一种基于旋转对称六边形的可折叠结构及边界点确定方法
阅读说明：本技术 一种基于旋转对称六边形的可折叠结构及边界点确定方法 (Foldable structure based on rotationally symmetric hexagons and boundary point determination method ) 是由 陈耀 徐锐之 李怡心 魏家龙 严嘉怡 冯健 于 2021-05-31 设计创作，主要内容包括：本发明公开了一种基于旋转对称六边形的可折叠结构及边界点确定方法,折叠单元的形状为满足旋转对称性(C-(2)对称)的凸六边形和内凹六边形；每个折叠单元均包含六个边界点,六条边界,六条折痕；其中六条边界两两平行且相等；凸六边形折叠单元包括两个内部平面可折叠点及其对应的两种折叠模式,两种折叠模式均可关于六边形单元中心轴旋转180°得到新的内部可折叠点；内凹六边形折叠单元包括两个内部平面可折叠点及其对应的折叠模式,其关于六边形单元旋转对称(C-(2)对称)。本发明的平面可折叠点位置与折叠单元形状密切相关,便于拓展为结构体系,在自锁结构体系中有良好的应用前景。(The invention discloses a foldable structure based on a rotational symmetry hexagon and a boundary point determination method, wherein the shape of a folding unit is to satisfy the rotational symmetry (C) 2 Symmetric) convex hexagons and concave hexagons; each folding unit comprises six boundary points, six boundaries and six creases; wherein the six boundaries are parallel and equal in pairs; the convex hexagonal folding unit comprises two internal plane folding points and two folding modes corresponding to the two internal plane folding points, and the two folding modes can rotate 180 degrees about the central axis of the hexagonal unit to obtain new internal folding points; the concave hexagonal folding cells comprise two internal planar folding points and their corresponding folding patterns, which are rotationally symmetric about the hexagonal cell (C) 2 Symmetrical). The position of the plane folding point of the invention is closely matched with the shape of the folding unitAnd the method is related, is convenient to expand into a structural system, and has good application prospect in a self-locking structural system.)
技术领域
本发明属于折纸结构形态设计领域，涉及一类基于旋转对称(C2对称)的六边形单元的六折痕可折叠结构及其边界点确定方法。
背景技术
近年来，折纸结构已被应用于航空航天、生物医学、超材料、机器人、土木工程等多个领域。传统的Waterbomb折纸的基本单元为轴对称的矩形或六边形，其内部平面可折叠点为其基本单元的中心点，完全折叠后形成另一个紧凑的平面结构。
Waterbomb折纸由水平方向上平行扩展及竖直方向上交错扩展的矩形基本单元形成。在传统的Waterbomb折纸中，折痕图案在水平方向上。其基本单元各顶点围绕中心呈轴对称，折痕图案由正交方向上一组平行直线和水平方向上四组平行锯齿形折线构成，其基本单元由两组三角形轴对称而得，一组三角形包含三个普通三角形，这三个三角形共一个顶点，使其恰好可以组成一个等腰梯形，对称轴为由该组三角形共同顶点所在的其所组成的梯形底边，该组三角形的共同顶点即为基本单元的平面可折叠点。传统的Waterbomb折纸基本单元是轴对称图形，除了基本单元边界以外，其对称轴上的每一个点都可以作为折纸的内部平面可折叠点。
基于旋转对称(C2对称)的六边形基本单元相对于传统Waterbomb折纸，不是轴对称图形，其六折痕折叠结构由在正交方向上由一组平行的锯齿形折线和水平方向上四组平行的锯齿形折线构成。
发明内容
本发明突破了目前经典折痕图案衍生折痕设计仍然针对折纸基本单元为轴对称图形的局限，提出了一类基于旋转对称(C2对称)的六边形单元的六折痕可折叠结构。
为了实现上述目的，本发明采用了如下技术方案：
一种基于旋转对称六边形的可折叠结构，所述可折叠结构包括纵横向布置的若干折叠单元，折叠单元为六边形，折叠单元包括六个边界点，依次为N1、N2、N3、N4、N5、N6，形成六条边界N1N2、N2N3、N3N4、N4N5、N5N6、N6N1，其中，N1N2平行且相等于N4N5，N2N3平行且相等于N5N6，N3N4平行且相等于N6N1。
