规的位于Z轴上的elevation-only ULA，算例中所选取的Z^m＝2和Z^n＝2是平行于Z轴的非轴ULA，其信源相差与elevation-only ULA的完全相同，但因为非轴而含有非零的常数相位，Z^m＝2和Z^n＝2的信源相移在函数形式上要比elevation-only ULA的复杂。

这里为直观显示和分析算例结果，对于选取的ULA在构建和求解MYW线性方程组后，对求根多项式采用逐点数值求根方法画出求根曲线。如图2所示，纵坐标为归一化幅度，为求根多项式绝对值的倒数，幅度出现尖锐峰表示搜寻到多项式的根，峰值横坐标即为某个信源的相差估计值，当然，对于首项次数小于5的求根多项式，也可采用求根公式直接计算信源相差。算例中，由于正方体阵沿X、Y和Z轴等3个方向的阵元间距都设置为相等，则平行于X、Y和Z轴的ULA的信源相差可分别简化为u_x＝cosφsinθ，v_y＝sinφsinθ和w_z＝cosθ，考虑到方位角φ∈[0,π]，仰角θ∈[0,π/2]后，则u_x∈[―1,1]，v_y∈[0,1]和w_z∈[0,1]；

由图2(a)、(b)和(c)看出，当传感器阵元间距较大为0.45λ时，幅度峰值和位置更为清晰，易分辨和判断。例如，图2(a)中粗*线幅度峰值位置分别为(-0.82,-0.06,0.10)，这即为X-Y面阵内非轴ULAX^n＝2的3个信源相差估计值，细*线的幅度峰值位置为(0.19,0.47,0.71)，是X-Y面阵内非轴ULAY^m＝2的3个信源相差估计值。

当传感器阵元间距变小为0.30λ，幅度峰值及其位置分辨率下降，不易判断，例如，在图2(a)中传感器阵元间距为0.30λ时，X^n＝2和Y^m＝2所对应的o线，依据曲线峰值甚至不能正确判断信源数目；但对于另外一些ULA，即使传感器阵元间隔为0.30λ，仍能较为清晰地判断信源数目、峰值及其位置，进而得出较为准确的信源相差估计值，例如，图2(b)中的粗o线和图2(c)的细o线。

以上表明，对于多维阵列，由于有大量的ULA数据可以利用，即使在传感器阵元间距设置较小或信号SNR较低时，利用多ULA数据，仍有可能开展信源测向，但是如果二维信源测向方法只能基于特定的ULA或阵形,当传感器阵元间距较小或低SNR时，信源测向则很有可能无法开展或者得到错误结果。所以，针对多维阵列，特别是MIMO大规模天线阵列，对测向方法的一个最基本要求是方法应该具有处理任一ULA及其数据的能力，而本发明所提出的信源相差估计方法完全能够满足上述要求。

由图2(a)、(b)和(c)看出，具有相同信源相差函数形式的ULA属于一类,虽然这些ULA可能处于不同的面阵或分布在同一面阵的不同位置上，但都可用于估计同一相差。例如，平行于X轴的ULAX^n＝2分布在X-Y面阵内，X^l＝2在X-Z面阵内(图2(a)和(b)中的粗线)，都能用于估计信源相差u_x＝cosφsinθ,可以看到，当传感器阵元间距为0.45λ时，两组曲线的3个峰值位置近乎一致。平行于Y轴的ULAY^m＝2分布在X-Y面阵内，Y^l＝2在Y-Z面阵内(图2(a)的细线和(c)中的粗线)，用于估计v_y＝sinφsin，同样，当间距为0.45λ时，两组曲线的3个峰值位置近乎一致。平行于Z轴的ULAZ^m＝2分布在X-Z面阵内，Z^n＝2在Y-Z面阵内(图2(b)和(c)中的细线)，用于估计w_z＝cosθ。以上表明，多维阵列中的ULA虽然多种多样且量大，但是在包含测向在内的信源多参数估计上具有规律性，研究和找到这些规律对于信源多参数估计具有重要意义。

分别对3个面阵反对角线上的ULA的信源相差进行了估计(图3(a)、和(b))。对于X-Y、X-Z和Y-Z面阵反对角线上的ULAD_XY、D_XZ和D_YZ,其信源相差为u_x+y＝cosφsinθ+sinφsinθ，u_x+z＝cosφsinθ+cosθ和u_y+z＝sinφsinθ+cosθ。由此可见，位于或平行于对角线上的ULA其信源相差具有线性组合形式。

比较图3(a)和(b)，当传感器阵元间距为0.45λ时，幅度峰值及其位置总体上更易分辨和判断，但同时注意到，图3(b)中X-Y面阵反对角线上的ULAD_XY其信源相差(o线)出现4个幅度峰值，而实际上只有3个信源，这表明，额外多出一个‘伪’峰，这是所提方法处理各种对角线上的ULA时的一个新现象，称为信源相差的多值现象，信源相差的多值性是导致角度估计错误或角度多值性的主要原因。

在阵列信号处理中，为避免信源相差(和角度)多值性，一般要求传感器阵元间距设置不大于0.50λ，λ为信号波长，但在多维阵列中，尽管传感器阵元间距按上述要求设置，在处理一些ULA，特别是面阵或体阵各种对角线上的ULA时，仍有可能出现信源相差多值，这是在二维信源测向理论和应用研究中一个非常值得注意的问题。