作为更进一步的优选方案，所述折叠单元包含凸六边形和内凹六边形两种结构形式，折叠单元包含一个内部平面可折叠中心点M，其对应的六条折痕为MN1、MN2、MN3、MN4、MN5、MN6，其中包含四条峰折痕和两条谷折痕，两条谷折痕之间具有两条峰折痕。
作为更进一步的优选方案，所述折叠单元组成的可折叠结构由水平纵向的三组锯齿形折线和水平横向的四组锯齿形折线构成。
一种基于旋转对称六边形的可折叠结构的边界点确定方法，任意取折叠单元六边形上的一个边界点，编号为N1，按逆时针的顺序定义六边形的顶点编号为N1～N6；其中的任意两个边界点的坐标可根据其余四个边界点的坐标确定，计算步骤如下：
步骤1：N1、N2、N3、N4的坐标为[X(1),Y(1)]、[X(2),Y(2)]、[X(3),Y(3)]、[X(4),Y(4)]，根据已知边界点坐标求得N1N2、N2N3、N3N4的长度及方向，如下式所示：
步骤2：N4N5、N5N6以及N6N1分别平行且相等于N1N2、N2N3、N3N4，如下式所示：
步骤3：根据上式求得N5、N6的坐标：
[X(5),Y(5)]＝[X(4)-X(2)+X(1),Y(4)-Y(2)+Y(1)]；
[X(6),Y(6)]＝[X(1)+X(4)-X(3),Y(1)+Y(4)-Y(3)]。
作为更进一步的优选方案，所述折叠单元包括三类顶点：内部平面可折叠中心点M，一类边界点N1、N3、N5，二类边界点N2、N4、N6，其内部平面可折叠点中心M的坐标[X(M),Y(M)]由该六边形单元的三类顶点的平面可折叠条件确定，根据常规的数值解法和优化方法求得数值解，具体步骤如下所示：
步骤1：在给定折叠单元边界节点的条件下，根据单元内部平面可折叠点的平面可折叠条件，代入上述基本单元中的三类顶点，可得约束条件如下：
∠N1MN2+∠N3MN4+∠N5MN6＝π；
∠N2N3M+∠N4N5M+∠N6N1M＝π；
∠N3N2M+∠N5N4M+∠N1N6M＝π。
步骤2：通过以上平面可折叠条件可建立约束条件方程如下：
步骤3：使用图解法，由三类顶点的几何约束方程画出对应的三条约束方程曲线，其交点即为内部平面可折叠点M。
与现有技术相比，本发明具有以下优点：
(1)本发明中的六边形单元在传统Waterbomb基础上降低了其轴对称性为旋转对称性(C2对称)，在不影响其水平方向平行扩展，竖直方向交错扩展的基础上，适用于更多的六边形单元，并根据实际需要设计基本折叠单元的尺寸大小，具有更强的普适性。
(2)本发明中的相同六边形折叠单元的平面可折叠点有多种选择，且存在多稳态，能够得到多种完全折叠状态下的结构形状，可通过合理扩展和排列不同平面可折叠点的相同六边形折叠单元，以构造自锁结构。
(3)本发明中的六边形六折痕折叠单元构成的可折叠结构较传统结构而言具有负泊松比，且具有较大的折展比，完全折叠后得到的结构体积较小，适用于对折展比有较大要求的可展结构，为该类结构的研究提供了新的单元形式。
(4)本发明中的六边形六折痕折叠单元与传统Waterbomb折叠单元类似，可沿两个方向产生曲率，增加了Waterbomb衍生折纸的多样性，可用于构造曲面可展结构。
附图说明
图1a—图1d为本发明六边形折叠单元处于完全展开状态时的六折痕图案；
图2a—图2d为本发明六边形折叠单元处于折叠过程中间状态时的六折痕图案；
图3a—图3d为本发明六边形折叠单元处于完全折叠状态时的六折痕图案；
图4a—图4d为本发明六边形折叠单元处于完全展开状态时的折纸结构折痕图案；
图5a—图5d为本发明六边形折叠单元处于折叠过程中状态时的折纸结构折痕图案。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。
图1、图2分别为本发明的六边形六折痕折叠单元处于完全展开、半折叠状态的示意图。
本发明的一系列六边形六折痕折叠单元，如图1所示，将其置入由其平面扩展而成的整体结构中，如图4所示，可根据单元各节点所处位置的相邻折痕的不同分为三类顶点，内部平面可折叠点M，一类边界节点N1、N3、N5和二类边界节点N2、N4、N6；可根据单元各边界所处位置的不同分为三类边界线，N1N2和N4N5，N2N3和N5N6，N3N4和N6N1；可根据折叠需求将单元内部折痕两类折痕，峰折痕MN1、MN2、MN4、MN5，谷折痕MN3、MN6。
图1a为凸六边形单元取内部平面可折叠点为M1时的完全展开状态下的折叠单元折痕图；图1b为凸六边形单元取内部平面可折叠点为M2时的完全展开状态下的折叠单元折痕图；图1c为内凹六边形单元取内部平面可折叠点为M3时的完全展开状态下的折叠单元折痕图；图1d为内凹六边形单元取内部平面可折叠点为M4时的完全展开状态下的折叠单元折痕图。图中，N1～N6为边界点编号，折痕图中虚线表示谷折痕，实线表示峰折痕。
图2a为从两个不同视角观察的凸六边形单元取内部平面可折叠点为M1时的半折叠状态的折痕图；图2b为从两个不同视角观察的凸六边形单元取内部平面可折叠点为M2时的半折叠状态的折痕图；图2c为从两个不同视角观察的内凹六边形单元取平面可折叠点为M3时的半折叠状态的折痕图；图2d为从两个不同视角观察的内凹六边形单元取平面可折叠点为M4时的半折叠状态的折痕图。图中，N1～N6为边界点编号，折痕图中虚线表示谷折痕，实线表示峰折痕。
如果在一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹六边形，其内角中至少有一个优角；相反的，如果在一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸六边形。
本发明中的六边形单元满足旋转对称性(C2对称)，仅存在凸六边形或内凹六边形两种情况，且该六边形单元的对边平行且相等。
对于凸六边形，可通过已知四个边界点的坐标N1[X(1),Y(1)]＝[0,8]，N2[X(2),Y(2)]＝[0,0]，N3[X(3),Y(3)]＝[4,-1]，N4[X(4),Y(4)]＝[6,0]，根据该凸六边形单元对边平行且相等的条件：