采用较大的传感器阵元间距，一方面，信源相差可能出现多值现象，另一方面能够有效提高信源相差估计的分辨率和准确性。因此，如何既能消除信源相差(角度)多值性，又能提高其估计分辨率和准确性，是二维信源测向的一个重要环节。发明人提出：对多ULA数据进行比较和分析是消除相差多值性的一个可行解决方案。本发明能够处理任一ULA数据,使得消除信源相差多值性的解决方案更具有实际可操作性。

由于信源相差多值性多在位于或平行于各种对角线上的ULA出现，而这些ULA所对应信源相差往往具有线性组合形式，所提的具体解决方案是：首先估计得到分量相差，根据所满足的线性组合形式，由分量相差估计值，计算出发生多值性信源相差范围的上、下限，把范围收窄，排除‘伪’相差。

例如，X-Y面阵反对角线上的ULAD_XY其信源相差在传感器阵元间距为0.45λ时出现多值现象(图3(b)o线)。为消除多值现象，发明人利用ULAD_XY信源相差u_x+y＝cosφsinθ+sinφsinθ所具有的线性组合形式，收窄其范围消除多值性。具体如下：对于ULAX^n＝2，信源相差u_x＝cosφsinθ，其估计值(-0.82，-0.06,0.10)；对于ULAY^m＝2，信源相差v_y＝sinφsinθ，其估计值是(0.19,0.47,0.71)，而X-Y面阵上反对角线上的ULAD_XY的信源相差为u_x+y＝cosφsinθ+sinφsinθ，其范围下限为u_x和u_y的下限之和，经计算为(-0.82+0.19)＝-0.63；同理，ULAD_XY的信源相差范围上限为(0.10+0.71)＝0.81，所以ULAD_XY的相差范围可收窄为[-0.63,0.81],据此判定图3(b)中o线上位置1.88处出现的是一个‘伪’值。

2.多维阵列中信源相差配对和角度估计

由于从各个ULA数据估计得到的信源相差解耦且无序，还需要把来自同一个信源的各个相差估计值挑出用于后续计算该信源的方位角和仰角，挑出过程称为信源相差(或角度)配对。信源相差(或角度)配对是二维信源测向的一个关键环节。

本发明所提方法能够处理多维阵列中的任一ULA数据,据此发明人提出信源相差(或角度)自动配对方法，即：在多维阵列中选取至少3个ULA,3个ULA应属于不同类别。为使配对计算简洁且方便，其中一个ULA的信源相差最好设为其他两个相差的线性组合。因此，组合的信源相差存在两种估计方式，把两种估计方式得到的结果进行一一比较，即可实现相差自动配对。

例如，我们可以选择X-Y面阵内分别平行于X和Y轴以及反对角线上的3个ULAX^n＝2、Y^m＝2和D_XY作为一个组合实现信源相差的自动配对，所选取的3个ULA属于不同类别，其相差分别为u_x、u_y和u_x+y。

相差u_x、v_y和u_x+y的估计值可直接由X^n＝2、Y^m＝2和D_XY估计得到，其值在图2(a)和图3(b)中已标注，分别是(-0.82，-0.06，0.10)、(0.19，0.47，0.71)和(-0.34，0.28，0.64)。相差u_x、v_y和u_x+y同时又满足u_x+y＝u_x+u_y，把u_x和u_y的估计值进行组合相加，并把相加后的结果与直接估计方式得到u_x+y估计值一一对比，实现自动配对。经计算，3个信源相差配对结果(u_x1,v_y1)＝(-0.82,0.47)，(u_x2,v_y2)＝(-0.06,0.71)，(u_x3,v_y3)＝(0.10,0.19)。

完成信源相差配对后，利用式(19)和(20)或(21)，计算出3个信源的方位角和仰角估计值(k＝1,2,3)分别为(150.18°,70.93°)、(94.83°,45.44°)和(62.24°,12.40°)。

若3个信源相差之间不满足线性组合关系，只要所选取的3个ULA属于不同类别，同样能够实现信源相差(或角度)的自动配对，相较于3个信源相差直接满足线性组合关系，非线性组合关系下的自动配对需要涉及到角度正(余)弦转换，其计算要繁琐。

3.多维阵列中信源相差估计性能

信源相差估计及其精度直接影响后续仰角和方位角的计算与精度，本发明以所选取的ULA为对象，数值考察所提方法的信源相差估计性能及其特点，这里采用均方根误差(RMSE，Root-mean-squareerror)来反映信源相差估计性能，图中所列曲线是200次蒙特卡罗试验的统计平均结果。

图4(a)给出了ULAX^n＝2和X^l＝2、Y^m＝2和Y^l＝2、Z^m＝2和Z^n＝2的信源相差RMSE曲线。由图看出，同属一类的ULA,其信源相差估计性能完全一致。图4(b)给出了3个面阵反对角线上的ULA的信源相差RMSE曲线，图4(a)和(b)两图说明，不同类型的ULA，其相差估计性能完全不同。因此，合理挑选、设计和组合ULA，能够有效提高二维信源测向估计性能。

以上算例表明，本发明能够处理多维阵列中的任一ULA数据，所提二维信源测向能够充分利用和发挥多维阵列ULA丰富的优势。所以，对于基于多维阵列的二维信源测向理论和应用研究，应该从挑选、设计ULA组合，提高方法估计性能角度开展研究，而不是仅仅基于特定的ULA或ULA阵形。