确定另外两个未知边界点的坐标:
N5[X(4)-X(2)+X(1),Y(4)-Y(2)+Y(1)]＝[6,8]，
N6[X(1)+X(4)-X(3),Y(1)+Y(4)-Y(3)]＝[2,9]。
同理，对于内凹六边形，可通过已知四个边界点的坐标N1[X’(1),Y’(1)]＝[0,8]，N2[X’(2),Y’(2)]＝[0,0]，N3[X’(3),Y’(3)]＝[5,1]，N4[X’(4),Y’(4)]＝[8,0]，根据该内凹六边形单元对边平行且相等的条件：
确定另外两个未知边界点的坐标：
N5[X’(4)-X’(2)+X’(1),Y’(4)-Y’(2)+Y’(1)]＝[8,8]，
N6[X’(1)+X’(4)-X’(3),Y’(1)+Y’(4)-Y’(3)]＝[3,7]。
本发明所述折叠单元的所有节点可根据其在由该单元扩展的整体结构中相邻折痕的不同分为三类顶点，如图4所示：内部平面可折叠中心点M，一类边界点N1、N3、N5，二类边界点N2、N4、N6。其中，三类顶点在整体结构中均为内部平面折叠点，均需满足平面可折叠条件α+β+γ＝π。对于内部平面可折叠点M：α＝∠N1MN2，β＝∠N3MN4，γ＝∠N5MN6；对于一类边界节点，α＝∠N2N3M，β＝∠N4N5M，γ＝∠N6N1M；对于二类边界节点，α＝∠N3N2M，β＝∠N5N4M，γ＝∠N1N6M，代入平面可折叠条件式可得到约束条件如下：
∠N1MN2+∠N3MN4+∠N5MN6＝π；
∠N2N3M+∠N4N5M+∠N6N1M＝π；
∠N3N2M+∠N5N4M+∠N1N6M＝π。
将上述平面可折叠约束条件用折痕向量表示，可得到如下约束条件方程组：
使用图解法，由上述三类顶点的几何约束方程画出其对应的三条约束方程曲线。在此基础上，使用常规的数值解法和优化方法精确求解得其交点的数值解，即为所求的内部平面可折叠点M。由此可得六边形六折痕折叠基本单元，如图1所示。对于凸六边形单元，可解得存在M1[X(M1),Y(M1)]＝[3.3043,4.9129]，如图1a所示，M2[X(M2),Y(M2)]＝[2,8]，如图1b所示，由于基本单元满足旋转对称性(C2对称)，所以平面可折叠点M也满足旋转对称性(C2对称)，即存在M1’[X’(M1),Y’(M1)]＝[2.6957,3.0871]，M2’[X’(M2),Y’(M2)]＝[4,0]也为满足要求的M；对于内凹六边形单元，存在M3[X(M3),Y(M3)]＝[0.8925,5.2872]，如图1c所示，M4[X(M4),Y(M4)]＝[7.1075,2.7128]，如图1d所示，其中M3与M4满足旋转对称性(C2对称)。
本发明中的六边形六折痕折叠单元的折叠过程中间状态，如图2所示，以平面可折叠点M为参照点，N3和N6垂直纸面向下运动，N1、N2、N4、N5垂直纸面向上运动，直至完全折叠状态，如图3所示。此状态下整体结构无法继续折叠变形，形成自锁。
图3a为两个不同角度的凸六边形单元取平面可折叠点M1的折叠单元折痕图；图3b为两个不同角度的凸六边形单元取平面可折叠点M2的折叠单元折痕图；图3c为两个不同角度的内凹六边形单元取平面可折叠点M3的折叠单元折痕图；图3d为两个不同角度的内凹六边形单元取平面可折叠点M4的折叠单元折痕图。图中，N1～N6为边界点编号，折痕图中虚线表示谷折线，实线表示山折线。
折展过程如图4、5所示，其中图4为完全展开状态，图5为折叠过程中间状态。
图4a为凸六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M1时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图；图4b为凸六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M2时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图；图4c为内凹六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M3时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图；图4d为内凹六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M4时向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图。图中，虚线表示谷折痕，实线表示峰折痕。
图5a为凸六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M1时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图；图5b为凸六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M2时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图；图5c为内凹六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M3时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图；图5d为内凹六边形六折痕折叠单元取内部平面可折叠点为M4时由单元在水平面上向纵向与横向扩展而成的整体结构的折痕图。图中，虚线表示谷折痕，实线表示峰折痕。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。
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